华师一附中高三期中理科数学试题及答案.docx
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华师一附中高三期中理科数学试题及答案
华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中检测
高三年级数学（理科）试题
时间：
120分钟满分：
150分命题人：
曹宗庆审题人：
张丹
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1.已知集合A{2,1,0,1,2}，B{x（1x）（x2）0}，则AIB的子集个数为（）
A.2B．4C．6D．8
2.设命题p：
nN，n22n，则p为（）
A．
2n
nN,n2B．
2
nN,n≤2
n
C．
2n
nN,n=2D．
2
nN,n≤2
n
3.若复数z满足（34i）z112i，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）
A.2B.2C.2iD.2i
4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：
有厚墙5尺，
两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一
天也进一尺，以后每天减半。
问两鼠在第几天相遇？
（）
A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天
x1
，则z2xy的最小值为（）
5.已知变量x,y满足约束条件xy3
x2y30
A.1B.2C.3D.6
6.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足
SS且{Sn}的最大项为
120,130,
S，am12，则
m
S（）
13
A.20B.22C.24D.26
7.右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论
①ANGC②CF与EN所成的角为60
③BD//MN④二面角EBCN的大小为45
其中正确的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
uuuruuuruuur
8.已知ABC中，AD2DC，E为BD中点，若BCAEAB
，则2的值为（）
A.2B.6C.8D.10
高三年级理科数学试题第1页共8页
4
alog，
9.若1
9
16
3
blog，
3
2
0.2
c0.6，则a,b,c的大小关系为（）
A.cbaB.cabC.bacD.abc
10.已知函数f（x）2sin（x）（0,||）的部分图像如右图
所示，且A（,1）,B（,1），则的值为（）
2
A.
5
6
B.
6
C.
5
6
D.
6
11.已知函数
fxx2xx，则使不等式f（x1）f（2x）成立的x的取值范围是
（）ln
（1）22fxx2xx，则使不等式f（x1）f（2x）成立的x的取值范围是
（）
A.（，1）（1,）B.（1,+）
C.
1
（,）（1,+）
3
D.（,2）（1,）
12.已知函数f（x）xsinx2sin（x），若对于任意的x1,x2[0,）,（x1x2），均有
42
xx
|f（x）f（x）|a|ee|成立，则实数a的最小值为（）
12
12
A.
2
3
B.1C.
3
2
D.3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.曲线
x
yxe在点
1
（1,）
e
处的切线方程为____________.
14.已知
3
sin（）2cos（）sin
2
，则
2
sinsincos____________.
15.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c1，ABC的面积为
221
ab，则ABC
4
面积的最大值为____________.
uuruuuuruuru
16.已知ABC的外接圆圆心为O，|AB|6,|AC|8，AOABAC（,R）
，若
21
sinA（t）（t为实数）有最小值，则参数t的取值范围是____________.
2
三、解答题：
（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
高三年级理科数学试题第2页共8页
17.（本小题满分12分）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若
2A1b
222c
cos
（1）求角C；
（2）BM平分角B交AC于点M，且BM1,c6，求cosABM.
18.（本小题满分12分）已知数列{a}的前n项和为
n
1
S，1
a，
n
2
S1
n*
a1,nN
2n
nn
（1）证明：
数列
n1
{Sn}
n
为等差数列；
（2）若数列{bn}满足
n
b
nn
SS12
nn
，求数列{bn}的前n项和Tn.
xxxxxx
19.（本小题满分12分）已知函数f（x）（cossin）（cossin）23sincos
20.222222
（1）求函数f（x）的最大值并指出f（x）取最大值时x的取值集合；
（2）若,为锐角，
126
cos（）,f（），求f（）的值.
1356
21.（本小题满分12分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，ABBC，
AB3,BC2AD2,E为CD的中点，PBAE
（1）证明:
平面PBD平面ABCD；
，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，
（2）若PBPD，PC与平面ABCD所成的角为
4
使得BN平面PCD？
”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明
理由.
22.（本小题满分12分）
高三年级理科数学试题第3页共8页
1
（1）已知f（x）lnx2
x
，证明：
当x2时，
212
xlnx1（ln2）x；
4
11
（2）证明：
当a（24,12）
ee
时，
13a1
33
g（x）xlnxxx（x2）有最小值，记
39
g（x）最小值为（a），求（a）的值域.
23.（本小题满分10分）已知函数f（x）|x2||2x4|
（1）解不等式f（x）3x4；
（2）若函数f（x）最小值为a，且2mna（m0,n0），求
21
m+1n
的最小值.
高三年级理科数学试题第4页共8页
华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中考试
高三年级数学（理科）答案
时间：
120分钟满分：
150分命题人：
曹宗庆审题人：
张丹
二、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1234567891011
BDBBADCCACD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
24.
y
1
e
25.
6
5
26.
21
4
27.
3315
（,）
1616
三、解答题：
（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
28.解：
（1）由题
1cosA1bb
cosA
222cc
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..2
cosAsinCsinBsin（AC）sinAcosCcosAsinC
sinAcosC0又（0,）sin0cos0
AACC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分4
2
（2）记ABM，则MBC，在RtMCB中，CBcos，
在RtACB中，cos
ABC
BC
AB
，即
cos2
cos
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..10
即
2cos
2cos1
6
cos
3
4
或
2
3
（舍）
cos
3
ABM⋯⋯⋯.⋯⋯⋯分.12
4
29.解：
（1）n2时，
2222
Snannn（SS）nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分2
nnnn1
即
22
（n1）SnnSnn（n1）（n2）
1
同除以n（n1）得
n1n
SS1（n2）
nn1
nn1
n1
{Sn}
n
为等差数列，首项为1，公差为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分6
（2）由
（1）知
2
n1n
SnS
nn
nn
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..8
n211
b
nnn1n
n（n1）2n2（n1）2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.10
高三年级理科数学试题第5页共8页
111111
T
（1）（）（）1
n112n1nn
222232n2（n1）2（n1）2
⋯⋯⋯..
12分
30.解：
（1）
xxxx
22
f（x）cossin23sincoscosx3sinx2sin（x）⋯⋯⋯.分.3
22226
令x2k得x2k,kZ
623
所以最大值为2，此时x的取值集合为{x|x2k,kZ}⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.6
3
（2）由,为锐角，
cos（）
12
13
得
sin（）
5
13
Q0
2
2
663
又
312
sin（）（,）
6522
664
4
cos（）
65
⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..8
cos（）cos[（）（）]
66
63
cos（）cos（）sin（）sin（）
6665
⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10
126
f（）2sin（）2sin（）2cos（）⋯⋯⋯⋯⋯⋯1
6326665
2分
31.解
（1）证明:
由四边形ABCD是直角梯形,AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，
可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.
3
∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,
又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.
又∵AE?
平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4分
（2）在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,
又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,
高三年级理科数学试题第6页共8页
∴PO⊥平面ABCD
∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角,则∠PCO=
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.6
4
∴易得OP=OC=∵PB=PD,PO⊥BD,∴O为BD的中点,∴OC⊥BD.
以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B（1,0,0）,C（0,
0）,D（-1,0,0）,P（0,0,）,
假设在侧面PCD内存在点N，使得BN平面PCD成立，
uuruuuuruuur
设PNPDPC（,0,1）
，易得N（,3,3
（1））⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分8
由
uuruuuur
BNPC0
uuruuuur得
BNPD0
12
55
，满足题意⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分10
所以N点到平面ABCD的距离为3
（1）
23
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.12
（说明：
若没有说明,0,1或者用其它方法解答但没有说明点N在侧面PCD上，
扣2分）
32.解：
（1）证明：
2
12x2
/
f（x）0
33
xxx
fx在[2,）上单增
（）
x2时，f（x）f
（2）即
11
lnxln2
2
x4
x2时，
212
xlnx1（ln2）x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分4
4
（2）
13a11
/2222
g（x）xlnxxx1x（lnxa）
2
33x
11
由f（x）在[2,）上单增且2
f（e）1,f（e）2,
24
ee
a
11
（2,1）
42
ee
知存在唯一的实数
2
x0（e,e），使得
/
g（x）0，即
0
1
lnxa0
02
x
0
/
/
x（x,）,g（x）0,g（x）单增x（2,x）,g（x）0,g（x）单减；
00
1
lnxa0
g（x）g（x），x0满足02
min0
x
0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..8
高三年级理科数学试题第7页共8页
1
alnx
02
x
0
13a1
33
g（x）xlnxxx
00000
39
3
0
x
2
93
2
x（exe）⋯⋯.10分
00
122
/2x
32
记h（x）xx（exe），则hxh（x）在
（）0
93
33
2
（e,e）上单减
63
e2e2
22
eh（e）h（x）h（e）e9393
63
e2e2
所以（a）的值域为2
（e,e）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.12
9393
33.解：
（1）当x2时，3x23x4，无解
当2x2时，x63x4，得12
x2
当x2时，3x23x4，得x2
1
[,）
所以不等式解集为
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..5
（2）f（x）|x2||2x4||x2||x2||x2|
|（x2）（x2）||x2|当且仅当2x2时取等
4|x2|4当且仅当x2时取等
所以当x2时，f（x）最小值为4，即a4，⋯⋯⋯⋯⋯分7
所以2mn4
所以
21121
[2（m1）n]（）
m1n6m1n
12（m1）2n
（5）
6nm1
12（m1）2n3
（52）
6nm12
所以
21
m+1n
2（m1）2n
nm1
当且仅当
3
最小值为⋯⋯⋯⋯⋯分.10
2
且2mn4即m1,n2时取“=”
高三年级理科数学试题第8页共8页
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