a=f(x)恒有解
fmin(x)≤a≤fmax(x)。
【题型1】映射与函数的概念问题
映射与函数的概念是学习函数的基础,应予以充分重视。
例1.设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:
A
B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在映射f下,(2,1)的原象是()A.(3,1)B.(
)C.(
-
)D.(1,3)
例2.下列各组函数中,是同一函数的是()
A.y=1与y=x0B.y=logax2与y=2logax(其中a>0且a≠1)
C.
与
D.
与
(其中a>0且a≠1)
【题型2】函数的定义域问题
1.已知函数解析式,求函数定义域
例3.求下列函数定义域:
(1)y=lg(1-tanx);
(2)
。
2.复合函数的定义域
例4.若y=f(x+3)的定义域是[-5,-2],则y=f(x+1)+f(x-1)的定义域是_________。
3.实际问题所确定的函数定义域问题
例5.一个圆柱形容器的底面直径为dcm,高度为hcm,现以每秒scm3的速度向容器内注入某种溶液,求容器内溶液高度y与注入时间t(秒)的函数关系式及其定义域。
4.已知函数定义域,求参数的值或范围
例6.已知函数
的定义域是R,则实数m的取值范围是____________。
【题型3】求函数解析式问题
1.凑配法例7.已知
,则f(x)=____________。
2.换元法以上题为例。
3.待定系数法例8.如果f[f(x)]=4x-1,则整系数一次函数f(x)=____________。
4.消元法例9.设f(x)是定义在(0,
)上的一个函数,且有
,则f(x)=________。
5.特殊值法例10.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)的表达式是____________。
【题型4】求函数值问题
例11.设定义在N上的函数
,则f(2003)=_______。
例12.设函数
(0≤x≤1)的反函数为f-1(x),则
的值为__________。
例13.已知f(cosx)=1-sin2x,x∈(0,
),则f(sin
)=___________。
【题型5】函数值域与最值问题
函数的值域与函数的最值是反映函数值的范围的两个概念,因而它们之间既有分别又有联系,在初等函数中,求函数的值域与求函数的最值方法相同。
1.已知函数解析式,求函数值域(最值)
函数值域是由函数定义域及法则唯一确定的,因此在求函数值域(最值)时,应首先考虑函数定义域。
其方法主要有:
图象法、配方法、换元法、单调性法、逆求法、判别式法、不等式法、导数法、分离常数法,等等。
例14.求下列函数的值域:
(1)
(2)
2.几何最值
例15.边长为a的正方形ABCD中,M、N分别是AB、CD上的点,沿MN将梯形BCNM翻折,使B点落在AD上,问怎样才能使被折的梯形BCNM的面积最小?
3.函数值域的逆向问题
例16.已知函数
的值域是[1,3],求b,c之值。
【题型6】函数图象的有关问题
函数图象是函数性质的直观反映,应用十分广泛。
1.作函数的图象
例17.作下列函数的图象:
(1)y=2|x|-1
(2)y=log2|x+1|
2.利用图象变换求解析式
例18.已知函数f(x)的图象沿直线y=-x向右下方平移
个单位,得到函数y=lgx的图象,则f(x)的解析式为()
A.f(x)=lg(x+2)+2B.f(x)=lg(x-2)+2C.f(x)=lg(x-2)-2D.f(x)=lg(x+2)-2
3.函数图象的应用问题
例19.方程
的实根共有()A.1个B.2个C.3个D.4个
【题型7】函数的单调性
1.证明函数单调性
例20.用定义证明函数
在[1,+∞)上是减函数。
例21.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论。
2.讨论函数的单调性
例22.讨论函数
的单调性。
3.求函数的单调区间
求函数单调区间的常用方法有:
图象法、定义法、复合函数法、导数法等。
例23.函数f(x)=log2(-x2+2x+8)的递增区间是___________。
4.已知函数单调区间,确定参数取值范围
例24.设
在(-2,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围是__________。
5.函数单调性的应用
函数单调性的应用主要有:
比较函数值或代数式的大小;解方程或不等式。
例25.设y=f(x)是R上的单调函数,证明:
方程f(x)=0在R上至多有一个实数根。
【题型8】函数的奇偶性
1.判断函数的奇偶性
例26.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=lg(4+x)+lg(4-x)
(2)
2.已知函数的奇偶性,求参数值
例27.已知
是偶函数,则实数a之值为__________。
3.已知函数的奇偶性,求函数解析式
例28.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log2(x+1),则当x<0时,f(x)的解析式是__________。
【题型9】函数性质的综合问题
例29.已知f(x)是定义在整数集Z上的奇函数,且对定义域内的任意x,有f(x)=f(x-1)+f(x+1),若f
(1)=88,则f(2003)=__________。
例30、设函数f(x)对于任意的实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f
(1)=-2。
(1)求证:
f(x)是奇函数;
(2)试问:
当x
[-3,3]时,f(x)是否有最值?
若有,求出最值;若没有,说明理由。
【题型10】函数的应用问题
应用题的解法一般遵循以下步骤:
①阅读理解,认真审题;②引入数学符号,建立数学模型;③解答数学模型,求得结果;④将结果转译成实际问题。
例31.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围?
题型11、函数、方程、不等式三者联系问题
例33、设函数
,其中a>0。
(1)解不等式f(x)≤1;
(2)求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数。
例34.设a,b,c∈R,且它们的绝对值都不大于1,求证:
ab+bc+ca+1≥0。
[练习]
练习1.求函数y=x2-2x+1在[0,2]上的值域是__________。
练习2.已知函数f(x)满足f(cosx-1)=cos2x,则f(x)的解析式为__________。
练习3.设x≠kπ(k∈Z),则函数
的最小值是__________。
练习4.函数
的奇偶性是()
A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数
练习5.函数y=log0.5(x2+4x+3)的单调增区间是__________。
练习6.已知函数
,则函数f(x)的定义域是__________。
练习7.函数
的最小值是__________。
练习8.函数
的值域是__________。
练习9.对所有的实数x,不等式
恒成立,求实数a的取值范围。
[数学思想方法]
1.数形结合法
例1.已知a>0,且a≠1,使方程
有解的实数k的取值范围是__________。
2.分类讨论思想
例2.求函数y=ax2-2x+1(a
R)在[-1,1]上的最值。
例3.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,则实数m的取值范围是__________。
3.转化与化归思想
例4.已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点。
(1)证明:
C,D和原点O在同一直线上;
(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标。
例5.定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)4、对称思想
例6.已知f(x+1)是偶函数,且当x≤1时,f(x)=x2+x,则当x>1时,f(x)的解析式为_________。
5.方程思想
例7.函数f(x)满足
,则f(x)=__________。
6.函数思想
例8.若关于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0,
]上有解,则实数a的取值范围是__________。
7.方程思想
例9.函数
的值域是__________。
8.整体思想
例10.设a>0,b>0且a≠b,求函数y=(asin2x+bcos2x)•(acos2x+bsin2x)何时取得最大值?
最大值是多少?
9.逆反思想
例11.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,f
(2)=1,且对任意正数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),则满足f(a)+f(a-2)≤3的实数a的取值范围是__________。
例12.设函数f(x)=4x-2x+1+1(x>0)的反函数为f-1(x),则f-1(9)=__________。
10.换元思想
例13.若关于x的方程4x+2x•a+a+1=0有实根,则a的取值范围是__________。
[强化训练]
1.已知映射f:
A
B,其中集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的
,在B中的对应元素是|a|,则集合B中的元素个数是()
A、4B、5C、6D、7
2.设函数y=f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于直线()对称。
A、y=0B、x=0C、y=1D、x=1
3.已知f(x)=ksinx+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f
(2)=()
A、-26B、-18C、18D、10
4.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在[-7,-3]上是()
A、增函数且最小值为-5B、增函数且最大值为-5
C、减函数且最小值为-5D、减函数且最大值为-5
5.函数
的反函数是()
A、奇函数,它在(0,+∞)上是减函数B、偶函数,它在(0,+∞)上是减函数
C、奇函数,它在(0,+∞)上是增函数D、偶函数,它在(0,+∞)上是增函数
6.定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和。
如果f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么()
A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2)B.g(x)=
[lg(10x+1)+x],h(x)=
[lg(10x+1)-x]
C.g(x)=
h(x)=lg(10x+1)-
D.g(x)=-
h(x)=lg(10x+1)+
7.若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0,则f-1(b)()
A.aB.a-1C.bD.b-1
8.若a>b>1,
,
,
,则()
A.P9.设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题:
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;③若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;④若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减。
则正确的命题是()
A.①③B.①④C.②③D.②④
10.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=()
A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5
11.方程sinx=lgx解的个数为()
A.1B.2C.3D.4
12.若
是偶函数,且f(x)不恒为零,则f(x)是()
A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数
13.函数
的定义域为__________。
14.方程log2(x+1)2+log4(x+1)=5的解是__________。
15.不等式
的解集是__________。
16.已知函数f(x)=(x-1)•(log3a)2-6x•log3a+x+1在[0,1]上的值恒为正,则实数a的取值范围是__________。
17.若loga
<1,则实数a的取值范围是__________。
18.设0y>1,则ax,ay,xa,ya,logax,logay的大小顺序是_____________________。
19.当x∈(2,6)时,f(x)=lg(-x2+kx-12)有意义,则实数k的取值范围是____________。
20.解关于x的不等式
(a>0且a≠1)。
21.已知函数
(a>0且a≠1)。
(1)求f(x)