中考数学一轮复习讲义22 一元二次方程.docx
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中考数学一轮复习讲义22一元二次方程
2012年中考数学一轮复习讲义22一元二次方程
小结1概述
主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：
学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根（或解），检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：
理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）；第三部分是一元二次方程的应用：
利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。
一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.
小结2学习重难点
【重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.
【难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题（列一元二次方程）来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.
小结3学法指导
1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.
2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范化地表达方程思想和方程知识的过程.
3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.
4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.
5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用.
知识网络结构图
定义：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
解法（降次）
一元二次
方程
应用一元二次方程解决实际问题
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1一元二次方程的定义
【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.
例1已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.
分析依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.
解：
依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，
解得m＝±1，
又∵m－1≠0，∴m≠1，
故m＝－1.
【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.
专题2一元二次方程的解法
【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.
例2用配方法解一元二次方程2x2+1＝3x.
分析本题考查配方法解方程的步骤.
解：
移项，得2x2－3x＝－1，
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得
【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.
例3一元二次方程3x2－x＝0的解是（）
A.x＝0B.x1＝0，x2＝3C.
D.
分析根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x（3x－1）＝0，易求出x＝0或3x－1＝0，问题得解.故选C.
【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程.
例4解方程x2－2x－2＝0.
分析结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解.
解法1：
∵a＝1，b＝－2，c＝－2，
∴b2－4ac＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，
∴x＝
解法2：
移项，得x2－2x＝2，
配方得x2－2x+1＝3，
即（x－1）2＝3，∴x－1＝
，∴
【解题策略】一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.
专题3与方程的根有关的问题
【专题解读】这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题.
例5解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：
方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
x2－6x＝0
x2－5x+4＝0
x2+3x－10＝0
（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？
（2）一般地，对于关于x的方程x2+px+q＝0（p，q为常数，且p2－4q≥0）来说，是否也具备
（1）中你所发现的规律？
如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.
分析这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.
解：
填表如下：
方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
x2－6x＝0
0
6
6
0
x2－5x+4＝0
1
4
5
4
x2+3x－10＝0
－5
2
－3
－10
（1）由上表可以发现：
上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.
（2）对方程x2+px+q＝0（p，q为常数，且p2－4q≥0）来说也具备同样的规律.
设方程x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝－p，x1·x2＝q，
理由如下：
∵p2－4q≥0，∴方程x2+px+q＝0有两个实数根，
∴
∴x1+x2＝
x1·x2＝
＝
即x1+x2＝－p，x1·x2＝q.
例6若a是关于x的方程x2+bx+a＝0的根，且a≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（）
A.abB.
C.a+bD.a－b
分析此题应由根的意义入手，将a代入方程等得到关于a，b的一个方程，再通过因式分解进行求解.把x＝a代入方程x2+bx+a＝0，得a2+ab+a＝0，∴a（a+b+1）＝0，又∵a≠0，∴a+b+1＝0，即a+b＝－1.故选C.
【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.
专题4一元二次方程的应用
【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.
例7乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8050.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意列方程得.
分析本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则2006年投入资金是5786（1+x）万元，2007年的投入资金是5786（1+x）2万元，故所求方程为5786（1+x）2＝8058.9.
【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a（1+x）n＝b（n为正整数）.
二、规律方法专题
专题5一元二次方程的解法技巧
【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.
1.换元法
例8如果（2m+2n+1）（2m+2n－1）＝63，那么m+n的值是.
分析把m+n看做一个整体求解.设m+n＝x，则原方程化为（2x+1）（2x－1）＝63，整理，得4x2＝64，解得x＝±4，∴m+n＝±4.故填±4.
例9解方程（3x+2）2－8（3x+2）+15＝0.
分析此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x+2看做一个整体，设为t，则原方程就可化成关于未知数t的一元二次方程.
解：
设3x+2＝t，原方程化为t2－8t+15＝0，
∴t1＝3，t2＝5.
当t＝3时，3x+2＝3，∴x＝
；
当t＝5时，3x+2＝5，∴x＝1.
∴原方程的根为x1＝
，x2＝1.
【解题策略】本题也可直接分解为[（3x+2）－3][（3x+2）－5]＝0，即（3x－1）（3x－3）＝0，用因式分解法解得x1＝
，x2＝1.
例10解方程（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）＝44.
分析解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.
解：
原方程转化为（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）－44＝0，
[（x+2）（x－4）][（x+3）（x－5）]－44＝0，
（x2－2x－8）（x2－2x－15）－44＝0，
令x2－2x＝y，则原方程化为（y－8）（y－15）－44＝0，
∴y2－23y+76＝0，
∴y1＝4，y2＝19.
当y＝4时，x2－2x＝4，∴
当y＝19时，x2－2x＝19，∴
∴原方程的根是
2.配方法
例11先用配方法说明：
无论x取何值，代数式x2－6x+10的值部大于0；再求出当x取何值时，代数式x2－6x+10的值最小，最小值是多少.
解：
x2－6x+10＝x2－6x+32+（10－32）＝（x－3）2+1.
∵（x－3）2≥0，∴（x－3）2+1＞0，
∴无论x取何值，代数式x2－6x+10的值部大于0.
当x－3＝0，即x＝3时，（x2－6x+10）最小＝1.
例12若实数m，n，p满足m－n＝8，mn+p2+16＝0，则m+n+p的值为（）
A.－1B.0C.1D.2
分析本题有三个未知数m，n，p给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由m－n
＝8，得m＝n+8，将m＝n+8代入mn+p2+16＝0中，得n（n－8）+p2+16＝0，∴n2+8n+16+p2＝0，即（n+4）2+p2＝0，又∵（n+4）2≥0，p2≥0，且（n+4）2+p2＝0，∴
故选B.
3.构造法
例13解方程3x2+11x+10＝0.
解：
原方程两边同时乘3，得（3x）2+11×3x+30=0，
∴（3x+5）（3x+6）=0,
∴3x+5=0,或3x+6=0，
∴
4.特殊解法
例14解方程（x－1994）（x－1995）=1996×1997.
分析观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.
解：
方程组
的解一定是原方程的解，
解得x=3991，
方程组
的解也一定是原方程的解，
解得x=－2，
∵原方程最多只有两个实数解，
∴原方程的解为x1=3991，x2=－2.
【解题策略】解本题也可采用换元法.设x－1995=t，则x－1994=t+1，原方程化为t（t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当t=－1997时，x－1995=－1997，∴x=－2；当t=1996时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为x1=－2，x2=3991.
三、思想方法专题
专题6建模思想
【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.
例15经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是.
分析根据题意，设所求百分率为x，则有50（1－x）2=40.5，解得x1=1.9，x2=0.1，而1.9＞1，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.
【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.
2011中考真题精选
一、选择题
1.（2011新疆乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A、－1B、0C、1D、－1或1
考点：
一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
专题：
常规题型。
分析：
先把x＝0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1舍去．
解答：
解：
把x＝0代入方程得：
|a|－1＝0，∴a＝±1，
∵a－1≠0，∴a＝－1．
故选A．
点评：
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．
2.（2011台湾，20，4分）若一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的两根为0．2，则|3a＋4b|之值为何（ ）
A．2B．5C．7D．8
考点：
解二元一次方程组；绝对值。
分析：
先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．
解答：
解：
将两根0．2分别代入ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2中计算得3a＋4b＝－5，所以|3a＋4b|＝5．
故选B．
点评：
此题考查了一元二次方程和二元一次方程及绝对值的运用．
3.（2011•台湾31，4分）关于方程式88（x﹣2）2=95的两根，下列判断何者正确（ ）
A、一根小于1，另一根大于3B、一根小于﹣2，另一根大于2
C、两根都小于0D、两根都大于2
考点：
估算一元二次方程的近似解；解一元二次方程-直接开平方法。
分析：
本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出x1和x2的值，再进行估算即可得出结果．
解答：
解：
∵88（x﹣2）2=95，
（x﹣2）2=
，x﹣2=±
，∴x=±
+2，
∴x1=
+2，∴x1＞3，∴x2=-
+2，∴x2＜1．故选A．
点评：
本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键．
4.6.某品牌服装原价173元，连续两次降价
后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（）
A．
B．
C．
D．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答：
解：
当商品第一次降价x%时，其售价为173－173x%＝173（1－x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为
173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2．
∴173（1－x%）2＝127．
故选C．
点评：
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．
5.（2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程
的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程
的解是.
考点：
一元二次方程的解.
分析：
直接由向左平移加，向右平移减可得出x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．
解答：
解：
∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．故答案为：
x1=﹣4，x2=﹣1．
点评：
此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
6.（2011•湖南张家界，5，3）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A、1B、﹣1C、0D、无法确定
考点：
一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
分析：
把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解答：
解：
根据题意得：
（m﹣1）+1+1=0，
解得：
m=﹣1．
故选B．
点评：
本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
7.（2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A．
B．
C．
D．
考点：
一元二次方程的定义．
分析：
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答：
解：
A，由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；
B，当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C，由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
点评：
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
8.（2011黑龙江省哈尔滨,5，3分）若x=2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8=0的一个解．则m的值是（ ）
A.6B.5C.2D.﹣6
考点：
一元二次方程的解。
分析：
先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
解答：
解：
把x=2代入方程得：
4﹣2m+8=0，
解得m=6．
故选A．
点评：
本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
二、填空题
1.（2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m= 1 ，另一个根是 ﹣3 ．
考点：
一元二次方程的解；根与系数的关系．
专题：
方程思想．
分析：
根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣
解出方程的另一个根．
解答：
解：
根据题意，得
4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，
解得，m=1；
由韦达定理，知
x1+x2=﹣m；
∴2+x2=﹣1，
解得，x2=﹣3．
故答案是：
1．﹣3．
点评：
本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣
．x1•x2=
来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．
2.（2011山东滨州，14，4分）若x=2是关于x的方程
的一个根，则a的值为______.
【考点】一元二次方程的解．
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．
【解答】解：
把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得：
4-2-a2+5=0，
解得：
a=±
．
故答案为：
±
．
【点评】本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．
3.（2011梧州，15，3分）一元二次方程x2+5x+6=0的根是 x1=﹣2，x2=﹣3 ．
考点：
解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程。
专题：
计算题。
分析：
分解因式得到x+2）（x+3）=0，推出x+2=0，x+3=0，求出方程的解即可．
解答：
解：
x2+5x+6=0，
分解因式得：
（x+2）（x+3）=0，
即x+2=0，x+3=0，
解方程得：
x1=﹣2，x2=﹣3．
故答案为：
x1=﹣2，x2=﹣3．
点评：
本题主要考查对等式的性质，解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
一、选择题
1.（2011四川凉山，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价
后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（）
A．
B．
C．
D．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
根据降价后的价格＝原价（1－降低的百分率），本题可先用173（1－x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
解答：
解：
当商品第一次降价x%时，其售价为173－173x%＝173（1－x%）；
当商品第二次降价x%后，其售价为
173（1－x%）－173（1－x%）x%＝173（1－x%）2．
∴173（1－x%）2＝127．
故选C．
点评：
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于127即可．
2.（2011•台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为
平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（ ）
A、11B、12C、13D、14
考点：
一元二次方程的应用。
专题：
网格型。
分析：
可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．
解答：
解：
方格纸的边长是x，
x2﹣
•x•
x﹣
•
x•
x﹣
•x•
x=
x2=12．
所以方格纸的面积是12，
故选B．
点评：
本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．
3.（2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）
A．
B．
C．
D．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：
根据题意得：
每人要赠送x-1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
解答：
解：
根据题意得：
每人要赠送x-1张相片，有x个人，∴全班共送：
（x-1）x=2070，
故选：
A．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．
4.（2011贵州毕节，10，3分）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价
后售价为128元，下列所列方程正确的是（）
A．
B．
C．
D．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：
增长率问题。
分析：
本题可先用168（1﹣a%）表示第一次降价后某纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．
解答：
解：
当某纪念品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；
当某纪念品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．∴168（1﹣a%）2=1
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