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第六章广义逆矩阵
6.1投影矩阵
设Cn=LM,即Cn为L和M的直和。
定义6.1将任意xCn变为沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子,记为PL,M即PL,Mx=y
性质：
R（PL,M）=L,N（PL,M）=M
Mx
yL
如图：
PL,Mx=y,注意xyM.
定义6.2投影算子PL,M在Cn的基e1,e2,…,en下的矩阵称为投影矩阵。
引理1设ACn×n是幂等矩阵,A2=A,则N（A）=R（IA）
证明：
任给xN（A）,则Ax=0,从而
x=Ax+（IA）x=（IA）xR（IA）
因此N（A）R（IA）,
反之,任给xR（IA）,则存在yCn使得
x=（IA）y.从而Ax=A（IA）y=（AA2）y=0
这样R（IA）N（A）。
从而N（A）=R（IA）.
定理6.1矩阵P为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵。
证明:
由引理1,取M=R（IP）,L=R（P）则R（PL,M）=L,N（PL,M）=M。
投影矩阵计算：
取L的一个基q1,q2,…,qr和M的一个基qr+1,qr+2,…,qn。
这样任给向量xCn,则x可以表示为x=（q1,q2,…,qr,qr+1,qr+2,…,qn）y=Qy.PL,Mx=QIry=QIrQ1x从而PL,M=QIrQ1.其中Ir表示对角线前r个元素为1,其余矩阵的所有元素为0.
思考：
PL,M和线性空间L,M的基的选择无关。
即如果我们分别选择L,M的另外一个基q1,q2,…,qr和qr+1,qr+2,…,qn；不妨设（q1,q2,…,qr）=（q1,q2,…,qr）R1,R1为rr的可逆矩阵。
（qr+1,qr+2,…,qn）=（qr+1,qr+2,…,qn）R2,R2为（nr）（nr）的可逆矩阵。
因此Q=（q1,q2,…,qr,qr+1,qr+2,…,qn）=Qdiag（R1,R2）,
这样投影变换利用这组基的矩阵表示为
PL,M=QIrQ1=Qdiag（R1,R2）Irdiag（R1,R2）1Q1
=Qdiag（R1,R2）Irdiag（（R1）1,（R2）1）Q1
=QIrQ1
=PL,M
可见矩阵与表示L,M的基的选择无关。
定义6.3设L是Cn的子空间,则称沿着L到L
的投影算子
为正交投影算子,简记为PL。
Lx
PLxL
正交投影算子在Cn的基e1,e2,…,en下的矩阵称为正交投影矩阵,记为PL。
定理6.2矩阵P为正交投影矩阵的充要条件是P为幂等Hermite矩阵。
证明：
若矩阵P=PL,则P为幂等矩阵。
若R（P）和R（IP）正交,从而对任意x,yCn
xHPH（IP）y=0,即PH（IP）=0,
从而PH=PHP,这样P=PHP=PH。
反之,若P=PH,且P2=P。
由P2=P根据定理6.1有P=PR（P）,N（P）=PR（P）=
=
成立。
正交投影矩阵计算：
取L的一个标准正交基q1,q2,…,qr和M的一个标准正交基qr+1,qr+2,…,qn。
由于LM,因此Q=（q1,q2,…,qr,qr+1,qr+2,…,qn）为正交矩阵。
这样任给向量xCn,则x可以表示为
x=（q1,q2,…,qr,qr+1,qr+2,…,qn）y=Qy.
y=QHx
PL,Mx=QIry=QIrQ1x
从而PL,M=QIrQH类似于投影矩阵的讨论,正交投影算子的矩阵表示和L,M的正交基选择无关。
6.2广义逆矩阵的定义和性质
定义6.4设矩阵ACm×n,若矩阵XCn×m满足
如下四个Penrose方程
则称X为A的Moore-Penrose逆,记为A+。
Cm=R（A）N（X）V1,
定理6.3对任意ACm×n,A+存在并且惟一。
证明：
存在性由奇异值分解可得。
A=Udiag（1,2,...,r,0,...,0）VH
定义X=A+=Vdiag（1/1,1/2,...,1/r,0,...,0）HUH
显然易验证A+满足定义的4个条件。
唯一性：
设有两个不同的A+伪逆X和Y,则
Y=YAY=Y（AY）H=YYHAH=YYH（AXA）H
=YYHAH（AX）H=Y（AY）HAX=Y（AYA）X
=YAX=（YA）HX=AHYHX
=AHYHXAX=AHYH（XA）HX=AHYHAHXHX
=（AYA）HXHX=AHXHX=（XA）HX=XAX=X.
定理：
定义6.5对任意ACm×n,若XCn×m满足Penrose方程中的（i）,（j）,…,（l）等到方程,则称X为A
的{i,j,…,l}-逆,记为A（i,j,…,l）,其全体记为A{i,j,…,l}.
定理6.4矩阵ACm×n,有惟一{1}-逆的充要条件是A非奇异矩阵,且这个{1}-逆与A1一致。
（复习定理1.35）.
定理:
V1
=Vn
定理1.35：
对任意矩阵ACmn,有
R（A）=N（AH）,R（A）N（AH）=CmR（AH）=N（A）,R（AH）N（A）=Cn
引理：
N（A）N（B）存在X,使得A=XB.
R（A）R（B）存在X,使得A=BX.
证明：
由N（A）,R（A）的定义,显然成立。
推论：
rank（AB）=rank（A）A=ABX
rank（BA）=rank（A）A=XBA
定理6.5设ACm×n,BCn×p,C,则
（1）（A
（1））HAH{1};
（2）+A
（1）（A）{1};
（3）若S和T非奇异,则T-1A
（1）S-1（SAT）{1}；
（4）rank（A
（1））rank（A）;
（5）AA
（1）和A
（1）A均为幂等矩阵且与A同秩；
（6）R（AA
（1））=R（A）,N（A
（1）A）=N（A）,R（（A
（1）A）H）=R（AH）;
（7）A
（1）A=In的充要条件是rankA=n,AA
（1）=Im的充要条件是rankA=m;
（8）AB（AB）
（1）A=A的充要条件是rank（AB）=rankA,
B（AB）
（1）AB=B的充要条件是rank（AB）=rankB.
证明
（1）至（5）由定义可得.
证明（6）.R（AA
（1））R（A）=R（AA
（1）A）R（AA
（1））
所以R（AA
（1））=R（A）
由引理N（A）N（A
（1）A）N（AA
（1）A）=N（A）
所以N（A）=N（A
（1）A）.
（7）利用（5）式显然可证。
（8）充分性：
由于R（AB）R（A）和rank（A）=rank（AB）
得到R（AB）=R（A）
即R（A）R（AB）,得到存在X使得
A=ABX=（AB（AB）
（1）AB）X
=AB（AB）
（1）[ABX]=AB（AB）
（1）A
必要性：
rank（A）rank（AB）rank（AB（AB）
（1）A）
=rank（A）.
第2个等式同样证明。
说明：
在这节的许多证明中反复应用（8）这种证明方法,即利用引理和矩阵广义逆的定义证明结论。
定理6.6设矩阵Y,ZA{1},又设X=YAZ,则XA{1,2}
证明：
XAX=YAZAYAZ=Y（AZA）YAZ=Y（AYA）Z=YAZ=X.
定理6.7给定矩阵A和XA{1},则XA{1,2}的充要条件是rank（X）=rank（A）.
证明：
充分性：
因XA{1},所以A=AXA
所以rank（X）rank（XA）rank（AXA）=rank（A）
这样rank（X）=rank（XA）,
又因为R（XA）R（X）,这样R（X）=R（XA）
这就得到存在Y使得X=XAY
即X=XAY=X（AXA）Y=XA（XAY）=XAX
从而XA{2}
必要性。
由定理6.5我们知道
因XA{1}可得
rank（A）=rank（AX）rank（XAX）=rank（X）
rank（X）rank（AX）
因此rank（A）=rank（X）.
引理2对任意矩阵A均有rank（AHA）=rankA=rank（AAH）
证明：
由AHAx=0Ax=0,即N（AHA）N（A）
由引理存在X使得A=XAHA.
这就可得rank（A）rank（AHA）rank（A）
即rank（AHA）=rankA。
余下的类推。
定理6.8设矩阵A给定,则Y=（AHA）
（1）AHA{1,2,3}Z=AH（AAH）
（1）A{1,2,4}
证明：
rank（AHA）=rank（A）=rank（AH）,
由定理6.5的（8）可得
A=A（AHA）
（1）AHA
AH=AHA（AHA）
（1）AH
从而AYA=A（AHA）
（1）AHA=A
YAY=（AHA）
（1）[AHA（AHA）
（1）AH]=（AHA）
（1）AH=Y.
由于存在X使得A=XAHA,所以
AY=A（AHA）
（1）AH=XAHA（AHA）
（1）（XAHA）H=X[AHA（AHA）
（1）AHA]XH=XAHAXH为Hermite矩阵。
定理6.9设矩阵A给定,则A+=A（1,4）AA（1,3）
证明：
记X=A（1,4）AA（1,3）,由定理6.6知XA（1,2）.
另外,AX=AA（1,4）AA（1,3）=AA（1,3）为Hermite矩阵
XA=A（1,4）AA（1,3）A=A（1,4）A为Hermite矩阵。
从而由A+得到结论。
定理6.10设矩阵A给定,则
（1）rankA+=rankA;
（2）（A+）+=A;
（3）（AH）+=（A+）H,（AT）+=（A+）T;
（4）（AHA）+=A+（AH）+,（AAH）+=（AH）+A+;
（5）A+=（AHA）+AH=AH（AAH）+;
（6）R（A+）=R（AH）,N（A+）=N（AH）.
证明：
（1）-（4）可应用前面的定义得到。
下面证明（5）和（6）.
（5）.设X=（AHA）+AH,由定理6.8可得XA{1,2,3}由于XA=（AHA）+AHA为Hermite矩阵。
（利用（AHA）+AHA{1,2,3,4}）
（6）.由于A+AA+=A+,可得rank（AH）=rank（A）=rank（A+）
由于（5）,A+=AH（AAH）+得到R（A+）R（AH）这样R（A+）=R（AH）.
同样由A+=（AHA）+AH,得到N（AH）N（A+）因此N（A+）=N（AH）。
推论1若ACnm×n,则A+=（AHA）1AH
若ACmm×n则A+=AH（AAH）1
推论2设为n维列向量,且0,则+=（H）1H
而（H）+=（+）H=（H）1
对于同阶可逆矩阵A,B有（AB）1=B1A1;
定理6.10之（4）表明对于特殊的矩阵A和AH,
Moore-Penrose逆有类似的性质。
定义6.6设矩阵ACm×n。
若矩阵XCn×m满足AX=PR（A）,XA=PR（X）,其中PL是空间L上的
正交投影矩阵,则称X为A的Moore广义逆矩阵。
定理6.11Moore的广义逆矩阵和Penrose的广义逆矩阵（定义6.4）是等价的。
定理6.12设ACm×n,若存在xCn×m和CCm×m,VCn×n满足AXA=A,X=AHU,X=VAH,
则X惟一确定,且X=A+。
定理6.13设ACm×n,若存在xCn×m和ZCm×n,满足AXA=A,X=AHZAH,则X=A+。
线性映射理论在广义逆中的应用
1）若XA{1},设ACmn,取N（A）的一个基xr+1,xr+2,…,xn,
扩充为Cn的一个基为x1,x2,…,xr,xr+1,xr+2,…,xn。
则Ax1,Ax2,…,Axr为R（A）的一个基,
扩充为Cm的一个基Ax1,Ax2,…,Axr,y1,y2,…,ymr.
显然A（x1,x2,…,xr,xr+1,xr+2,…,xn）=（Ax1,Ax2,…,Axr,y1,y2,…,ymr）
由AXA=A可推得
X（Ax1,Ax2,…,Axr,y1,y2,…,ymr）=（x1,x2,…,xr,xr+1,xr+2,…,xn）
记Q=（x1,x2,…,xr,xr+1,xr+2,…,xn）,P=（Ax1,Ax2,…,Axr,y1,y2,…,ymr）
由此有A=P
Q1,X=Q
P1
2）.若XA{1,2},则由XAX=X，可以推得
D=CB.因此这时
X=Q
P1=Q
P1
3）.若XA{1,3},则（AX）H=AX
这时我们选取x1,x2,…,xr,xr+1,xr+2,…,xn的为Cn一个正交基，选取y1,y2,…,ymr为R（A）的一个正交基。
这时
AX=P
P1而P1=
PH
其中X1=（x1,x2,…,xr）为N（A）的一个标准正交基。
这样
AX=P
PH
那么由AX为Hermite矩阵可得B=0。
从而X=Q
P1
4）.若XA{1,4},则（XA）H=XA
类似地，由3）的假设可得
XA=Q
QH,
这时由XA为Hermite矩阵可得C=0。
从而X=Q
P1
5）若XA{1,3,4},则
X=Q
P1=X1
X1HAH+X2DYH其中X2为N（A）的一个标准正交基,
Y为R（A）的一个标准正交基。
6）.若XA{1,2,3,4},则
A+=Q
P1=X1
X1HAH
联合3）.4）推得A+=A（1,4）AA（1,3）
7）.若A的满秩分解为A=FG,取X1=GH（GGH）1/2，这时X1为N（A）的一个标准正交基。
这样可以算得
A+=GH（GGH）1（FHF）1FH=GH（FHFGGH）1FH=GH（FHAGH）1FH
利用这些表达式，可以得到如下几个定理的证明
定理6.12设ACm×n,若存在XCn×m和UCm×m,VCn×n满足AXA=A,X=AHU,X=VAH,
则X惟一确定,且X=A+。
定理6.13设ACm×n,若存在xCn×m和ZCm×n,满足AXA=A,X=AHZAH,则X=A+。
6.3广义逆的计算方法（本节主要掌握计算矩阵1-逆和A+逆的一种计算方法）
1.利用Hermite标准形计算{1}和{2}逆
定理6.14设ACrm×n,又设QCmm×m和PCnn×n使得
成立,则对任意LC（n-r）（m-r）,n×m矩阵
是A的{1}-逆。
若令L=0则X是A的{1,2}-逆.
例
A=
则存在矩阵P和Q使得
QAP=
=E
此时Q=
P=
对于任意的数a,b我们有
X=P
Q
=
=
=
+a
+b
其中a,b为任意的数.这时X属于A{1}。
若令a=b=0
则X=
属于A{1,2}.
2.利用满秩分解求广义逆矩阵
定理6.15设ACrm×n（r>0）的满秩分解为式A=FG,则
（1）G（i）F
（1）A{i},i=1,2,4;
（2）G
（1）F（i）A{i},i=1,2,3;
（3）G
（1）F+A{1,2,3},G+F
（1）A{1,2,4};
（4）A+=G+F（1,3）=G（1,4）F+;
（5）A+=G+F+=GH（GGH）-1（FHF）-1FH=GH（FHAGH）-1FH.
证明：
由于G和F为满秩矩阵,因此F
（1）F=GG
（1）=Ir
由定义可直接验证
（1）和
（2）.
验证
（1）.AG
（1）F
（1）A=FGG
（1）F
（1）FG=FG=A.
G
（2）F
（1）AG
（2）F
（1）=G
（2）F
（1）FGG
（2）F
（1）=G
（2）GG
（2）F
（1）=G
（2）F
（1）
G（4）F
（1）A=G（4）F
（1）FG=G（4）G=（G（4）G）H=（G（4）F
（1）A）H
（2）类似可证。
（3）.由
（1）
（2）可得。
其中G+和F+换成G（1,2,4）和F（1,2,3）结论也成立。
（4）.由（3）知道G+F（1,3）A{1,2,4},证明G+F（1,3）A{3}
AG+F（1,3）=FGG+F（1,3）=FF（1,3）=（FF（1,3））H=（AG+F（1,3））H
从而G+F（1,3）A{3}成立。
（5）利用公式F+=（FHF）1FH,
G+=GH（GGH）1
可得结论。
由此我们得到了计算A+的方法。
例
A=
=FG（FHF）1FH=
G1=G
则A+=G（FHF）1FH=
.
引理3设ACrm×n,UCn×p,VCq×m,又设X=U（VAU）
（1）V（6.3.5）
其中（VAU）
（1）（VAU）{1}.则
（1）XA{1}的充要条件是rank（VAU）=r；
（2）XA{2}且R（X）=R（U）的充要条件是rank（VAU）=rankU
（3）XA{2}且N（X）=N（V）的充要条件是rank（VAU）=rankV
（4）XA{1,2}且R（X）=R（U）,N（X）=N（V）的充要条件是rank（VAU）=rankU=rankV=r
引理4对任意给定的矩阵A满足XA{1,2}和
R（X）=R（AH）,N（X）=N（AH）的惟一矩阵为A+。
定理6.16给定矩阵A,则A+=AH（AHAAH）
（1）AH（6.3.6）
其中（AHAAH）
（1）（AHAAH）{1}
定理6.17（Greville）设ACm×n,记ak（k=1,…,n）为A的
第k列,Ak（k=1,…,n）为A的前k列构成的子矩阵；又记dk=A+k-1ak（6.3.7）
ck=ak-Ak-1dk=ak-Ak-1A+k-1ak=ak-
（6.3.8）则
（6.3.9）其中
（k=2,…,n）
6.4广义逆与线性方程组求解
（本节主要讨论利用广义逆表示一般线性方程组的解.对于线性方程组Ax=b,如果A非奇异，则x=A1b.对于一般的线性方程组，我们希望得到类似的结果。
这就是本节讨论的主要问题.）
定理6.26设ACm×n,BCp×q,DCm×q,则矩阵方程AXB=D（6.4.5）
相容的充要条件是AA
（1）DB
（1）B=D（6.4.6）
其中A
（1）A{1},B
（1）B{1}.当方程（6.4.5）相容时,其通解为
X=A
（1）DB
（1）+YA
（1）AYBB
（1）（6.4.7）这里YCn×p任意。
证明：
充分性.若AA
（1）DB
（1）B=D成立,取X=A
（1）DB
（1）结论
显然成立。
反之,若AXB=D有解,则D=AXB=AA
（1）AXBB
（1）B=AA
（1）DB
（1）B成立。
显然A
（1）DB
（1）+Y-A
（1）AYBB
（1）为AXB=D的解。
若X为其任意一个解,则
X=A
（1）DB
（1）+XA
（1）AXBB
（1）成立。
推论设ACm×n,A
（1）A{1}则A{1}={A
（1）+ZA
（1）AZAA
（1）|ZCn×m}（6.4.8）
定理6.27线性方程组Ax=b相容的充要条件是AA
（1）b=b（6.4.9）
且其通解为x=A
（1）b+（I-A
（1）A）y（6.4.10）其中yCn任意。
证明：
充分性显然。
必要性：
b=Ax=AA
（1）Ax=AA
（1）b.显然A
（1）b+（I-A
（1）A）y为它的解,反之若Ax=b
则x=A
（1）b+xA
（1）b=A
（1）b+xA
（1）Ax=A
（1）b+（IA
（1）A）x
定理6.28设ACm×n,bCm,XCn×m.若对于使得方程组（6.5.1）相容的所有b,x=Xb都是解,
则XA{1}。
证明：
由于对于A的每一列ai,则Ax=ai都是相容的。
因此AXai=ai,取i=1,2,...,n,则得到AXA=A成立。
2.相容线性方程组的最小范数解
引理6相容方程组Ax=b的极小范数解惟一,且这个惟一解在R（AH）中。
证明：
利用R（AH）=N（A）.
引理7集合A{1,4}由矩阵方程XA=A（1,4）A（6.4.11）的所有解X组成,其中A（1,4）A{1,4}。
证明：
显然
XA=XAA（1,4）A=（XA）H（A（1,4）A）H=AHXHAH（A（1,4））H=（AXA）H（A（1,4））H=AH（A（1,4））H=（A（1,4）A）H=A（1,4）A
这个定理说明对于任给的XA{1,4}XA为常数矩阵。
推论：
A（1,4）A=
AA（1,3）=PR（A）.
定理6.29设ACm×n,A（1,4）A{1,4},则A{1,4}={A（1,4）+Z（I-AA（1,4））|ZCn×m}（6.4.12）
定理6.30设方程组Ax=b相容,则x=A（1,4）b为最小范数解；反之,若对任何的bR（A）,Xb都是最小范数解,则XA{1,4}.
3.矛盾方程组的最小二乘解与{1,3}-逆Ax=b
引理8设ACm×n,集合A{1,3}由矩阵方程AX=AA（1,3）（6.4.13）的所有解X组成,其中
A（1,3）A{1,3}。
证明:
若XA{1,3},则AX=AA（1,3）AX=（AX）H（AA（1,3））H=AXAA（1,3）=AA（1,3）
反之，若AX=AA（1,3）,则首先由于AA（1,3）为Hermite矩阵,
从而AX为Hermite矩阵，即XA{3};
另外，AXA=AA（1,3）A=A,从而XA{1}.这样XA{1,3}。
证毕。
推论：
A（1,4）A=
AA（1,3）=PR（A）.
定理6.31设ACm×n,A（1,3）A{1,3}则A{1,3}={A（1,3）+（IA（1,3）A）Z|ZCn×m}（6.4.14）
证明：
由引理8和定理6.26可得
AX=AA（1,3）通解为X=A（1,3）AA（1,3）+YA（1,3）AY
令Y=A（1,3）+Z,代入可得
X=A（1,3）AA（1,3）+A（1,3）+ZA（1,3）A（A（1,3）+Z）
=A（1,3）AA（1,3）+A（1,3）+ZA（1,3）AA（1,3）A（1,3）AZ
=A（1,3）+（IA（1,3）A）Z证毕。
定理6.32设ACm×n,bCm,A（1,3）A{1,3}.则x=A（1,3）b（6.4.15）是方程组Ax=b的最小二乘解,反之,设XCm×n,若对所有bCm,x=Xb都是方程组Ax=b的最小二乘解,则XA{1,3}
证明:
显然Axb=AxPR（A）b+（PR（A）bb）由于AxPR（A）bR（A）,（PR（A）bb）R（A）=N（AH）
所以||Axb||2=||AxPR（A）b||2+||PR（A）bb||2
显然||Axb||2取得极小值的充要条件为AxPR（A）b=0.
任取A（1,3）A{1,3},欲证AA（1,3）=PR（A）需证明R（AA（1,3））=R（A）,且AA（1,3）为投影矩阵。
R（AA（1,3））=R（A）.
显然R（AA（1,3））R（A）=R（AA（1,3）A）R（AA（1,3））从而R（AA（1,3））=R（A）且AA（1,3）=AA（1,3）（AA（1,3））.
R（AA（1,3））=N（（AA（1,3））H）N（AH）=R（A）.反之，若yN（A
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