第26章 二次函数综合训练含答案.docx

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第26章二次函数综合训练含答案

二次函数综合训练

基础•巩固

1.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列那幅图刻画（）

2.一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分.下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度h（米）与时间t（秒）之间变化关系的是（）

3.在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？

4.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.

5.在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2.4米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米.设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中（假设球圈直径为45cm，篮球的直径为25cm，篮球偏离球圈中心10cm以内都能投中）？

.综合•应用

6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是__________.

7.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元.

（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；

（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式；

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用）？

最大利润是多少？

8.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?

若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

\

9.我市某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图②的抛物线表示.

图26.3-11①图26.3-11-②

（1）直接写出图①中表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）（t>0）的函数关系式；

（2）求出图②中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t（天）（t>0）的函数关系式；

（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？

（说明：

市场销售单价和种植成本单价的单位：

元/500克.）

回顾•展望

10.连接着汉口集家咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥，它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系.

图①图②

（1）求抛物线的解析式；

（2）正中间系杆OC的长度是多少米？

是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？

请说明理由.

11.（福建南平模拟）某公司年1—3月的月利润y（万元）与月份x之间的关系如图所示图中的折线可近似看作是抛物线的一部分.

（1）根据图象提供的信息，求出过A、B、C三点的二次函数关系式；

（2）公司开展技术革新活动，定下目标：

今年6月份的利润仍以图中抛物线的上升趋势上升.6月份公司预计将达到多少万元？

（3）如果公司1月份的利润率为13%，以后逐月增加1个百分点.已知6月上旬平均每日实际销售收入为3.6万元，照此推算6月份公司的利润是否会超过

（2）中所确定的目标？

（成本总价=利润利润率，销售收入=成本总价+利润）

思路解析：

被踢出的足球运动路径为抛物线.

答案：

B

思路解析：

投出的篮球运动路径为抛物线.

答案：

D

思路解析：

先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18，就可判断球出线.

解：

以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系（如图）.

由于其图象的顶点为（9,5.5），设二次函数关系式为y=a（x-9）2+5.5（a≠0），由已知，这个函数的图象过（0,1.9），可以得到1.9=a（0-9）2+5.5.

解得

.

所以，所求二次函数的关系式是y=

（x-9）2+5.5.

排球落在x轴上，则y=0，因此，

（x-9）2+5.5=0.

解方程，得x1=9+

≈20.1，x2=9-

（负值，不合题意，舍去）.

所以，排球约在20.1米远处落下，

因为20.1>18，

所以，这样发球会直接把球打出边线.

思路解析：

建立适当的坐标系可以简化解题步骤.先建立如图26.3-13.2的坐标系，根据已知条件求出抛物线的解析式，再求抛物线上纵坐标为2.8的点之间的距离，若这个距离大于汽车装货宽度，就可判断汽车能顺利通过大门.

解：

如图，以大门地面的中点为原点，大门地面为x轴，建立直角坐标系.根据对称性，设二次函数关系式为y=a（x+2）（x-2）（a≠0），

由已知，这个函数的图象过（0,4.4），可以得到4.4=a（0+2）（0-2）.

解得a=-1.1.

所以所求二次函数的关系式是y=-1.1x2+4.4.

当y=2.8时，有-1.1x2+4.4=2.8.

解方程，得x1≈1.21，x2≈-1.21.

因为2×1.21>2.4,

所以，汽车能顺利通过大门.

思路解析：

建立坐标系，用函数观点判断球圈中心点是否在抛物线上.

解：

以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系.

由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为（4,4），

设二次函数关系式为y=a（x-4）2+4（a≠0），

由已知，这个函数的图象过（0,2.4），可以得到2.4=a（0-4）2+4.

解得a=-0.1.

所以所求二次函数的关系式是y=-0.1（x-4）2+4.

当x=7时，y=-0.1（x-4）2+4=3.1.

因为3.1=3+0.1，0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.

答：

这个球能投中

思路解析：

图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关，可设正方形的边长为2m，则A（0，

）、B（

，

）、C（

，

），把A、B的坐标值代入y=ax2+c中，得a=

，

，所以

.

答案：

2

思路解析：

（1）市场价每天上升1元，则P=30+x；

（2）销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；

（3）根据利润计算式表达，可设利润为w元，用函数性质解决.

答案：

（1）P=30+x.

（2）Q=（30+x）（1000-10x）+20·10x=-10x2+900x+30000.

（3）设利润为w元，则

w=（-10x2+900x+30000）-30·1000-400x=-10（x-25）2+6250.

∵-10<0,

∴当x=25时，w有最大值，最大值为6250.

答：

经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大利润.

思路解析：

用方程或函数考虑.设其中一段长为xcm，列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.

方法一：

（1）解：

设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm.

由题意得

.

解得x1=16，x2=4.

当x1=16时，20-x=4；当x2=4时，20-x=16.

答：

这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.

（2）不能.理由是：

.

整理,得x2-20x+104=0.

∵Δ=b2-4ac=-16<0,

∴此方程无解，

即不能剪成两段使得面积和为12cm2.

方法二：

剪成两段后其中一段为xcm，两个正方形面积的和为ycm2.

则

（x-10）2+12.5（0

当y=17时，有

（x-10）2+12.5=17.

解方程，得x1=16，x2=4.

当x1=16时，20-x=4；当x2=4时，20-x=16.

答：

这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.

（2）不能.理由是：

函数y=

（x-10）2+12.5中，a=

>0，当x=10时，函数有最小值，最小值为12.5.

∵12<12.5，

所以不能剪成两段使得面积和为12cm2.

思路解析：

从图形中得出相关数据，用分段函数表示市场销售单价，种植成本是一段抛物线，再分别计算各时段的纯收益单价，比较得出结论.

解：

（1）①当0≤x≤120时，y=

+160；

②当120≤x≤150时，y=80；

③当150≤x≤180时，y=

+20.

（2）设z=a（x-110）2+20,

把x=60，y=

代入，

=a（60-110）2+20,解得

.

所以

（x-110）2+20，即

（0≤x≤180）.

（3）设纯收益单价为w（元），则

①当0≤x≤120时，w=（

x+160）-（

）=

（x-10）2+100，

∵

∴当x=10时，w有最大值，最大值为100（元）.

②当120≤x≤150时，w=80-（

）=

（x-110）2+60，

∵

∴当x=110时，w有最大值，最大值为60（元）.

③当150≤x≤180时，w=（

x+20）-（

）=

（x-170）2+56，

∵

∴当x=170时，w有最大值，最大值为56（元）.

综上所述，第10天上市的绿茶纯收益单价最大.

思路解析：

（1）根据抛物线的对称性，设抛物线的解析式为y=ax2+c，由点A（或点B）和EF的位置坐标，列出方程组，求出解析式.

（2）OC的长由抛物线与y轴交点可以得到.

图中系杆的横坐标都应该是5的整数，判断图象上纵坐标为OC长一半的点的横坐标是否是5的倍数.令函数式的值为OC长的一半，列方程解出对应的x值，再进行判断.

解：

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+c

∵B（140,0），E（70,42），∴

解得a=

c=56.

∴y=

x2+56.

（2）当x=0时，y=

x2+56=56.∴OC=56（米）.

设存在一根系杆的长度是OC的一半，即这根系杆的长度是28米.

则28=

x2+56，解得

.

∵相邻系杆之间的间距均为5米，最中间系杆OC在y轴上，

∴每根系杆上的点的横坐标均为整数.

∴

与实际不符.

∴不存在一根系杆的长度是OC的一半.

思路解析：

先根据图象用待定系数法求出月利润与月份之间的函数关系式，再根据解析式计算.

计算图象中6月份的利润，计算按1个百分点增长的利润，比较大小.

解：

设y与x之间的函数关系式为y=ax2+bx+c，依题意，得

解得a=

，b=-

，c=3.

∴y与x之间的函数关系式为y=

x2-

x+3.

（2）当x=6时，解得y=18.∴预计6月份的利润将达到18万元.

（3）6月份的利润率为：

13%+5×1%=18%.

6月份的实际销售收入为：

3.6×30=108（万元）.

解法一：

设6月份的实际利润为x万元，依题意，得

+x=108.

解得x≈16.7（万元）.

∵16.7<18,

∴6月份的利润不会达到原定目标.

解法二：

6月份预计销售收入：

+18=118（万元）.

∵108<118,

∴6月份的利润不会达到原定目标.