北京市西城区学年高二上学期期末考试数学理试题.docx
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北京市西城区学年高二上学期期末考试数学理试题
北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷
高二数学2016.1
(理科)
试卷满分:
150分考试时间:
120分钟
题号
一
二
三
本卷总分
15
16
17
18
19
20
分数
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.命题“若
,则
”的逆命题是()
(A)若
,则
(B)若
,则
(C)若
,则
(D)若
,则
2.圆心为
,且与
轴相切的圆的方程是()
(A)
(B)
(C)
(D)
3.在空间中,给出下列四个命题:
①平行于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;
③平行于同一条直线的两条直线互相平行;④垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
其中真命题的序号是()
(A)①
(B)②
(C)③
(D)④
4.实轴长为
,虚轴长为
的双曲线的标准方程是()
(A)
(B)
(C)
,或
(D)
,或
5.“直线
垂直于平面
内无数条直线”是“直线
垂直于平面
”的()
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
6.某几何体的三视图如图所示.其中主视图中△
是边长为
的正三角形,俯视图为正六边形,那么该
几何体的左视图的面积为()
(A)
(B)
(C)
(D)
7.已知椭圆
的两个焦点分别为
,
,若椭圆上存在点
使得
是钝角,则椭圆离心率的取值范围是()
(A)
(B)
(C)
(D)
8.已知四面体
的侧面展开图如图所示,
则其体积为()
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9.命题“
,
”的否定是_______.
10.已知直线
:
,
:
.若
∥
,则实数
_______.
11.已知双曲线
的一个焦点是
,则其渐近线的方程为_______.
12.如图,正方体
中,直线
和
所成角的大小为_______;直线
和平面
所成角的大小为_______.
13.在空间直角坐标系
中,已知平面
的一个法向量是
,且平面
过点
.若
是平面
上任意一点,则点
的坐标满足的方程是_______.
14.平面内到定点
和定直线
的距离之和等于
的动点的轨迹为曲线
.关于曲线
的几何性质,给出下列三个结论:
①曲线
关于
轴对称;
②若点
在曲线
上,则
;
③若点
在曲线
上,则
.
其中,所有正确结论的序号是_______.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
如图,四棱锥
的底面
为菱形,
是棱
的中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)若
,求证:
平面
平面
.
16.(本小题满分13分)
已知抛物线
的准线方程是
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设直线
与抛物线相交于
,
两点,
为坐标原点,证明:
.
17.(本小题满分13分)
如图,在直三棱柱
中,
,
,
,
,点
在棱
上,且
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角
的大小.
18.(本小题满分13分)
如图,在直角坐标系
中,已知圆
:
.点
,
在圆
上,且关于
轴对称.
(Ⅰ)当点
的横坐标为
时,求
的值;
(Ⅱ)设
为圆
上异于
,
的任意一点,直线
,
与
轴分别交于点
,
,证明:
为定值.
19.(本小题满分14分)
如图1,四棱锥
中,
底面
,底面
是直角梯形,
为侧棱
上一点.该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:
∥平面
;
(Ⅲ)线段
上是否存在点
,使
与
所成角的余弦值为
?
若存在,找到所有符合要求的点
;若不存在,说明理由.
20.(本小题满分14分)
如图,已知四边形
是椭圆
的内接平行四边形,且
,
分别经过椭圆的焦点
,
.
(Ⅰ)若直线
的方程为
,求
的长;
(Ⅱ)求平行四边形
面积的最大值.
北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷
高二数学(理科)参考答案及评分标准2016.1
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.A2.B3.C4.D5.B6.C7.B8.D
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
10.
11.
12.
,
13.
14.①②③
注:
12题第一空2分,第二空3分;14题少选不给分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)证明:
设
交
于点
,连结
.【1分】
因为底面
为菱形,
所以
为
中点.
因为
是
的中点,
所以
∥
.【4分】
因为
平面
,
平面
,
所以
∥平面
.【5分】
(Ⅱ)证明:
连结
.【6分】
因为底面
为菱形,
所以
,
为
中点.【8分】
因为
,
所以
.【10分】
所以
平面
.【11分】
因为
平面
,
所以平面
平面
.【13分】
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
因为抛物线
的准线方程为
,【2分】
所以
,解得
,【4分】
所以抛物线的方程为
.【5分】
(Ⅱ)证明:
设
,
.
将
代入
,
消去
整理得
.【7分】
所以
.【8分】
由
,
,两式相乘,得
,【9分】
注意到
,
异号,所以
.【10分】
所以直线
与直线
的斜率之积为
,【12分】
即
.【13分】
17.(本小题满分13分)
(Ⅰ)证明:
因为
直三棱柱,
所以
,
.
又
,
所以
,
,
两两互相垂直.【1分】
如图,以
为原点,建立空间直角坐标系
.【2分】
则
,
,
,
,
.
由
,得
.【3分】
所以
,
.
因为
,【4分】
所以
.【5分】
(Ⅱ)解:
,
.
设平面
的一个法向量为
,则
【7分】
所以
取
,得
.【9分】
又平面
的一个法向量为
,【10分】
所以
,【12分】
因为二面角
的平面角是锐角,
所以二面角
的大小是
.【13分】
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
因为点
在圆
上,横坐标为
.
不妨设
,由对称性知
,【2分】
所以
.【5分】
(Ⅱ)解:
设
,由对称性知
,且
.【6分】
设
,则
.【7分】
,
.【9分】
在上述方程中分别令
,解得
,
.【11分】
所以
.
所以
.【13分】
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
由俯视图可得,
,
所以
.【1分】
又因为
平面
,
所以
,【3分】
所以
平面
.【4分】
(Ⅱ)证明:
取
上一点
,使
,连结
,
.【5分】
由左视图知
,所以
∥
,
.【6分】
在△
中,易得
,所以
,又
,所以
,
.
又因为
∥
,
,所以
∥
,
.
所以四边形
为平行四边形,所以
∥
.【8分】
因为
平面
,
平面
,
所以直线
∥平面
.【9分】
(Ⅲ)解:
线段
上存在点
,使
与
所成角的余弦值为
.【10分】
证明如下:
因为
平面
,
,建立如图所示的空间直角坐标系
.
所以
.
设
,其中
.【11分】
所以
,
.
要使
与
所成角的余弦值为
,则有
.【12分】
所以
,解得
或
,均适合
.【13分】
故点
位于
点处,或
中点处时,均符合题意.【14分】
20.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
由
解得
,【2分】
所以
两点的坐标为
和
,【4分】
所以
.【5分】
(Ⅱ)解:
①当直线
的斜率不存在时,
此时易得
,
,
,
,
所以平行四边形
的面积为
.【6分】
②当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,
将其代入椭圆方程,整理得
.【8分】
设点
,
,
,
.
则
,
.【10分】
连结
,
,
则平行四边形
的面积
.【11分】
又
.【13分】
所以
.
综上,平行四边形
面积的最大值是
.【14分】