最新概率论复习题.docx
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最新概率论复习题
一、设A,B,C是三事件,且P（A）=P（B）=P（C）=1/4,P（AB）=P（BC）=0,P（AC）=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。
解：
P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（CA）+P（ABC）
∵P（AB）=P（BC）=O∴P（ABC）=0
∴至少有一个发生的概率
P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（CA）+P（ABC）=1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0=5/8
二、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所给定颜色如数得到订货的概率是多少?
解：
设A=“订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆”。
则A的基本事件数为
，基本事件总数为
=24310。
则所求概率为
[小结]对古典概型问题，关键是找出其基本事件总数，以及所求事件包含的基本事件数。
同时要注意，两者要在同一个样本空间中计算所求事件的概率。
三、将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率
将3个球随机地放入4个杯子中去，易知共有43种放置法，以Ai表示事件“杯子中球的最大个数为i”，i=1，2，3。
解：
A3只有当3个球放在同一杯子中时才能发生，有4个杯子可以任意选择，于是
∴
A1只有当每个杯子最多放一个球时才能发生。
∴N（A1）=4·3·2=A43
∴
又∵A1∪A2∪A3=Ω，且
，i≠j
∴P（A1）+P（A2）+P（A3）=1
四、据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：
P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病|孩子得病}=0.5，
P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4，
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率．
解：
以A记事件“孩子得病”，以B记事件“母亲得病”，以C记事件“父亲得病”，按题意需要求
。
已知P（A）=0.6，P（B|A）=0.5，P（C|BA）=0.4，由乘法定理得
五、将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01．信息A与信息B传送的频繁程度为2：
1．若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少?
解：
以D表示事件“将信息A传递出去”，则
表示事件“将信息B传递出去”，以R表示“接收到信息A”，则
表示事件“接收到信息B”，按题意需求概率P（D|R）．已知
，
，且有
，由于
，得知
，
。
由贝叶斯公式得到
六、设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回）．试求
（1）第一次取出的零件是一等品的概率；
（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。
解：
记Ai={从第i箱中（不放回抽样）取得的是一等品}，i=1，2．
B={从第一箱中取零件}，则
（1）由题知
∴由全概率公式有
（2）由题知所求概率为P（A2|A1）
∴由全概率公式有
P（A1A2|B）表示在第一箱中取两次，每次取一只产品，作不放回抽样，且两次都取得一等品的概率，故
同理
，因此有
七、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为
．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?
解：
以Ai表示事件“第i人能译出密码”，i=1，2，3．已知P（A1）=
，
，
，则至少有一人能译出密码的概率为
p=P（A1∪A2∪A3）
=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）-P（A1A3）-P（A2A3）+P（A1A2A3）．
由独立性即得
八、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻
（1）恰有2个设备被使用的概率是多少?
（2）至少有3个设备被使用的概率是多少?
（3）至多有3个设备被使用的概率是多少?
（4）至少有1个设备被使用的概率是多少?
解：
设X表示同一时刻被使用的设备个数，则X～b（5，0.1）．
（1）P{X=2}=C52（0.1）2（1-0.1）3=0.0729.
（2）P{X3}=P{X=3）+P{X=4}+P{X=5}=C53（0.1）3（1-0.1）2+C54（0.1）4（1-0.1）+C55（0.1）5=0.00856．
（3）P{X≤3}=1-P{X=4}-P{X=5}=0.99954.
（4）P{X1}=1-P{X=0）-1-（1-0.1）5=0.40951.
九、一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，X表示取出的3只球中的最大号码，求X的概率分布．
解：
随机变量X的所有可能值为3，4，5，且
所以，X的概率分布为
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
10、设随机变量X的分布函数为
（1）求P{X<2},P{0X≤3},P{2
（2）求X的概率密度fx（X）．
解：
（1）P{X2}=P{X≤2}-P{X=2}=F
（2）=ln2;
P{0X≤3}=P{X≤3}-P{X≤0}=F（3）-F（0）=1-0=1;
（2）
11、某种型号器件的寿命X（以小时计）,具有概率密度如图,从这批晶体管中任选5只,则至少有2只寿命大于1500h的概率
解：
任取一只，其寿命大于1500小时的概率为
任取5只这种产品，其寿命大于1500小时的只数用X表示，则X～b（5，
）．故所求的概率为
十二、设X～N（3,22）,
（1）求P{2X≤5},P{|X|＞2},P{X＞3};
（2）确定c，使得P{X＞c}=P{X≤c}；（3）设d满足P{X＞d}0.9，问d至多为多少？
（1）因X～N（3，22），故有
（2）由P{X＞c}=P{X≤c}，得
1-P{X≤c}=P（X≤c），即
，于是
（3）P{X＞d}0.9，即
，故
又因分布函数Φ（x）是一个不减函数，故有：
，因此
d≤3+2×（-1.282）=0.436即d至多为0.436
十三、一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从参数为u=160，σ（σ＞0）的正态分布，若要求P{120X≤200}≥0.80，允许σ最大为多少？
解：
X～N（160，σ2），今要求
即要求
，应有
即允许σ最大为31.20
十四、设随机变量X在（0，1）内服从均匀分布．
（1）求Y=eX的概率密度；
（2）求Y=-2lnX的概率密度．
解：
X的概率密度为
（1）当X在（0，1）上取值时，Y在（1，e）上取值，所以
当y≤1时，FY（y）=P{Y≤y）=0;
当ye时，FY（y）=P{Y≤y）=1;
当1 FY（y）=P{Y≤y）=P{eX≤y）=P{X≤lny）=FX（lny）=lny.
（2）当X在（0，1）上取值时，Y在（0，+∞）上取值，所以
当y≤0时，FY（y）=P{Y≤y）=0;
当y＞0时，
15、设随机变量（X，Y）的概率密度为：
（1）确定常数k．
（2）求P{X1,Y3}
（3）求P{X1.5}．
（4）求P{X+Y≤4}
（1）由
得
所以k=1/8
（2）
（3）
（4）
十六、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（1）确定常数c；
（2）求边缘概率密度．
（1）
（2）
注在求边缘概率密度时，需画出（X，Y）的概率密度f（x，y）≠0的区域，这对于正确写出所需求的积分的上下限是很有帮助的．首先应根据概率密度的性质求出参数c，然后再求边缘概率密度
十七、设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
求随机变量Z=X+Y的概率密度．
解法（i） 利用公式
十八、设X,Y是相互独立的随机变量，X～π（λ1），Y～π（λ2）．证明Z=X+Y～π（λ1+λ2）
由于X～π（λ1）,Y～π（λ2），故
又X,Y相互独立，因此，
即Z=X+Y～π（λ1+λ2）.
十九、设（X，Y）的分布律为
（1）求E（X），E（Y）；
（2）设Z=Y/X，求E（Z）；（3）设Z=（X-Y）2，求E（Z）．
（1）
（2）
（3）
注 可先求出边缘分布律，然后求出E（X），E（Y）．如在（3）中可先算出Z=（X-Y）2的分布律：
Z
0
1
4
9
pk
0.1
0.2
0.3
“碧芝”最吸引人的是那些小巧的珠子、亮片等，都是平日里不常见的。
店长梁小姐介绍，店内的饰珠有威尼斯印第安的玻璃珠、秘鲁的陶珠、奥利的施华洛世奇水晶、法国的仿金片、日本的梦幻珠等，五彩缤纷，流光异彩。
按照饰珠的质地可分为玻璃、骨质、角质、陶制、水晶、仿金、木制等种类，其造型更是千姿百态：
珠型、圆柱型、动物造型、多边形、图腾形象等，美不胜收。
全部都是进口的，从几毛钱一个到几十元一个的珠子，做一个成品饰物大约需要几十元，当然，还要决定于你的心意。
“碧芝”提倡自己制作：
端个特制的盘子到柜台前，按自己的构思选取喜爱的饰珠和配件，再把它们串成成品。
这里的饰珠和配件的价格随质地而各有同，所用的线绳价格从几元到一二十元不等，如果让店员帮忙串制，还要收取１０％～２０％的手工费。
0.4
然后求得
世界上的每一个国家和民族都有自己的饰品文化，将这些饰品汇集到一起再进行新的组合，便可以无穷繁衍下去，满足每一个人不同的个性需求。
二十、设随机变量X1，X2的概率密度分别为
据上述部分的分析可见，我校学生就达4000多人。
附近还有两所学校，和一些居民楼。
随着生活水平的逐渐提高，家长给孩子的零用钱也越来越多，人们对美的要求也越来越高，特别是大学生。
他们总希望自己的无论是衣服还是首饰都希望与众不同，能穿出自己的个性。
但在我们美丽的校园里缺少自己的个性和琳琅满目的饰品，所以我们的小饰品店存在的竞争力主要是南桥或是市区的。
这给我们小组的创业项目提供了一个很好的市场机会。
（1）求E（X1+X2），E（2X1-3X22）．
（2）又设X1，X2相互独立，求E（X1X2）．
解：
，今u=x/θ,得到
故
，于是
（1）由数学期望的性质，有
（2）因X1，X2相互独立，由数学期望的性质，有
二十一、设随机变量（X，Y）的分布律为
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．
经常光顾□偶尔会去□不会去□解：
先求出边缘分布律如下：
X
-1
0
1
（二）上海的人口环境对饰品消费的影响Pk
3/8
2/8
3/8
Y
-1
（3）优惠多0
体现市民生活质量状况的指标---恩格尔系数，上海也从1995年的53.4%下降到了2003年的37.2%，虽然与恩格尔系数多在20%以下的发达国家相比仍有差距，但按照联合国粮农组织的划分，表明上海消费已开始进入富裕状态（联合国粮农组织曾依据恩格尔系数，将恩格尔系数在40%-50%定为小康水平的消费，20%-40%定为富裕状态的消费）。
1
4、宏观营销环境分析Pk
（1）位置的优越性3/8
创业首先要有“风险意识”，要能承受住风险和失败。
还要有责任感，要对公司、员工、投资者负责。
务实精神也必不可少，必须踏实做事；2/8
3/8
易见P{X=0，Y=0}=0≠P{X=0}P{Y=0}，故X，Y不是相互独立的。
X，Y具有相同的分布律
又E（XY）
即有E（XY）=E（X）E（Y），故X，Y是不相关的．
二十二、设A和B是试验E的两个事件，且P（A）＞0，P（B）＞0，并定义随机变量X，Y如下：
证明若ρXY=0，则X和Y必定相互独立．
解：
X，Y的分布律分别为
X
0
1
Pk
1-P（A）
P（A）
Y
0
1
Pk
1-P（B）
P（B）
由X，Y定义，XY只能取0，1两个值，且P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=P（AB），得XY的分布律为
XY
0
1
Pk
1-P（AB）
P（AB）
即得 E（X）=P（A），E（Y）=P（B），E（XY）=P（AB）．
由假设ρXY=0，得E（XY）=E（X）E（Y），即P（AB）=P（A）P（B），
故知A与B相互独立．从而知A与
、
与B、
与
也相互独立，于是
故X，Y相互独立．
二十三、设随机变量（X，Y）具有概率密度
求E（X），E（Y），cov（X，Y），ρXY，D（X+Y）．
解：
注意到f（x，y）只在区域G：
{（x，y）|
}上不等于零，故有
由x，y在f（x，y）的表达式中的对称性（即在表达式f（x，y）中将x和y互换，表达式不变）
二十四、求总体N（20，3）的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率
容量为10,15的两个独立随机样本均值用X（10）,X（15）表示
X（10）~N（20,3/10）,X（15）~N（20,1/5）
因两个随机样本独立,所以
E（X（10）-X（15））=E（X（10））-E（X（15））=20-20=0
D（X（10）-X（15））=D（X（10））+D（X（15））=3/10+1/5=1/2
即x（10）-X（15）~N（0,1/2）
P（|X（10）-X（15）|<0.3）=P（|X（10）-X（15）|*√2<0.3*√2）=2Φ（0.3*√2）-1=0.6744
二十五、设总体X～b（1，p），X1，X2，…，Xn是来自X的样本．
（1）求（X1，X2，…，Xn）的分布律；
（2）求
的分布律：
（3）求
，E（S2）．
（1）P{X=k}=pk（1-p）1-k，k=0，1，故X1，X2，…，Xn的分布律为：
（2）
（3）由Xi～b（1,p），故
E（Xi）=p，D（Xi）=p（1-p） （i=1,2,…,n）,
二十六、设X1，X2，…，X10为N（0，0.32）的一个样本，求
解：
二十七、设（X1，X2，…，Xn）为总体X的一个样本，（x1，x2，…，xn）为一个样本值．求下述各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值．
（1）
其中c＞0,c为已知常数；θ＞1，θ为未知参数．
（3）P{X=x}=Cmxpx（1-p）m-x,x=0,1,2，…，m;0（1）总体一阶矩为
令总体一阶矩等于样本一阶矩，得
，θ的矩估计量为
所以，θ的矩估计值为
（3）总体X～b（m，p），一阶矩为E（X）=mp，令总体一阶矩等于样本一阶矩，得
，p的矩估计量为
所以，p的矩估计值为
二十八、设总体X服从参数为λ的泊松分布，（X1，X2，…，Xn）是X的样本，试求未知参数λ的矩估计量和最大似然估计量．
解：
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