直线与平面平面与平面平行的性质.docx

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直线与平面平面与平面平行的性质

　直线与平面、平面与平面平行的性质

[学习目标]　1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.

知识点一　直线与平面平行的性质定理

文字语言

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

符号语言

⇒a∥b

图形语言

思考　

（1）若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的任意一条直线，对吗？

（2）若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任一直线都不平行，对吗？

答　

（1）不对.若直线a∥平面α，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一组直线平行.

（2）不对.若直线a与平面α不平行，则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时，α内有无数条直线与直线a平行.

知识点二　平面与平面平行的性质

文字语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

图形语言

思考　

（1）两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？

（2）两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？

答　

（1）不一定.因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面.

（2）平行.因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行.

题型一　线面平行性质定理的应用

例4　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：

AP∥GH.

证明　连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点.

又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.

又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴AP∥平面BDM.

又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：

AC∥FG.

证明　∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，

∴AC∥平面A1EC1.

又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，

∴AC∥FG.

题型二　面面平行性质定理的应用

例2　已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：

MN∥平面α.

证明　①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.

∵α∥β，∴AC∥BD.

又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.

又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α.

②若AB、CD异面，

如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.

∵AE∥CD.

∴AE、CD确定平面AEDC.

则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.

又P、N分别为AE、CD的中点，

∴PN∥ED，又ED⊂平面α，PN⊄平面α，

∴PN∥平面α.

同理可证MP∥BE，∴MP∥平面α，

∵AB、CD异面，∴MP、NP相交.

∴平面MPN∥平面α.

又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.

跟踪训练2　如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长.

解　如图，连接AF，交β于点G，

连接BG，GE，AD，CF.

因为平面α∥平面β∥平面γ，

所以BG∥CF，GE∥AD.

所以

＝

＝

＝

.

所以

＝

.

所以AB＝

cm，EF＝3DE＝15cm，

BC＝AC－AB＝

cm.

题型三　平行关系的综合应用

例3　如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？

如果能，求出截面的面积.

解　能，如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.

∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N，平面AC∩平面A1C＝MC，

∴A1N∥MC.

同理，A1M∥NC.∴四边形A1MCN是平行四边形.

∵C1N＝

C1D1＝

A1B1＝A1P，C1N∥A1P，

∴四边形A1PC1N是平行四边形，

∴A1N∥PC1且A1N＝PC1.

同理，A1M∥BP，A1M＝BP.

又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，

∴平面A1MCN∥平面PBC1.

故过点A1与截面PBC1平行的截面是▱A1MCN.

连接MN，作A1H⊥MN于点H.

由题意，易得A1M＝A1N＝

，MN＝2

.

∴MH＝NH＝

，∴A1H＝

.

故

＝2×

×2

×

＝2

.

跟踪训练3　如图，三棱锥A－BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.

求证：

CD∥平面EFGH.

证明　∵四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.

∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，

平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.

又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，

∴CD∥平面EFGH.

转化与化归思想

例4　

如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.

（1）求证：

l∥BC；

（2）MN与平面PAD是否平行？

试证明你的结论.

分析　欲证明线线平行可考虑线面平行的性质，欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质.

（1）证明　因为AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.

所以AD∥平面PBC.

又因为平面PBC∩平面PAD＝l，

所以l∥BC.

（2）解　平行.证明如下：

如图，

取CD的中点Q，连接NQ，MQ.

因为M，N分别是AB，PC的中点，

所以MQ∥AD，NQ∥PD.

因为MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，

所以平面MNQ∥平面PAD.

因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.

忽视定理的条件

例6　如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：

四边形BED1F是平行四边形.

分析　已知E，F两点为正方体棱的中点，若证四边形BED1F为平行四边形，则先证B，E，D1，F四点共面，再证四边形BED1F为平行四边形.

证明　如图，连接AC，BD，交点为O；连接A1C1，B1D1，交点为O1.连接BD1，EF，OO1.

设OO1的中点为M.

由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形.

又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，

所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，

BD1过OO1的中点M，

所以EF与BD1相交于点M.

所以E，B，F，D1四点共面.

又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，

平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，

平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，

所以ED1∥BF.

同理，EB∥D1F.

所以四边形BED1F是平行四边形.

1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（　　）

A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交

C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交

2.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（　　）

A.α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B.α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

3.若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则（　　）

A.α∥平面ABC

B.△ABC中至少有一边平行于α

C.△ABC中至多有两边平行于α

D.△ABC中只可能有一边与α相交

4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝

，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.

5.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________.

一、选择题

1.如图，在四面体A－BCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（　　）

A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMN

C.AC＝BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°

2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（　　）

A.2∶25　　　　　　　B.4∶25

C.2∶5D.4∶5

3.设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C（　　）

A.不共面

B.当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面

C.当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D.不论A，B如何移动，都共面

4.如图，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）

A.MN∥PD

B.MN∥PA

C.MN∥AD

D.以上均有可能

5.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线（　　）

A.至少有一条B.至多有一条

C.有且只有一条D.没有

6.下列结论中，正确的有（　　）

①若a⊄α，则a∥α

②a∥平面α，b⊂α，则a∥b

③平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b

④平面α∥β，点P∈α，a∥β，且P∈a，则a⊂α

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（　　）

A.都平行B.都相交且一定交于同一点

C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点

二、填空题

8.已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：

①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；

②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；

③若a∥α，a∥β，则α∥β；

④若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；

⑤若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.

其中正确命题的序号是________.

9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.

10.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E、F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.

三、解答题

11.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心.

（1）求证：

平面MNG∥平面ACD；

（2）求S△MNG∶S△ADC.

12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：

MN∥平面AA1B1B.

当堂检测答案

1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（　　）

A.只和这个平面内的一条直线平行

B.只和这个平面内两条相交直线不相交

C.和这个平面内的任何一条直线都平行

D.和这个平面内的任何一条直线都不相交

2.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（　　）

A.α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B.α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

3.若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则（　　）

A.α∥平面ABC

B.△ABC中至少有一边平行于α

C.△ABC中至多有两边平行于α

D.△ABC中只可能有一边与α相交

4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝

，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.

5.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________.

课时精练答案

一、选择题

1.答案　C

解析　∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，从而易得PQ∥面DAC.又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC.从而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM，∠PMQ＝45°，∴AC⊥BD，且异面直线PM与BD所成的角为45°.故选项A、B、D正确.

2.答案　B

解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴A′B′∥AB.同理B′C′∥BC，A′C′∥AC，从而易得△A′B′C′∽△ABC，且

＝

＝

，

∴S△A′B′C′∶S△ABC＝

2＝

.

3.答案　D

解析　如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′.连接A′B，取A′B的中点E，连接CE，C′E，CC′，AA′，BB′.则CE∥AA′，从而易得CE∥α.同理C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.故不论A，B如何移动，所有的动点C都在过点C且与α，β平行的平面上.

4.答案　B

解析　∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，

平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.

5.答案　B

解析　设这n条直线的交点为P，则P∉a，∴直线a和点P确定一个平面β.设α∩β＝b，则P∈b.又∵a∥α，∴a∥b.显然直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.

6.答案　A

解析　①中，a与α也可能相交，故①不正确；②③中，a与b也可能异面，故②③不正确；④中，∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a⊂α，又∵P∈a，P∈α，∴a⊂α，故④正确.

7.答案　D

解析　∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交.

①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，

∴a，b，c，…，这些交线都平行.

②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.

综上可知D正确.

二、填空题

8.答案　②⑤

解析　①错误，α与β也可能相交；②正确，依题意，由a，b确定的平面γ，满足γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④错误，α与β也可能相交；⑤正确，由线面平行的性质定理可知.

9.答案　

解析　因为EF∥平面AB1C，且EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又因为E为AD的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以EF＝

AC＝

×2

＝

.

10.

答案　

解析　EF可看成为直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.

又

＝

，∴EF＝

＝

＝

.

三、解答题

11.

（1）证明　如图，连接BM，BN，BG并分别延长交AC，AD，CD于P，F，H.

∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，

则有

＝

＝

＝2.

连接PF，FH，PH，有MN∥PF.

又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，

∴MN∥平面ACD.

同理MG∥平面ACD.

又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.

（2）解　由

（1）可知，

＝

＝

，

∴MG＝

PH.

又PH＝

AD，∴MG＝

AD.

同理NG＝

AC，MN＝

CD，

∴△MNG∽△ADC，且相似比为1∶3，

∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.

12.证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，∴

＝

.

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN，∴

＝

，

∴

＝

，

∴NP∥CD∥AB.

∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B.

∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，

BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B.

又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B.

∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.