贵州省遵义四中届高三上学期第一次月考数学理试.docx
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贵州省遵义四中届高三上学期第一次月考数学理试
遵义四中2018届高三第一次月考试卷
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．设复数
满足
则
（）
A．
B．
C．
D．2
3．已知函数
，则
（）
A．
B．3C．4D．5
4．下列函数中，在定义域内单调且是奇函数的是（）
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线
的一焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）
A．
B．
C．
D．
6．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．若函数
在定义域上单调递增，则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
满足对任意实数
，都有
成立，则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
，
，若函数
有两个不相同的零点，则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
10．若偶函数
在
上单调递减，且
，
，
，则下列不等式成立的是（）
A．
B．
C．
D．
11．如图，一直角墙角的两边足够长，若
处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是
和
（单位：
）现用
长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃
，设此矩形花圃的最大面积为
，若将这棵树围在矩形花圃内（包括边界），则函数
的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数
，则该函数的定义域为．
14．函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则当
时，
．
15．已知直线
与曲线
相切，则实数
的值为．
16．已知函数
在
内存在最小值，则
的取值范围为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知向量
，
，
．
（1）当
时，求
的值；
（2）若
，且
，求
的值．
18．为了解我校高三年级学生暑假期间的学习情况，现随机抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在暑假期间平均每天学习的时间（单位：
小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间
的有8人．
（1）求直方图中
的值及甲班学生平均每天学习时间在区间
的人数；
（2）从甲、乙两个班平均每天学习时间不少于10个小时的学生中任取5人参加测试，设5人中甲班学生的人数为
，求
的分布列和数学期望．
19．如图，四边形
是体积为
的圆柱
的轴截面，点
在底面圆周上，
，
是
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
20．如图所示，曲线
是以坐标原点
为顶点，
轴为对称轴的抛物线，且焦点在
轴正半轴上，圆
．过焦点
且与
轴平行的直线与抛物线交于
两点，且
．
（1）求抛物线
的标准方程；
（2）直线
过
且与抛物线
和圆
依次交于
，且直线
的斜率
，求
的取值范围．
21．已知函数
．
（1）若
，求函数
的单调区间；
（2）若
时，都有
成立，求
的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系
已知曲线
，
，直线
（
是参数）
（1）求出曲线
的参数方程，及直线
的普通方程；
（2）
为曲线
上任意一点，
为直线
上任意一点，求
的取值范围．
23．选修4-5：
不等式选讲
已知函数
．
（1）求
的值域；
（2）若
的最大值为
，已知
均为正实数，且
，求证：
．
试卷答案
一、选择题
1-5：
DBCDC6-10：
ADBDC11、12：
BC
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：
（1）
；
（2）∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
18．解：
（1）
；
∵甲班学生平均每天学习时间在区间
的有8人
∴甲班学生共有
人
甲班学生平均每天学习时间在区间
的有
人．
（2）乙班学生平均每天学习时间在区间
的有
人
甲、乙两班学生平均每天学习时间在区间
的共有7人．
∴
∴
的分布列为
1
2
3
19．证明：
（1）由题意可知，
平面
∴
∵圆柱
的体积为
∴圆柱的高
又∵点
在底面圆周上，
∴
，且
∵
∴
平面
∴
又∵
是
的中点
∴
又∵
∴
平面
解：
（2）如图建立空间直角坐标
可求得平面
的一个法向量为
；
易知平面
的一个法向量为
；
∴
∴所求的二面角
的余弦值为
20．解：
根据题意可知，抛物线
的标准方程为：
∵
，则
∴
∴抛物线
的标准方程为：
．
（2）由
（1）可知，
∴
设
，
联立方程
消去
，得
∴
∴
∴
又∵点
到直线
的距离为
，则
∴
令
，则
∴
又∵
∴
的范围为
．
21．解：
（1）当
时，
当
时，
；当
时，
；
∴
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）令
，则
∵
，则
∴当
时，
，则
在
上单调递增，
∴
，即
，
∴
在
上单调递增，
∴
时成立；
当
，易知
，
，
，
，且
∴
在
上单调递减，
上单调递增，
∴存在一个
，使得
，即在
上，
单调递减，
在
上单调递增，而
∴在
上，
恒大于0不成立
∴
时不成立
∴
．
22．解：
（1）曲线
的普通方程为：
∴曲线
的参数方程
（
为参数，
）
直线
的普通方程为：
（2）设
∴
到直线
的距离为
∵
∴
∴
∴
∴
23．解：
（1）
∴
的最大值为
，
∴
的值域为
证明：
（2）由
（1）可知，
∴
∴由柯西不等式得：
即
（当且仅当
时取等号）．
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