广东省肇庆市中小学教学质量评估届高中毕业班第三次统一检测题数学试题理科含详细答案.docx
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广东省肇庆市中小学教学质量评估届高中毕业班第三次统一检测题数学试题理科含详细答案
试卷类型：
A
广东省肇庆市中小学教学质量评估2015届高中毕业班第三次统一检测题数学试题（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试
室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域
内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
参考公式：
锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，为锥体的高.
列联表随机变量.与k对应值表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设为虚数单位，则复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，，则
A．（3，7）B．（3，9）C．（5，7）D．（5，9）
3．在ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=
A．B．C．D．
4．执行如下图的程序框图，则输出的值P=
A．12B．10C．8D．6
5．某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是
A．B．C．D．
6．设等比数列的前n项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是
A． B． C． D．
7．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|=3，则AOB的面积为
A．B．C．D．
8．对于非空集合A、B，定义运算：
.已知，，其中a、b、c、d满足，，则
A．B．C．D．
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9～13题）
9．如右图是某高三学生进入高中三年来第1次至14次的数学考试
成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数是▲.
10．函数的定义域▲.
11．不等式的解集为▲.
12．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋
友1本，则不同的赠送方法共有▲种（用数字作答）.
13．已知为不等式组所表示的平面区域，E为圆（）及其内部所表示的平面区域，若“点”是“”的充分条件，则区域E的面积的最小值为▲.
（）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点（1，0）关于直
线对称的点的极坐标是▲.
15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，且AB=6，
CD是弦，BA、CD的延长线交于点P，PA=4，PD=5，
则∠COD=▲.
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，求的值．
17．（本小题满分12分）
某校高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班.在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如下表.
优秀
非优秀
总计
课改班
50
非课改班
20
110
合计
210
（1）请完成上面的22列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改
有关”；
（2）把全部210人进行编号，从编号中有放回抽取4次，每次抽取1个，记被抽取的4
人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望E.
18．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EFPB.
（1）证明：
PA//平面EDB；
（2）证明：
ACDF；
（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值.
19．（本小题满分14分）
已知数列{}满足：
，（）；数列{}满足：
（）.
（1）求数列{}的通项公式及其前n项和；
（2）证明：
数列{}中的任意三项不可能成等差数列.
20．（本小题满分14分）
已知直线l：
与双曲线C：
（）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）.
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，，试判断△ABD是否为
直角三角形，并说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知函数（），.
（1）讨论的单调区间；
（2）是否存在时，对于任意的，都有恒成立？
若
存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
肇庆市2015届高中毕业班第三次统测数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
A
D
C
D
二、填空题
9．94.510．11.12.10
13．14．15．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：
（1）（2分）
（4分）
（5分）
所以函数的最小正周期.（6分）
（2）由
（1）得，
（7分）
由，得.（8分）
因为，所以.（9分）
所以，，（11分）
所以.（12分）
17．（本小题满分12分）
解：
（1）
优秀
非优秀
总计
课改班
50
50
100
非课改班
20
90
110
合计
70
140
210
（2分）
，（5分）
所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与课改有关.（6分）
（2）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4.（7分）
由于是有放回的抽取，所以可知每次抽取中抽到优秀的概率为，（8分）
；
；
；
；
.
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
P
（10分）
.（12分）
18．（本小题满分14分）
证明：
（1）连接AC交BD于点G，连接EG.（1分）
因为四边形ABCD是正方形，所以点G是AC的中点，（2分）
又因为E为PC的中点，，因此EG//PA.（3分）
而EG平面EDB，所以PA//平面EDB.（4分）
（2）因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD.（5分）
因为PD底面ABCD，AC底面ABCD，所以ACPD.（6分）
而PD∩BD=D，所以AC平面PBD.（7分）
又DF平面PBD，所以ACDF.（8分）
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，所以.（9分）
设，则，.
由EFPB，得，即，即，
故.（10分）
设平面DEF的一个法向量，，，
由，得，解得，取.（11分）
又是底面ABCD的一个法向量，（12分）
所以，（13分）
故平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值为.（14分）
19．（本小题满分14分）
解：
（1）由，得.（2分）
因为，所以.
因此数列{}是以为首项，为公比的等比数列.（3分）
所以，即（）.（5分）
所以（6分）
（）.（8分）
（2）由
（1），得.（9分）
下面用反证法证明：
数列{}中的任意三项不可能成等差数列.
假设数列{}中存在三项（）按某种顺序成等差数列，由于数列{}是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只能有成立.（11分）
所以，
两边同乘，化简得.（13分）
因为，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾.故数列{}中的任意三项不可能成等差数列.（14分）
20．（本小题满分14分）
解：
（1）设，）.
把代入，并整理得，（1分）
则，.（2分）
由M（1，3）为BD的中点，得，即，（3分）
故，（4分）
所以C的离心率为.（5分）
（2）由
（1），得C的方程为，，，
，，故不妨设，，（6分）
，（7分）
，（8分）
（9分）
又，所以，
解得或（舍去）.（10分）
所以，，.（11分）
，，（12分）
，（13分）
所以，即△ABD是为直角三角形.（14分）
21．（本小题满分14分）
解：
（1）函数的定义域为（0，+∞）.
，（1分）
①当时，令，解得.
当时，；当时，；
所以的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（2分）
②当时，令，解得，.
当时，当时，；当时，；所以的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（3分）
当时，当时，；当时，；当时，；所以的单调增区间为（0，1）与（，+∞），单调减区间为（1，）；
（4分）
当时，，所以的单调增区间为（0，+∞）；
（5分）
当时，当时，；当时，；当时，；所以的单调增区间为（0，）与（1，+∞），单调减区间为（，1）.
（6分）
综上，当时，的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
当时，的单调增区间为（0，1）与（，+∞），单调减区间为（1，）；
当时，的单调增区间为（0，+∞）；
当时，的单调增区间为（0，）与（1，+∞），单调减区间为（，1）.
（7分）
（2）对于任意的，都有恒成立，等价于时，成立.（9分）
由
（1）得当时，在（1，+∞）上单调递减，所以当时，.（10分）
，
令，而
所以在（0，+∞）上单调递减.
在[1，2]上，，因为，所以；
所以在[1，2]上，，；所以在[1，2]上单调递减，所以当时，.（12分）
故，即，（13分）
因为，所以存在时，对于任意的，都有恒成立，且m的取值范围是（-∞，0）.（14分）
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