全等三角形判定二.docx

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全等三角形判定二

全等三角形判定二（ASA，AAS）

【要点梳理】

要点一、全等三角形判定4——“角角边”

★全等三角形判定4——“角角边”

内容

应用格式

图形表示

角角边

（AAS）

两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”

★“AAS”与“ASA”的区别

（1）“ASA”是指一个三角形的两个角以及夹边与另一个三角形的两个角及其夹边分别对应相等。

（2）“AAS”是指一个三角形的两个角中一角的对边与另一个三角形的两个角和其中一角的对边分别对应相等。

★三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

【例2】如图，已知

，

试说明：

【变式2.1】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.

求证：

BE＝CF.

【变式2.2】已知：

如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．

（1）求证：

AC与BD互相平分；

（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，

求证：

OE＝OF.

【变式】如图，已知：

AD=AE，∠ACD=∠ABE，求证：

BD=CE.

【变式】如图，已知：

∠C=∠D，∠BAC=∠ABD，求证：

OC=OD.

要点二、全等三角形判定4——“边边边”

★全等三角形判定4——“边边边”

内容

应用格式

图形表示

边边边

（SSS）

三边分别相等的两个三角形全等。

简写成“边边边”或“SSS”

【例2】如图所示，已知AB=DC，AC=DB。

试说明：

△ABC与△DCB全等

【变式】如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：

∠A=∠D．

【变式】如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.

请推导下列结论：

⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．

要点三、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

已知对应相等的两个元素

寻找第三个对应相等的元素

判定方法

提示

两角

任意一边

ASA或AAS

不等找第三个角

两边

两边的夹角或第三边

SAS或SSS

不能找已对应相等的边的对应角

一角及其对边

任意一角

AAS

不能再找边

一角及其邻边

任意一角或另一邻边

AAS或ASA或SAS

不能找已对应相等的角的对边

2.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

【例3】要测量河两岸相对两点A，B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD=BC，再在过点D的l的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，这时ED的长就是A，B两点间的距离．你知道为什么吗？

说说你的理由．

随堂检测

题型一：

三角形全等得到判定与性质的综合应用

【练习1.1】下列说法：

①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【练习1.2】下列说法正确的是（　　）

A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等

B．三角形的外角等于它的两个内角的和

C．斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等

D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

【练习1.3】下列判断一定正确的是（　　）

A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

B．有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等

C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

D．有两边对应相等，且有一个角为30°的两个等腰三角形全等

【练习】下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（）

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D

B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF

C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝EF

D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE

【练习1.2】如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（　　）

A．HLB．ASAC．AASD．SAS

【练习1.4】如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【练习】在△ABC和△DEF中，已知AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，DE＝6cm，DF＝4cm，∠E＋∠F＝120°，则△ABC与△DEF的关系是（）

A．△ABC与△DEF不全等B．△ABC≌△DEF

C．△ABC≌△FDED．无法确定

【练习】如图所示，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF．

（1）若以“SAS”为依据，还需添加的一个条件是　　　；

（2）若以“ASA”为依据，还需添加的一个条件是　　　；

（3）符以“AAS”为依据，还需添加的一个条件是　　　．

【练习】如图所示，∠C＝∠D＝90°，清你添加一个条件，使得△ABC≌△BAD，并在添加的每一个条件后的括号内，写出添加这个条件后判定三角形全等的理由．

（1）（）：

（2）（）；

（3）　　　（）：

（4）　　　（）．

【练习1.3】已知：

AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2，问：

△ABC≌△ADC吗？

说明理由．

【练习1.4】已知：

如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：

AF＝CE．

【练习1.5】如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：

△ADE≌△CFE．

【练习1.6】如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：

（1）PC＝　　cm．（用t的代数式表示）

（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？

（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？

若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

题型二：

直角三角形全等的判定

【练习2.1】下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）

A．斜边和一直角边对应相等

B．两个锐角对应相等

C．一锐角和斜边对应相等

D．两条直角边对应相等

【练习2.2】列条件中：

①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（　　）

A．6个B．5个C．4个D．3个

【练习2.3】如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则△AEO≌△AFO的依据是（　　）

A．HLB．AASC．SSSD．ASA

【练习2.4】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【练习2.5】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件　　．

【练习2.6】如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD＝AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE＝12cm，则DE的长为　　cm．

【练习2.7】如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：

Rt△ADE≌Rt△BEC．

【练习2.8】如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：

CE＝BF．

【练习2.9】如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：

∠ACB＝90°．

题型三：

全等三角形的应用

【练习3.1】如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：

根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

【练习3.2】如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）

A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去

【练习3.3】某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（　　）

A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去

【练习3.4】如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　）

A．SASB．ASAC．SSSD．AAS

【练习3.5】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

【练习3.6】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？

应该带（　　）

A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块

【练习3.7】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

【练习3.8】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接ED．若量出DE＝58米，则A，B间的距离即可求．依据是（　　）

A．SASB．SSSC．AASD．ASA

【练习3.9】如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

【练习3.10】如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　）

A．SASB．ASAC．AASD．SSS

【练习3.11】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）

A．SASB．HLC．SSSD．ASA

【练习3.12】如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（　　）

A．SSSB．ASAC．AASD．SAS

【练习3.13】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．HL

【练习3.14】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？

应该带第　　块．

【练习3.15】如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE＝　　度．

【练习3.16】如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第　　块去．（填序号）

【练习3.17】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①，②，③，④的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？

应该带第　　块．

【练习3.18】如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是　　．

【练习3.19】如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并分别延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接CD．测得CD长为10m，则池塘宽AB为　　m．理由是　　．

【练习3.20】如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带　　去配，这样做的数学依据是　　．

【练习3.21】利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度．首先将两块完全相同的三角板按图1放置，然后交换两块三角板的位置，按图2放置．测量数据如图所示，则升旗台的高度是　　cm．

【练习3.22】如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带　　去玻璃店．

【练习3.23】如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为　　m．

【练习3.24】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连结BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出　　的长就等于AB的长．这是因为可根据　　方法判定△ABC≌△DEC．

【练习3.25】如图，为了测量池塘两端点A，B间的距离，小亮先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE．现测得DE＝30米，则AB两点间的距离为　　米．

【练习3.26】如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为　　cm/s时，△ACP与△BPQ全等．

【练习3.27】把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽工具（卡钳）．如图，若测得AB＝5厘米，则槽为　　厘米．

【练习3.28】如图，A，B在一水池的两侧，若BE＝DE，∠B＝∠D＝90°，点A，E，C在同一条直线上，CD＝8cm，则水池宽AB＝　　cm．

【练习3.29】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段　　即可．

【练习3.30】如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b，瓶直壁厚度x＝　　（用含a，b的代数式表示）．

【练习3.31】把等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式立在桌面上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点分别距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离即DE的长为　　．

【练习3.32】在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．

（1）画出测量图案；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．

【练习3.33】王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．

（1）求证：

△ADC≌△CEB；

（2）求两堵木墙之间的距离．

【练习3.34】如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．

（1）证明△ACD≌△CBE；

（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？

请说明理由．

【练习3.35】小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：

在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝　　，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段　　的长度就是AB的长．

（1）按小明的想法填写题目中的空格；

（2）请完成推理过程．

【练习3.36】数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF．

求证：

∠AOE＝∠EOF＝∠FOD．

【练习3.37】如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？

【练习3.38】如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）

（1）线段　　的长度就是A、B两点间的距离

（2）请说明

（1）成立的理由．

【练习3.39】如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　　分钟后△CAP与△PQB全等．

【练习3.40】在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：

①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是　　．

【练习3.41】CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　　CF；EF　　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．