最新人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理 全章教案合集.docx

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最新人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章教案合集

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章教案合集

17.1勾股定理

（第1课时）

教学目标

1、了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程.

2、掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。

解决问题

1．通过探究勾股定理（正方形方格中）的过程，体验数学思维的严谨性。

2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。

重点难点

　　重点：

探索和证明勾股定理。

　　难点：

应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。

设计思路

本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。

让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。

教学流程安排

活动一：

了解历史，探索勾股定理

活动二：

拼图验证并证明勾股定理

活动三：

例题讲解，巩固练习，

活动四：

反思小结，布置作业

活动内容及目的：

①通过多勾股定理的发现，（国外、国内）了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。

②观察、分析方格图，得到指教三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。

③通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。

布置作业，巩固、发展提高。

【教学过程】

【活动一】

（一）问题与情景

1、你听说过“勾股定理”吗？

（1）勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理

（2）我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。

书中记载有“勾广三，股修四，径隅五。

”这作为勾股定理特例的出现。

2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。

相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。

（1）现在请你一观察一下，你能发现什么？

（2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？

（二）师生行为

教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。

针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。

学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。

阐述自己发现的结论。

（三）设计意图

①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。

②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。

③鼓励学生用语免得数学活动的困难，尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法。

并通过方法的反思，获得解决问题的经验。

在本次活动中教师用重点关注：

1学生能否将实际问题（地砖图形在三个正方形围成的一个直角三角形）转化成数学问题（探索直角三角形的特性三边关系）。

2给学生足够的时间去思考和交流，鼓励叙述大胆说唱自己的看法。

3学生能否准确挖掘图形中的隐含条件，技术各个正方形的面积

4是否能用不同的方法（先补全在分割、数格子的个数、拼图等等），引导学生正确地得出结论。

5学生能否主动参与探究活动，在探究中发表意见，与他人合作的意识。

【活动二】

（一）问题与情景

（1）以直角三角形的两直角边a,b拼一个正方形，你能拼出来吗？

（2）面积分别怎样来表示，它们有什么关系呢？

图1图2

（二）师生行为

教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接。

学生展示分割、拼接的过程

学生通过图形的拼接、分割，通过数学的计算发现结论。

教师通过（FLASH课件演示拼接动画）图1生共同来完成勾股定理的数学验证。

得出结论：

直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

教师引导学生通过图1、图2的拼接（FLASH课件演示拼接动画）让学生发现结论。

（三）设计意图

通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生的探求新知的欲望。

给学生充分的时间与空间讨论、交流、推理、发现，鼓励学生发表自己的见解，感受合作的重要性。

同时培养学生的操作能力，为以后探究图形的性质积累了经验。

在本次活动中教师用重点关注：

1学生对拼图的积极性。

是否感兴趣；

2学生能否通过拼图活动获得数学论；是否能通过合理的分割。

3学生能否通过已有的数学经验来严重发现结论的正确性。

4学生能否用自己的语言正确的表达自己的观点。

【活动三】

（一）问题与情景

例题

例1、1.甲船以10海里/小时的速度从港口向北航行,乙船以20海里/小时的速度从港口向东航行,同时行驶3小时后乙遇险，甲调转航向前去抢救，船长想知道两地间的距离，你能帮忙算一下吗？

例2、例2：

求如图所示（单位:

mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0.1mm）.

例3、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

练习

在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c

（1）已知∠C是Rt∠,a=6,b=8.则c=.

（2）已知∠C是Rt∠,c=25,b=15.则a=

3）已知∠C是Rt∠,a=3,b=4.则c=（3）已知∠C是Rt∠,a:

b=3:

4,c=25,则b=

（二）师生行为

教师提出问题。

学生思考、交流，解答问题。

教师正确引导学生正确运用勾股定理来解决实际问题。

针对练习可以通过让学生来演示结果，形成共识。

（三）设计意图

使学生正确地理解勾股定理，并能用它来解决实际问题。

在本次活动中教师用重点关注：

1学生能否通过勾股定理来解决实际问题

2学生是否能通过图形来活动数学问题（数形结合思想）

3学生的表达、语言是否规范

4引导有差异的学生，能让这部分的学生基本上能理解勾股定理的实质（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）

【活动四】

（一）问题与情景

1、通过本节课你学到哪些知识？

有什么体会？

2、布置作业

①通过上网收集有关勾股定理的资料，以及证明方法。

2复习巩固1、2、3、4题

（二）师生行为

教师以问题的形式提出，让学生归纳、总结所学知识，进行自我评价，自我总结.学生把作业做在作业本上，教师检查、批改.

（三）设计意图

通过回忆本节课的所学内容，从知识、技能、数学思考等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识.

17.1勾股定理

（第2课时）

一、知识与技能

能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．

二、过程与方法

1．经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识．

2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．

3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．

三、情感态度与价值观

1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

2．在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．

教学重点将实际问题转化为直角三角形模型．

教学难点如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题．

教学过程

一、创设情境，引入新课

问题1：

欲登12米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？

问题2：

“执竿进屋”：

笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角．笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．

解：

设竿长为x尺，门框的宽度为（x-4）尺，高度为（x-2）尺，根据题意和勾股定理，得

x2=（x-4）2+（x-2）2．

化简，得x2-12x+20=0，

（x-10）（x-2）=0，

x1=10，x2=2（不合题意，舍去）．

所以竿长为10尺．

三、典例分析：

练习：

1．有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长（结果保留整数）．

2．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A、B两点间的距离吗？

四、堂堂清

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2题图3题图4题图

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

五、课后练习

1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为

。

2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为

米。

3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=20厘米。

4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求（精确到1米）：

（1）B、C两点之间的距离为______米；

（2）钢索AB的长度为______米；

（3）钢索AE的长度的长度为______米．

（1）∵大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，

∴AB=AC=48米，BC=2BD，再根据勾股定理求得BD=

则BC=2BD≈83米；

（2）∵∠B=30°，∴AB=48米；

（3）

∵E为BD的中点，∴ED=

六、课时小结

问题：

谈谈你这节课的收获有哪些？

会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形．

设计意图：

通过本节，让学生利用勾股定理，完成了将实际问题转化为直角三角形的数学模型的全过程．

课后练习答案

1．

；2．

；3．20；

4．

（1）∵大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，

∴AB=AC=48米，BC=2BD，再根据勾股定理求得BD=

则BC=2BD≈83米；

（2）∵∠B=30°，∴AB=48米；

（3）

∵E为BD的中点，∴ED=

17.2勾股定理的逆定理

（第1课时）

教学目标

1、知识与技能

1．掌握直角三角形的判别条件．

2．熟记一些勾股数．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

2、过程与方法

1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．

2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．

3、情感态度与价值观

1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．

2．通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．

教学重点探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．

教学难点归纳、猜想出命题2的结论．

教学过程

一、创设问属情境，引入新课

活动1

（1）总结直角三角形有哪些性质．

（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形?

设计意图：

通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．

师生行为学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．

本活动，教师应重点关注学生：

①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温故知新”．

二、讲授新课

活动2问题：

据说古埃及人用下图的方法画直角：

把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．

画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗?

换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．

设计意图：

由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．

师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发．在本活动中，教师应重点关注学生：

①能否积极动手参与．②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论．③学生是否有克服困难的勇气．

活动3下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c

5，12，13；7，24，25；8，15，17．

（1）这三组效都满足a2＋b2＝c2吗?

（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?

设计意图：

本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件．

师生行为：

学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论，

教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明．本活动教师应重点关注学生：

①对猜想出的结论是否还有疑虑．②能否积极主动的操作，并且很有耐心．

命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．

同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技发达的今天——人类已跨人21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”．

“三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”。

譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢?

如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：

一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．

建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢?

据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角．

活动4问题：

命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．命题2如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．它们的题设和结论各有何关系?

设计意图：

认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题?

你前面遇到过有互逆命题吗?

师生行为：

学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题．教师认真倾听学生的分析．

教师在本活动中应重点关注学生；①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系．②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题．

三、课时小结

活动5问题：

你对本节内容有哪些认识?

设计意图：

这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多极化学习的需要．

师生行为：

教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形．

在活动5中，教师应重点关注学生：

（1）不同层次的学生对本节的认知程度．

（2）学生再谈收获是对不同方面的感受．（3）学生独立面对困难和克服困难的能力．

17.2勾股定理的逆定理

（第2课时）

教学目标

1、知识与技能

能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题．

2、过程与方法

1．经历将实际问题转化为敷学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用章识．

2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．

3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．

3、情感态度与价值观

1．在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心．

2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯．

教学重点运用勾股定理的逆定理解决实际问题．

教学难点将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

活动1问题1：

小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗?

问题2：

如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．

（1）你能替他想想办法完成任务吗?

（2）李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗?

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?

BC边与AB边呢?

设计意图：

通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力．

在将实际问题转化为数学问题时，肯定要有一定的困难，教师要给学生充分的时间和空间去思考，从而发现解决问题的途径．

师生行为：

先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法．

教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导．

在此活动中，教师应重点关注学生，

①能否独立思考，寻找解决问题的途径．

②能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法．

③能否由此活动，激发学生学习数学的兴趣．

接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题．

二、讲授新课

活动2

问题：

[例1]判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．

（1）a＝15，b＝8，c＝17；

（2）a＝13，b＝14，c＝15；

（3）求证：

m2－n2，m2＋n2，2mn（m＞n，m，n是正整数）是直角三角形的三条边长．

设计意图：

进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第（3）题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算．

师生行为：

先由学生独立完成，然后小组交流．

教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．

在此活动中，教师应重点关注学生：

①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

②能否发现问题，反思后及时纠正．

③能否积极主动地与同学交流意见．

解：

（1）因为152＋82＝225＋64＝289，

172＝289，

所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．

（2）因为132＋142＝169＋196＝365

152＝225

所以132＋142≠152．这个三角形不是直角三角形．

（3）证明：

m＞n、m、n是正整数

（m2－n2）＋（m2＋n2）＝2m2＞2mn，

即（m2－n2）＋（m2＋n2）＞2mn

又因为（m2－n2）＋2mn＝m2＋n（2m－n），

而2m－n＝m＋（m－n）＞0，

所以（m2－n2）＋2mn＞m2＋n2

这三条线段能组成三角形．

又因为（m2－n2）2＝m4＋n4－2m2n2

（m2＋n2）2＝m4＋n4＋2m2n2

（2mn）2＝4m2n2，

所以（m2－n2）2＋（2mn）2

＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2

＝m4＋n4＋2m2n2

＝（m2＋n2）2

所以，此三角形是直角三角形，m2－n2、2mn、m2＋n2（m＞n、m、n是正整数）这三边是直角三角形的三边．

17世纪，法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637年，他提出了数学史上的一个著名猜想——费马大定理，即当n＞2时，找不到任何的正整数组，使等式xn＋yn＝zn成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它．1995年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜．

活动3

问题：

[例2]“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

设计意图：

让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用，从而树立远大理想，更进一步体会数学的实用价值，

师生行为：

教师先鼓励学生根据题意画出图形，然后小组内交流讨沦，教师需巡视，对有困难的学生一个启示，帮助他们寻找解题的途径．

在此活动中，教师应重点关注：

①学生能否根据题意画出图形．

②学生能否积极主动地参与活动．

③学生是否充满信心解决问题．

三、巩固提高

活动4

问题：

A、B、C三地两两距离如下图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向?

设计意图：

进一步熟练掌握勾股定理的逆定理的应用．

师生行为：

由学生独立完成后，由一个学生板演，教师讲解．

解：

BC2＋AB2＝52＋122＝169，

AC2＝132＝169，

所以BC2＋AB2＝AC2，即BC的方向与BA方向成直角，∠ABC＝90°，C地应在B地的正北方向．

四，课时小结

活动5

问题：

谈谈这节课的收获有哪些?

掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形．

设计意图：

这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会．

师生行为：

教师课前可准备一组小卡片，卡片上写上针对这节课内容不同形式的小问题，请同学们抽签回答．