初中二次函数的解题方法.docx

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初中二次函数的解题方法

初中二次函数的解题方法

首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：

　　一般式：

y=ax2+bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a,4ac-b²/4a）;

　　顶点式：

y=a（x-h）²+k（a≠0,a、h、k为常数）,顶点坐标为（h,k）,对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

　　交点式：

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）[仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线,即b^2-4ac≥0]：

由一般式变为交点式的步骤：

∵X1+x2=-b/ax1·x2=c/a∴y=ax²+bx+c=a（x²+b/ax+c/a）=a[﹙x²;-（x1+x2）x+x1x2]=a（x-x1）（x-x2）

　　重要概念：

。

　　1.二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）;a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧

　　2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P（h,k）当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。

h=-b/2ak=（4ac-b2）/4a

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c,△及系数的代数符号。

常见问题

1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：

抛物线线中的特殊三角形主要有两类：

（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；

（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。

解决策略是：

应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。

用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。

2、二次函数的定点和动点问题：

求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。

解决定点问题有两个解决办法：

（1）特殊值法，即令参数取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求解，解即为顶点坐标。

（2）转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷多解，得到系数为零的条件再讨论解决。

3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系．

4、二次函数与整数问题

二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．

5、二次函数的最值问题

定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值（最大值和最小值）．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．

在初中数学竞赛中，二次函数是解决一些实际问题的有效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵，因此，在近几年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。

例1　抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，－11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负．则a、b、c中为正数的（）

A、只有aB、只有bC、只有cD、有a和b

解：

由顶点为（4，－11），抛物线交x轴于两点，知a>0．设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，由题设x1x2<0知

<0，所以c<0，又对称轴为x=4知－

>0，故b<0．故选（A）．

例2　已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f（19）=f（99）=1999，|c|<1000，则c=．

解：

由已知f（x）=ax2+bx+c，且f（19）=f（99）=1999，因此可设f（x）=a（x－19）（x－99）+1999，

所以ax2+bx+c=a（x－19）（x－99）+1999

=ax2－（19+99）x+19×99a+1999，故c=1999+1881a．

因为|c|<1000，a是整数，a≠0，经检验，只有a=－1满足，此时c=1999－1881=118．

例3已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

解：

设A、B的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），且x1

∴

∴x1<0，x2<0

又由题设可知△=b2－4ac>0，∴b>2

①

∵|OA|=|x1|<1，|OB|=|x2|<1，即－1

∴

=x1x2<1，∴c

∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，且当x=－1时y>0，

∴a（－1）2+b（－1）+c>0，即a+c>b．

∵b，a+c都是整数，∴a+c≥b+1③

由①，③得a+c>2

+1，∴（

）2>1，又由②知，

>1，

+1，即a>（

+1）2≥（

+1）2=4

∴a≥5，又b>2

≥2

>4，∴b≥5

取a=5，b=5，c=1时，抛物线y=5x2+5x+1满足题意．

故a+b+c的最小值为5+5+1=11．

例4　如果y=x2－（k－1）x－k－1与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小值是（）

A、1B、2C、3D、4

解：

由于△=（k－1）2+4（k+1）=（k+1）2+4>0，所以对于任意实数k，抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则：

|AB|=

又抛物线的顶点c坐标是（

），

因此S△ABC=

·

因为k2+2k+5=（k+1）2+4≥4，当k=－1时等于成立，

所以，S△ABC≥

，故选A．

例5

　已知二次函数y=x2－x－2及实数a>－2．求：

（1）函数在－2

（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．

解：

函数y=x2－x－2的图象如图1所示．

（1）若－2

，

当x=a时，y最小值=a2－a－2

若a≥

，当x=

时，y最小值=－

．

（2）若－2

，即－2

，当x=a+2时，y最小值=（a+2）2－（a+2）－2=a2+3a，若a<

≤a+2，即－

≤a<

，当x=

时，y最小值=－

．

若a≥

，当x=a时，y最小值=a2－a－2．

例6　当|x+1|≤6时，函数y=x|x|－2x+1的最大值是．

解：

由|x+1|≤6，得－7≤x≤5，当0≤x≤5时，y=x2－2x+1=（x－1）2，此时y最大值=（5－1）2=16．

当－7≤x<0，y=－x2－2x+1=2－（x+1）2，此时y最大值=2．

因此，当－7≤x≤5时，y的最大值是－16．

说明：

对于含有绝对值的二次函数，通常是先分区间讨论，去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．

例7、已知二次函数y=x^2+（k+2）x+k+5与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的，那么，k的值应为（）

＞4或k＜-5

＜k＜-4

≥-4或k≤-5

≤k≤-4

因为与X轴有2个交点

所以b^2-4ac=（k+2）^2-4（k+5）>0——

（1）

设与x轴交点分别为x1，x2

则x1+x2=-（k+2）>0——

（2）

x1*x2=k+5>0——（3）

解得-5

选B

例8.已知二次函数y=x²+bx+c的图像经过点（-1,0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是__[3/4，+∝）__.

解析：

把点（-1,0），（1，-2）代入二次函数数，可解得

b=-3/2函数的对称轴为x=-（-3/2）/2=3/4

a=1＞0，函数开口向上，单调递增区间是[3/4，+∝）

.例9.

二次函数y=ax^2+bx+c，当x取整数时，y值也是整数，这样的二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在a的绝对值小于的整点二次函数，若存在请写出一个，若不存在请说明理由。

解答：

（方法1）（反证法）假设存在二次项系数a的绝对值小于的整点二次函数，（a≠0）

则当x=0时，y=c，即c为整数，

同理，当x=1时，y=a+b+c=m，x=-1时，y=a-b+c=n，其中m、n都应为整数，

两式相加，2a+2c=m+n，推知2a也应为整数，而|a|<，即|2a|<1，矛盾。

所以不存在a的绝对值小于的整点二次函数。

（方法2）

x＝0时，y＝c是整数

x＝1时，y＝a＋b＋c是整数

x＝－1时，y＝a－b＋c是整数

∴（a＋b＋c）＋（a－b＋c）＝2a＋2c是整数

而2c是整数

例10.

已知y=x²-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax²+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c

解答：

显然A,B坐标为（-4,0）,（4,0）.

y=ax²+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:

（0,-16a）

由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,

求出a=±1/4.

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.

例11.

已知y=x²-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax²+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c

解答：

显然A,B坐标为（-4,0）,（4,0）.

y=ax²+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:

（0,-16a）

由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,

求出a=±1/4.

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.

例12　已知a<0，b≤0，c>0，且

=b－2ac，求b2－4ac的最小值．

解：

令y=ax2+bx+c，由于a<0，b≤0，c>0，则△=b2－4ac>0，

所以，此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）．

因为x1x2=

<0，不妨设x1

≤0，于是

|x1|=

，

故

≥c=

≥－

∴b2－4ac≥4，当a=－1，b=0，c=1时，等号成立．

因此，b2－4ac的最小值为4．