七年级数学.docx

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七年级数学

第一章有理数

一．正数和负数

1•正数和负数的概念

负数：

比0小的数正数：

比0大的数0既不是正数，也不是负数

注意：

①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：

带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：

零上8C表示为：

+8C；零下8C表示为：

-8C

支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量，它们计数：

比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。

3.0表示的意义

⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

二．有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：

只有能化成分数的数才是有理数。

①n是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是

有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：

引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…

也是奇数。

2.

（1）凡能写成q（p,q为整数且p=0）形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；

P

正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数•注意：

0即不是正数，也不是负数；-a

不一定是负数，+a也不一定是正数；二不是有理数；

正整数

②按有理数的意义来分

:

有理数

分数，

负整数

正分数

负分数

整数」零

总结：

①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、

0统称为非负有理数

④负有理数、

0统称为非正有理数

（3）注意：

有理数中，

1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的

数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性;

⑷自然数二0和正整数；a>0二a是正数；av0二a是负数;

a>0二a是正数或0:

二a是非负数；a<0：

二a是负数或0:

二a是非正数.

三.数轴

1•数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可

用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，

有理数与数轴上的点不是对应关系。

（如，数轴上的点n不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0,正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0,无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1,无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0

⑶a=0表示a是0;反之，a是0,，则a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得

到所需的点的位置。

四•相反数

1•相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：

⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0;

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a,b互为相反数，则a+b=0

3/20

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数

轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。

0的相反数对应原点；原点

表示0的相反数。

说明：

在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：

5的相反数是-5）；0

的相反数还是0;

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反

数是-（5a+b）。

化简得-5a-b）；注意：

a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：

-5的相反数是-

（-5），化简得5）；）相反数的和为0二a+b=0二a、b互为相反数

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律：

“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定

最后化简结果；即：

“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

五•绝对值

1.绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为:

1如果a>0,那么|a|=a;②如果a<0,那么|a|=-a;③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：

a>0,<—>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负

数。

）

2a<0>|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。

）

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。

所以，a取任何有理数，

都有|a|>0。

即

（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数；注意：

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是0的数是0.

即：

a=0<一>|a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.绝对值可表示为：

a（a>0）鸟

a|=上0（a=0）或a|=，

⑷绝对值是相同正数的数有两个,

它们互为相反数。

即：

若|x|=a（a>0）,则x=±a；

-a（ac0）"a

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。

即：

|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|；|a|是

重要的非负数，即|a|>0;注意：

|a|Tb|=|a•b|,

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。

即：

|a|=|b|，贝Ua=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。

即|a|+|b|=0，则a=0且

b=0。

（非负数的常用性质：

若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：

数轴上的两个数相比较，左边的数总比右边的数小，或者右

边的数总比左边的数大

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较

大小，正数大于负数。

（3）正数的绝对值越大，这个数越大;

4）正数永远比0大，负数永远比0小；（5）正数大于一切负数；

（6）大数-小数＞0,小数-大数v0.

5.绝对值的化简

1当a》0时，|a|=a;②当aw0时，|a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

六．有理数的加减法.

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小

的绝对值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与0相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：

a+b=b+a

⑵加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

1互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

2符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

3分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

4几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

5整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加⑴当b>0时，a+b>a⑵当b<0时，a+b

4.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：

5.

0后的和等于原数。

即：

⑶当b=0时，a+b=a

a-b=a+（-b）。

有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

如：

（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.

和式的读法：

①按这个式子表示的意义读作“负

8减7减6加5”

②按运算意义读作“负

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

I.把符号相同的加数相结合（同号结合法）

（-33）-（-18）+（-15）-（+1）+（+23）

原式=-33+（+18）+（-15）+（-1）+（+23）

=-33+18-15-1+23

将减法转换成加法）

省略加号和括号）

把符号相同的加数相结合）

运用加法法则一进行运算）

运用加法法则二进行运算）

（将减法转换成加法）

（省略加号和括号）

（把和为整数的加数相结合）

=4-10+3.8

=（-33-15-1）+（18+23）

=-49+41

=-8

n.把和为整数的加数相结合（凑整法）

（+6.6）+（-5.2）-（-3.8）+（-2.6）-（+4.8）

原式=（+6.6）+（-5.2）+（+3.8）+（-2.6）+（-4.8）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8

=（6.6-2.6）+（-5.2-4.8）+3.8

8、负7、负6、正5的和”

运用加法法则进行运算）

=7.8-10

（把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=-2.2

（得出结论）

川.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）

313217

--+-+-—

524528

32..11..37.

原式=（--）+（-+）+（+-）

552248

=-1+0--

8

=-11

IV.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）

312

什0.125）-（-3）+（-3）-（-10）-（+1.25）

483

13121

原式=（+_）+（+3）+（-3-）+（+10）+（-1）

84834

=!

+33-3】+102-1

8483

=（3--11）+（丄-31）+10-

44883

=21-3+10-

23

1

=-3+13—

6

V.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-31+10—-12—+4—

5112215

原式=（-3+10-12+4）+（-1+—）+（—-—）

5151122

=-1+

411

+_

1522

=-1+9+兰

3030

7

30

2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69

原式=（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+…+（66-67-68+69）

=0

W.先拆项后结合

（1+3+5+7-+99）-（2+4+6+8…+100）

七.有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指

“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）

法则二：

任何数同0相乘，都得0；

法则三：

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，

积是负数；

法则四：

几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

2.倒数

1

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a•=1（a

a

111

工0）,就是说a和一互为倒数，即a是一的倒数，一是a的倒数。

aaa

互为倒数：

乘积为1的两个数互为倒数；注意：

0没有倒数；若a工0,那么a的倒数是1；

a

倒数是本身的数是土1;若ab=1：

=a、b互为倒数；若ab=-1：

=a、b互为负倒数.

注意：

①0没有倒数;

2求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

3正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；

4倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律：

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即ab=ba

⑵乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即

（ab）c=a（bc）.

⑶乘法分配律：

一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在

把积相加。

即a（b+c）=ab+ac

4.有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：

零不能做除数，即-无意义

0

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0

5.有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照’先乘除，后加减’

的顺序进行。

八.有理数的乘方

1.乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，

叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在a中，a叫做底数，n叫

做指数。

（1）a2是重要的非负数，即

a2>0;若a2+|b|=0二a=0,b=0；

2

0.1=0.01

（2）据规律1二10底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位

10=100

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕的正数；注意：

当n为正奇数时：

（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n,当n为正偶数时：

（-a）n=an或（a-b）n=（b-a）n.

（2）正数的任何次幕都是正数，0的任何正整数次幕都是0。

九•有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

十•科学记数法

把一个大于10的数表示成a10n的形式（其中1

科学记数法

近似数的精确位：

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

有效数字：

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

混合运算法则：

先乘方，后乘除，最后加减；注意：

怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.

特殊值法：

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法，但不能

用于证明.

等于本身的数汇总：

相反数等于本身的数：

0

倒数等于本身的数：

1,-1

绝对值等于本身的数：

正数和0

平方等于本身的数：

0,1

立方等于本身的数：

0,1,-1.

第二章整式的加减

用字母表示数（代数初步知识）

1.代数式：

用运算符号“+-X十……”连接数及表示数的字母的式子称为代数

式.注意：

用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，

其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式；用

基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。

2.代数式书写规范：

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“•”乘，或省略不写；

（2）数与数相乘，仍应使用“X”乘，不用“•”乘，也不能省略乘号；

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如aX5应写成5a；

（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如aX11应写成-a；

22

（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3十a写成-的形

a

式；

（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.

出现除式时，用分数表示；

（7）若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。

3.几个重要的代数式：

（mn表示整数）

（1）a与b的平方差是：

a2-b2；a与b差的平方是：

（a-b）2；

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：

10a+b,则三位整数是：

100a+10b+c;

（3）若mn是整数，则被5除商m余n的数是：

5m+n;偶数是：

2n,奇数是：

2n+1；三个连续整数是：

n-1、n、n+1；

（4）若b>0，则正数是:

a2+b，负数是：

-a2-b，非负数是：

匸，非正数是：

-a2.

1.单项式：

表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.单项式的系数：

单项式中的数字因数；单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；

3.单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数和

4多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

常数项的次数为0。

22

注意：

（若a、b、c、p、q是常数）ax+bx+c和x+px+q是常见的两个二次三项式.

5整式：

单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不

'单项式

含字母的代数式叫整式.整式分类为：

整式」.

.多项式

注意：

分母上含有字母的不是整式。

6.多项式的升幕和降幕排列:

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大

至川、）排列起来，叫做按这个字母的升幕排列（或降幕排列）.注意：

多项式计算的最后

结果一般应该进行升幕（或降幕）排列.

三.整式的加减

1.合并同类项

2同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

3合并同类项的法则：

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

4合并同类项的步骤：

（1）准确的找出同类项；

（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并

后的结果。

5去括号

去括号的法则：

（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；

（2）括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

6添括号法则：

添括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边

是“-”号，括号里的各项都要变号•

7整式的加减：

进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项；整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并

8整式加减的步骤：

（1）列出代数式；

（2）去括号；（3）添括号（4）合并同类项。

第三章一元一次方程

1等式与等量：

用“=”号连接而成的式子叫等式•注意：

“等量就能代入”！

2等式的性质：

等式性质1:

等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

等式性质2:

等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式

3方程：

含未知数的等式，叫方程•

4一元一次方程的概念：

只含有一个未知数（元）（含未知数项的系数不是零）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程。

一般形式：

ax+b=O（x是未知数，a、b是

已知数，且a丰0）.最简形式：

ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a丰0）

注意：

未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。

如1・3=x，它不是一元一次方程。

x

5解一元一次方程

方程的解：

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；注意：

“方程的解就能代入”

验算！

解方程：

求方程的解的过程叫做解方程。

等式的性质：

（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

6移项

移项：

方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

移项的依据：

（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；

（2）系

数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。

移项的作用：

移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合

并，右边对常数项合并。

注意：

移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

7解一元一次方程的一般步骤：

整理方程、去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1；（检验方程的解）。

注意：

去分母时不可漏乘不含分母的项。

分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项

式，要加括号。

解下列方程：

（1）4x_3=4_2x；

（2）4x_3（20_x）=6x_7（9_x）；（3）2=3；

263

0.1x-0.2x1_

（4）3

0.020.5

8用方程解决问题

列一元一次方程解应用题的基本步骤：

审清题意、设未知数（元）、