高中数学导数及其应用教学研究.docx

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高中数学导数及其应用教学研究

专题讲座

高中数学“导数及其应用”教学研究

李梁北京市西城区教育研修学院

一、关于导数内容的深层理解

（一）微积分的发展史简述

一门科学的创立决不是某一个人的业绩，必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样.

微积分的产生一般分为三个阶段：

极限概念、求积的无限小方法积、分与微分的互逆关系.前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都作出了各自的贡献.最后一步是由牛顿、莱布尼兹各自独立完成的.

在早至公元前430年安提丰为解决化圆为方问题而提出的”穷竭法”,就为微积分奠定了一定的基础，开始了极限论的萌芽.后经过欧多克斯的加工到阿基米德的完善，穷竭法最终定型.阿基米德的贡献是积分学的萌芽.与此同时，战国时期庄子在《庄子·天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想.公元3世纪,刘徽在《九章算术》中提及割圆术“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”用正多边形来逼近圆周.这是极限论思想的成功运用。

他的极限思想和无穷小方法，也是世界古代极限思想的深刻体现.

虽然最后是欧洲人真正的研究和完成了微积分的创立工作，但中国古代数学对于微积分的出色工作也是不可忽视的.从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到14世纪初弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等数学史上的重要成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键.中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门.可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了.

至于欧洲，由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景.到了17世纪，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作.如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。

为微积分的创立做出了贡献.1629年费尔玛给了如何确定极大极小值的方法，这是微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作.其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生.而笛卡尔等对解析几何的贡献也为微积分奠定了基础.

但这些人的工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性.直到十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）.

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源.但牛顿是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即“流数术”理论，这实际上就是微积分理论.但牛顿的“流数术”，在概念上是不够清晰的，理论上也不够严密，在运算步骤中具有神秘的色彩，还没有形成无穷小及极限概念.而莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的.莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。

莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度——阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展.莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一.

牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一等，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展.但由于受当时历史条件的限制，牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念比较模糊，因此引发了长期关于微积分的逻辑基础的争论和探讨.经过18、19世纪一大批数学家的努力，特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，以极限的观点定义了微积分的基本概念，并简洁而严格地证明了微积分基本定理即牛顿―莱布尼茨公式，才给微积分建立了一个基本严格的完整体系.

（二）微积分在整个数学知识体系中的地位及作用

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力.微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律.此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展.

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数

学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数概念是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用.

（三）导数及其应用的结构框图

（四）导数及其应用的教学重点和难点

1．教学重点：

（1）导数概念的建立及其几何意义；

（2）导数的运算；

（3）利用导数研究函数的单调性，极值、最值等性质.

2．教学难点：

（1）在没有极限的条件下建立导数的概念；

（2）体会极限意义下的数学与精确意义下的数学的区别和联系；

（3）利用导数研究函数的性质.

二、导数及其应用的教学建议

（一）没有极限怎样讲解导数的概念？

1．以往教材的体现顺序：

数列—数列的极限—函数的极限—函数的连续—导数—导数应用—不定积分—定积分（导数作为一种特殊极限处理，有形式化的极限概念），体系相对完整.

2．新教材从变化率入手研究导数，用形象直观的“逼近”方法定义导数：

从函数的平均变化率到瞬时变化率，再到函数在处的导数，进而到函数在区间内导函数（导数）.

这样的好处体现在：

（1）避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；

（2）更多精力放在对导数本质的理解上；

（3）对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解.

3．导数概念的建立：

（1）平均变化率：

对于函数，定义为函数从到的平均变化率.换言之，如果自变量在处有增量，那么函数相应地有增量

，则比值就叫做函数从到之间的平均变化率.

（2）函数在处的导数：

函数在处的瞬时变化率是

，我们称它为函数在处的导数，记作，即

.

（3）函数的导函数（导数）：

当变化时，是的一个函数，我们称它为函数的导函数（简称导数），即.

例1如图，函数的图象是折线段，其中

的坐标分别为，则函数

在处的导数_________．

通过本例分析，强调导数定义的重要性及数形结合思想的应用.

（二）导数的几何意义教学注意事项

1．关注对于曲线切线的重新认识：

曲线的切线为曲线割线的极限位置.

2．导数的几何意义：

函数在点处的导数就是曲线在点

处的切线的斜率，即.

3．强调切点的重要性：

切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程.

教学中教师可以设计如下例题：

例2

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）过点作曲线的切线，求切线的方程.

对于

（1），根据导数的几何意义：

函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切线方程.

对于

（2），注意到点不在曲线上，所以可设出切点，并通过导数的几何意义确定切点的坐标，进而求出切线方程.

解：

（1）曲线在点处的切线斜率为，

从而切线的方程为，即.

（2）设切点的坐标为.

根据导数的几何意义知，切线的斜率为，

从而切线的方程为.

因为这条切线过点，所以有，

整理得，解得，或.

从而切线的方程为，或，

即切线的方程为，或.

通过此例，引导学生关注运用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是：

①函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即；

②切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程.

（三）导数的运算教学注意事项

1．熟悉导数公式表，即几种常见函数的导数：

①（为常数）；

②（，）；

③；

④；

⑤；

⑥（，且）；

⑦；

⑧（，且）．

2．明确导数的运算法则：

①；

②；

③（）．

3．关注简单的复合函数（仅限于形如）的导数：

设函数，，则函数称为复合函数．其求导步骤是：

，其中表示对求导，表示对求导．对求导后应把换成．

教学中教师可以设计如下例题：

例3求下列函数的导数：

（1）；

（2）；

（3）；（4）.

解：

（1）方法一：

.

方法二：

，

.

（2）方法一：

.

方法二：

，

.

（3）方法一：

.

方法二：

.

（4）.

通过此例题，教师强调理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件.运用公式和求导法则求导数的基本步骤为：

①分析函数的结构特征；

②选择恰当的求导法则和导数公式求导数；

③化简整理结果.

应注意：

在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量.（如

（1）

（2）题的方法二较方法一简捷）.

对于（3），方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将表示为和的乘积形式，然后求导数；方法二是从复合函数导数的角度求解.方法二较方法一简捷.

对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准确.

（四）定积分与微积分基本定理教学须知

1．曲边梯形的面积与定积分：

（1）定积分定义：

设函数定义在区间上.用分点把区间分为个小区间，其长度依次为，.记为这些小区间长度的最大者.当趋近于时，所有的小区间的长度都趋近于.在每个小区间内任取一点，作和式.当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，

即.其中叫做被积函数，叫做积分下限，叫做积分上限，此时称函数在区间上可积.

教学中应突出：

分割——近似代替——求和——取极限的步骤，概念非常抽象，结合图形帮助分析.

（2）明确定积分性质：

定积分有三条主要的性质：

①（为常数）；

②；

③（）.

性质②对于有限个函数（两个以上）也成立；性质③对于把区间分成有限个（两个以上）区间也成立.

在定积分的定义中，限定下限小于上限，即.为了计算方便，我们把定积分的定义扩展，使下限不一定小于上限，并规定：

.

（3）明确几种典型的曲边梯形面积的计算方法：

①由三条直线，，轴，一条曲线围成的曲边梯形的面积.

②由三条直线，，轴，一条曲线围成的曲边梯形的面积.

③由两条直线，，两条曲线，围成的平面图形的面积.

④由三条直线，，轴，一条曲线围成的曲边梯形的面积，即在区间上，有正有负，求曲边梯形的面积时应分段计算.

2、微积分基本定理：

如果，且在上可积，则

，其中叫做的一个原函数.原函数在上的改变量简记作，因此微积分基本定理可以写成.

教学中可采用如下例题：

例4计算下列定积分：

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）.

解：

（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

（5）.

（6）.

教学重要明确求一般分为两步：

①求的原函数；②计算的值，对于求较复杂函数的定积分还要依据定积分的性质.

例5求曲线，及直线所围成图形的面积.

解：

两条曲线，的交点为，

故所求面积.

（五）例举导数在研究函数性质中的应用

1．利用导数判断函数的单调性：

（1）函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

设函数在区间内可导，

①如果恒有，那么函数在区间内单调递增；

②如果恒有，那么函数在区间内单调递减.

值得注意的是，若函数在区间内有（或），但其中只有有限个点使得，则函数在区间内仍是增函数（或减函数）.

（2）一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范围内变化得快.这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就比较“平缓”.

2．利用导数研究函数的极值：

（1）设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，是极大值点；如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值，是极小值点.

（2）需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点.如在处的导数值为零，但不是函数的极值点.也就是说可导函数在处的导数是该函数在处取得极值的必要但不充分条件.

（3）函数在区间上的最值：

在区间上的最大值（或最小值）是在区间内的极大值（或极小值）及中的最大者（或最小者）.

（4）应注意，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内的整体性质.

例6求函数的单调区间.

解：

的定义域为，求导数得

.

令，得.

①当，即时，的变化情况如下表：

所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

②当，即时，的变化情况如下表：

所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

③当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减.

通过本例，明确求函数的单调区间的步骤：

①确定的定义域（这一步必不可少，单调区间是定义域的子集）；

②计算导数；

③求出方程的根；

④列表考察的符号，进而确定的单调区间（必要时要进行分类讨论）.

例7求函数的极值.

解：

，令，解得.

列表分析如下：

极大值

极小值

所以当时，有极大值；当时，有极小值.

通过本例，明确求函数的极值的步骤：

①计算导数；

②求出方程的根；

③列表考察的根左右值的符号：

如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值.

例8已知函数．

（1）求的单调递减区间；

（2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．

解：

（1）．

令，解得或．

所以函数的单调递减区间为，．

（2）因为，，

所以．

因为在上，所以在上单调递增，又由于在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值．

于是有，解得．

故，因此，

即函数在区间上的最小值为．

通过本例，明确求函数在闭区间上最值的基本方法：

①计算导数；

②求出方程的根；

③比较函数值及的大小，其中的最大（小）者就是在闭区间上最大（小）值．

例9求证：

当时，．

不等式两边都是关于的函数，且函数类型不同，故可考虑构造函数，通过研究函数的单调性来辅助证明不等式.

证明：

构造函数，则.

当时，有，从而，

所以函数在上单调递减，

从而当时，，

即当时，.

通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式是常用方法之一，而借助导数研究函数单调性辅助证明不等式突出了导数的工具性作用.

三、学生学习中常见的错误分析与解决策略

1．忽视函数的定义域：

例10求函数的单调区间.

易错点：

不优先考虑函数的定义域而直接求导，但求导后函数的“模样”（类型）变化很大，导致定义域变化，因而出现问题.

简解：

的定义域是，且，

令，得（舍去）.列表分析如下：

所以函数的减区间是，增区间是.

错因分析：

研究一个函数要优先考虑自变量的取值集合，这是一个基本顺序.在本题中如果忽视它，将导致对于的无谓讨论.

解决策略：

①明确导数是研究函数性质的工具之一，遵循一般函数的研究顺序；

②养成在定义域范围内研究函数问题的习惯；

③有检验意识.

2．不会研究较抽象的问题

例11设，分别是定义在上的奇函数和偶函数.当时，，且，则不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

易错点：

题目给出的信息量较大，并且还都是抽象符号函数，不知从何下手？

错因分析：

对于函数与导数要有整体的把握，才能从更高的观点出发，对于新情境问题找到突破口.

解决策略：

首先要标出重要的已知条件，从这些条件入手，不断深入研究.由你能产生什么联想？

它和积的导数公式很类似，整理可得.令，则当时，是增函数．再考虑奇偶性，函数是奇函数.还有一个已知条件，进而可得，这样我们就可以画出函数的示意图，借助直观求解.答案：

D

3．用导数解决实际问题

例12用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？

并求出它的最大容积．

易错点：

读不懂题，不能化未知为已知；即使能够建立函数关系也不关注实际背景．

错因分析：

函数观念弱化，无法建立函数关系，建模能力弱．

解决策略：

解决实际优化问题的关键在于建立数学模型（目标函数），通过把题目中的主要关系（等量和不等量关系）形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解．

简解：

设容器底面长方形宽为，则长为，

依题意，容器的高为．

显然，即的取值范围是．

记容器的容积为，

则．

对此函数求导得，．

令，解得；令，解得．

所以，当时，取得最大值1.8，这时容器的长为．

答：

容器底面的长为m、宽为m时，容器的容积最大，最大容积为．

四、学生学习目标检测分析

（一）课程标准中的相关要求

1．导数及其应用

（1）导数概念及其几何意义

①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．

②通过函数图像直观地理解导数的几何意义．

（2）导数的运算

①能根据导数定义求函数，，，，，的导数．

②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数．

③会使用导数公式表．

（3）导数在研究函数中的应用

①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．

②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．

（4）生活中的优化问题举例

例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．

（5）定积分与微积分基本定理

①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．

②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．

（二）高考考试内容与要求

1．导数概念及其几何意义．

2．导数的运算．

3．导数在研究函数中的应用．

4．生活中的优化问题．

5．定积分与微积分基本定理．

（三）典型题目剖析：

例13已知，函数，.设，记曲线在点处的切线为.

（1）求的方程；

（2）设与轴的交点是，证明：

.

对于

（1），根据导数的几何意义，不难求出的方程；对于

（2），涉及到不等式的证明，依题意求出用表示的后，将视为的函数，即，结合要证明的结论进行推理.

简解：

（1）对求导数，得，由此得切线的方程为：

.

（2）依题意，切线方程中令，得.

由，及，有；

另一方面，，

从而有，当且仅当时，.

本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明.涉及的基础知识都比较基本，题目难度也不大，但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合，具有一定新意，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这种趋势在教学中因予以关注，体现导数的工具性作用.

本题中的

（2）在证明时，还可用如下方法：

①作差，.

②利用平均值不等式，.

例14（2009年高考北京卷理18）设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

本题以研究函数的单调性为背景，全面考查了运用导数解决与单调性相关问题的全过程.从数学思想角度考查了函数与方程思想、分类与整合思想、划归与转化的思想等，内涵丰富.通过这个问题可以有效引导教学关注考查热点，关注导数教学的重点，注意教学的针对性与实效性.

简解：

（1），令，得.

若，则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.

若，则当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.

（2）若，则当且仅当，即时，函数在区间内单调递增；若，则当且仅当，即时，函数在区间内单调递增.

综上，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.

例15（2007年高考全国卷理120）已知函数．

（1）证明：

的导数；

（2）若对所有都有，求的取值范围．

本题以研究一个新的函数的性质为背景，全面考查了运用导数方法解决相关问题的全过程.考查了分类与整合的思想、构造函数模型证明不等式的基本方法等．重点突出，内涵丰富.题目将导数融入函数整体性质的考查以及和不等式的有机结合颇有创意，可以对我们教学中的方向和要求起到提示作用．

简解：

（1）的导数．

由于，故，当且仅当时，等号成立．

（2）令，则

，

①若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即．

②若，方程的正根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数．

所以，时，，即，与题设相矛盾．

综上，满足条件的的取值范围是．

通过对上述高考题目的剖析，教师们要明确导数在高考中的考查热点，主要集中在下述几方面：

1．研究函数性质

导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

2．证明不等式成立

证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性.由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大（小）值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式.

3．求解参数范围

给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式.在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要.

4．研究曲线的切线问题

导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中.解决此类相切问题，一般先求函数的导数，依据曲线在处的切线斜率为而进行研究.由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图象上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解.

5．解决实践问题

在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题.我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最大（小）值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题.解答此类问题时，需要抓住三个基本步骤：

①建立函数关系；②求极值点，确定最大（小）值；③回归优化方案．

由上可知，导数思想方