（5）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[分析] 先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系．
[解析]
（1）用列举法表示集合B＝{－1,1}数A＝B，
（2）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB
（4）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如下图所示，由图可知AB.
（5）方法一：
两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
方法二：
由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.
规律总结：
对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．
练习2.判断下列各组中集合之间的关系：
（1）A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
（2）A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；
（3）A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
（4）M＝{x|x＝
，n∈Z}，N＝{x|x＝
＋n，n∈Z}．
[解析]
（1）因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.
（2）因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，所以BA.
（3）由图形的特点可画出Venn图如下图所示，从而CABD.
（4）方法一：
对于集合M，其组成元素是
，分子部分表示所有的整数；
对于集合N，其组成元素是
＋n＝
，分子部分表示所有的奇数．
由真子集的概念知，NM.
方法二：
用列举法表示集合如下：
M＝{…，－
，－1，－
，0，
，1，
，2，
，…}，N＝{…，－
，－
，
，
，
，…}，所以NM.
三、数轴在表示集合之间的关系中应用的考查
[例3] 已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且MN，则（ ）
A．a≤1B．a＜1
C．a≥1D．a＞1
[分析] 为了形象直观地表示集合的关系．可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系．
[解析] 随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足MN的情况如图，显然可得a＜1，故选B.
规律总结：
要特别注意a能否取到1，若把其他条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：
1M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M⊆N；④M⊇N；⑤MN.
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．
（1）若B⊆A，则a的取值范围是________；
（2）若A⊆B，则a的取值范围是________；
（3）若AB，则a的取值范围是________；
（4）若A＝B，则a的值是________．
[解析]
（1）若B⊆A应满足a≤3；
（2）若A⊆B应满足a≥3；
（3）AB应满足a>3；
（4）若A＝B则a＝3.
学法指导：
由集合间的关系求参数的取值或范围
有时在集合的表示中含有字母参数，让我们通过集合的关系来求参数的范围，这里面要注意两个问题：
（1）有关参数的题目要注意分类讨论：
一般来说要明确含有参数的题目需要分类，如y＝ax2＋bx＋c中的a是否为0，ax＞b中的a也需要讨论，由上面几个例子，参数在取不同的值时，导致问题有不同的形式，因此有关参数的题目，要注意分类的应用，根据分类的原因明确分类的标准，由标准找出分类的对象，还要注意分类时不重不漏的原则．
（2）当B是A的子集即B⊆A或真子集BA时，要特别注意B＝∅的情况，不要遗漏，否则会丢解．
[例4] 设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的值．
[分析] 解决此题，应明确B⊆A的具体含义，B⊆A有两种情况，一是B＝A，而另一种是BA，而BA时还要考虑B能否是∅的情况，因此解题过程中必须分类讨论，另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题．
[解析] A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{－4,0}．
∵B⊆A，∴B＝A或BA.
（1）当A＝B时，即B＝{－4,0}，则－4,0就是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的根，代入得a＝1.
（2）当BA时，
①若B＝∅，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，解得a＜－1.
②若B≠∅，则B＝{－4}或B＝{0}，此时方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0有两个相等的实数根．
∴Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，解得a＝－1.经验证知B＝{0}满足条件．
综上可知所求实数a的值为a＝1或a≤－1.
规律总结：
本题重在考查集合的子集，真子集的概念及它们的关系，解题时要求深刻理解A⊆B的概念，合理分析、理解A⊆B的意义，并适时、准确地转化为方程问题或不等式问题，在具体求解过程中有时借助数轴或函数图象来形象解题．
练习4.已知集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，B⊆A，求a的值．
[分析] 本题关键从条件B⊆A入手，可先讨论集合B是否为空集，即化简集合B，再由B⊆A求a的值．
[解析] ∵B⊆A，A≠∅，
∴B＝∅或B≠∅.
当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠∅时，此时a≠0，B＝{－
}，
∴－
∈A，即有－
＝－2，得a＝
.
综上所述，a＝0或a＝
.
五、集合的子集个数问题的考查
[例5]
（1）A＝{a，b，c}，求集合A子集的个数．
（2）若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？
*（3）根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数．
（4）若A含有n个元素，猜测集合A真子集的个数．
[解析]
（1）确定集合A各种情形子集的个数：
含有一个元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为{a，b，c}共1个，另外还有空集∅，因此集合A共有8个子集．
（2）按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.
（3）将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.
（4）去掉它本身，应有2n－1个．
规律总结：
牢记下述四个结论，解题时可依据这四个结论检验解答正确与否．
（1）含n个元素的集合有2n个子集；
（2）含n个元素的集合有（2n－1）个真子集；
（3）含n个元素的集合有（2n－1）个非空子集；
（4）含n个元素的集合有（2n－2）个非空真子集．
若有兴趣做如下探究，你会收获更大．
练习5.
（1）若∅⊆A⊆{1,2}则集合A的个数为________．
（2）若{1}⊆A⊆{1,2}则集合A的个数为________．
（3）若{a1，a2}⊆A⊆{a1，a2，a3，a4，a5}，求满足上述条件的集合A的个数．（4）若{a1，a2，…，am}⊆A⊆{a1，a2，…，am，b1，b2，…，bn}则集合A的个数为________．
（5）若{a1，a2，…，am}A{a1，a2，…，am，b1，b2，…，bn}则集合A的个数为________．
[解析] （3）集合A首先含有元素a1，a2，然后再从剩下的3个元素中选取，即{a3，a4，a5}的子集总数为23＝8个，∴这样的集合A共有8个．
易错点总结
1．混淆符号“⊆”与“∈”
[例6] 下列各式中，正确的是（ ）
A．2
⊆{x|x<4}B．2
∈{x|x<4}
C．{2
}∈{x|x<4}D．{2
}⊆{x|x<3}
[错解] A或C
[错因分析] 混淆了子集符号“⊆”和元素与集合之间的联结符号“∈”．
[思路分析] “⊆”表示两集合之间的关系，“∈”是表示元素与集合之间的关系．
2．判断集合间的关系时，没有考虑到变量的范围所产生的影响
[例7] 集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，下列关系中，正确的是（ ）
A．MPB．PM
C．M＝PD．MP且PM
[错解] C
由于a2－4a＋5＝（a－2）2＋1，a∈N*，∴（a－2）2∈N*，∴M＝P.
[错因分析] 该解法中的a∈N*，得到（a－2）2∈N*产生错误，事实上，a＝2时，（a－2）2＝0∉N*.
[思路分析] 要解决集合间关系的判断问题，首先是化简两集合的元素表达式，但要注意变量范围所产生的影响．
[正解] A
由a2－4a＋5＝（a－2）2＋1，且a∈N*，∴（a－2）2∈N，∴M是P的真子集．
3．由子集关系求集合中参数范围时，忽视空集导致漏集
[例8] 若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，当B⊆A时，求实数m的取值范围．
[错解] 由于B⊆A，∴
解得－1≤m≤3
[错因分析] B⊆A，而B中含有字母，因此，集合B可能为空集．
[思路分析] ∅是任何集合的子集，这一点一定不要忘记
练习：
1．下列四个命题：
①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③空集中的元素个数为零；④任意一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[解析] 提示：
①错，∅是任何集合的子集；②错，空集是任何非空集合的真子集；③对；④错，∅只有一个子集，即∅本身．
2．（2012－2013学年度邢台一中高一月考试题）如果A＝{x|x＞－1}，那么正确的结论是（ ）
A．0⊆AB．{0}A
C．{0}∈AD．∅∈A
[解析] A错，因为0与A是元素与集合的关系，C、D错，因为{0}与A，∅与A是集合与集合的关系．故选B.
3．（2012·高考文科数学大纲版）已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（ ）
A．A⊆BB．C⊆B
C．D⊆CD．A⊆D
[命题意图] 本试题主要考查了集合的概念，集合的包含关系的运用．
[解析] 由正方形是特殊的菱形，矩形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的矩形，可知D是最小的集合，A是最大的集合，依次是B，C集合，因此选C.
4．（2012－2013河北正定中学高一数学质量调研）设集合A＝{x|1A．a＜4B．a≤4
C．a＞4D．a≥4
[解析] 在数轴上表示出两个集合（图略），因为AB，所以a≥4
5．集合A＝{x|0≤x<3，x∈Z}，则实数A的真子集个数为（ ）
A．5B．6
C．7D．8
[解析] A＝{x|0≤x<3，x∈Z}＝{0,1,2}．因为含有n个元素的集合的所有真子集的个数为2n－1，所以A的真子集个数为23－1＝7.
6．用适当的符号填空：
（1）{x|x是菱形}________{x|x是平行四边形}；
{x|x是三角形}________{x|x是斜三角形}．
（2）Z________{x∈R|x2＋2＝0}；
0________{0}；
∅________{0}；
N________{0}．
[解析]
（1）判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．
（2）集合{x∈R|x2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x∈R|x2＋2＝0}＝∅；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；∅是不含任何元素的集合，故∅{0}；自然数集N中含有元素0，但不止0这一个元素．
7．指出下列各对集合之间的关系：
（1）A＝{x|x是四边形}，B＝{x|x是梯形}；
（2）A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是有一个角是45°的直角三角形}；
（3）A＝{x|x＞3}，B＝{x|x≥5}；
（4）A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}．
[解析]
（1）∵梯形是四边形，∴BA；
（2）∵B＝{x|x是有一个角是45°的直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}
∴BA.
（3）∵若x≥5，则一定有x＞3，∴BA.
（4）∵
∈A，而
∉B，又
∉B，
而
∉A，∴AB，且BA.
8．已知a，x∈R，集合A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋（a＋1）x－3,1}
（1）若A＝{2,3,4}，求x的值；
（2）若2∈B，BA，求a，x的值．
（3）若B＝C，求a，x值．
[解析]
（1）A＝{2,4，x2－5x＋9}＝{2,3,4}，∴x2－5x＋9＝3，解得x＝2或x＝3.
（2）2∈B，BA，
解得x＝2，a＝－
或x＝3，a＝－
.
（3）由B＝C得：
，由②－①得x－a＝5代入①解得：
或
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