圆过定点问题非常好.docx
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圆过定点问题非常好
圆过定点问题
班级________________________________
1.已知定点G(﹣3,0),S是圆C:
(X﹣3)2+y2=72(C为圆心)上的动点,SG的垂直平分线与SC交于点E.设点E的轨迹为M.
(1)求M的方程;
(2)是否存在斜率为1的直线,使得直线与曲线M相交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点?
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:
(x+1)2+y2=1,圆C2:
(x﹣3)2+(y﹣4)2=1.
(Ⅰ)判断圆C1与圆C2的位置关系;
(Ⅱ)若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长,则动圆C是否经过定点?
若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
3.已知定点A(﹣2,0),B(2,0),及定点F(1,0),定直线l:
x=4,不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线l的距离的倍,设点M的轨迹为E,点C是轨迹E上的任一点,直线AC与BC分别交直线l与点P,Q.
(1)求点M的轨迹E的方程;
(2)试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F,并说明理由.
4.如图,已知椭圆C:
+y2=1的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆上,且异于点A、B,直线AP、BP与直线l:
y=﹣2分别交于点M、N,
(ⅰ)设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2,求证:
k1•k2为定值;
(ⅱ)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过定点?
请证明你的结论.
5.如图所示,已知圆C:
x2+y2=r2(r>0)上点处切线的斜率为,圆C与y轴的交点分别为A,B,与x轴正半轴的交点为D,P为圆C在第一象限内的任意一点,直线BD与AP相交于点M,直线DP与y轴相交于点N.
(1)求圆C的方程;
(2)试问:
直线MN是否经过定点?
若经过定点,求出此定点坐标;若不经过,请说明理由.
6.二次函数f(x)=3x2﹣4x+c(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为⊙C.
(1)求实数c的取值范围;
(2)求⊙C的方程;
(3)问⊙C是否经过某定点(其坐标与c的取值无关)?
请证明你的结论.
7.如图,抛物线M:
y=x2+bx(b≠0)与x轴交于O,A两点,交直线l:
y=x于O,B两点,经过三点O,A,B作圆C.
(I)求证:
当b变化时,圆C的圆心在一条定直线上;
(II)求证:
圆C经过除原点外的一个定点;
(III)是否存在这样的抛物线M,使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径?
8.在平面直角坐标系xoy中,点M到两定点F1(﹣1,0)和F2(1,0)的距离之和为4,设点M的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l:
y=kx+m与曲线C相交于不同两点A、B(A、B不是曲线C和坐标轴的交点),以AB为直径的圆过点D(2,0),试判断直线l是否经过一定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
9.如图.直线l:
y=kx+1与椭圆C1:
交于A,C两点,A.C在x轴两侧,
B,D是圆C2:
x2+y2=16上的两点.且A与B.C与D的横坐标相同,纵坐标同号.
(I)求证:
点B纵坐标是点A纵坐标的2倍,并计算||AB|﹣|CD||的取值范围;
(II)试问直线BD是否经过一个定点?
若是,求出定点的坐标:
若不是,说明理由.
10.已知A(﹣1,0),B(2,0),动点M(x,y)满足=,设动点M的轨迹为C.
(1)求动点M的轨迹方程,并说明轨迹C是什么图形;
(2)求动点M与定点B连线的斜率的最小值;
(3)设直线l:
y=x+m交轨迹C于P,Q两点,是否存在以线段PQ为直径的圆经过A?
若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.
11.已知定直线l:
x=﹣1,定点F(1,0),⊙P经过F且与l相切.
(1)求P点的轨迹C的方程.
(2)是否存在定点M,使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点,并且以AB为直径的圆都经过原点;若有,请求出M点的坐标;若没有,请说明理由.
12.已知动圆P与圆M:
(x+1)2+y2=16相切,且经过M内的定点N(1,0).
(1)试求动圆的圆心P的轨迹C的方程;
(2)设O是轨迹C上的任意一点(轨迹C与x轴的交点除外),试问在x轴上是否存在两定点A,B,使得直线OA与OB的斜率之积为定值(常数)?
若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点A、B的坐标;若不存在,请说明理由.
13.已知在△ABC中,点A、B的坐标分别为(﹣2,0)和(2,0),点C在x轴上方.
(Ⅰ)若点C的坐标为(2,3),求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(Ⅱ)若∠ACB=45°,求△ABC的外接圆的方程;
(Ⅲ)若在给定直线y=x+t上任取一点P,从点P向(Ⅱ)中圆引一条切线,切点为Q.问是否存在一个定点M,恒有PM=PQ?
请说明理由.
2015年03月12日yinyongxia100的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.填空题(共1小题)
1.已知定点G(﹣3,0),S是圆C:
(X﹣3)2+y2=72(C为圆心)上的动点,SG的垂直平分线与SC交于点E.设点E的轨迹为M.
(1)求M的方程;
(2)是否存在斜率为1的直线,使得直线与曲线M相交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点?
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:
(1)由已知条件推导出点E的轨迹是以G,C为焦点,长轴长为6的椭圆,由此能求出动点E的轨迹方程.
(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其方程为y=x+m,由,得3x2+4mx+2m2﹣18=0.由此能求出符合题意的直线l存在,所求的直线l的方程为y=x或y=x﹣2.
解答:
解:
(1)由题知|EG|=|ES|,
∴|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6.
又∵|GC|=6,
∴点E的轨迹是以G,C为焦点,长轴长为6的椭圆,
∴动点E的轨迹方程为=1.…(4分)
(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
其方程为y=x+m,
由消去y,化简得3x2+4mx+2m2﹣18=0.
∵直线l与椭圆C相交于A,B两点,
∴△=16m2﹣12(2m2﹣18)>0,
化简得m2<27,解得﹣3.…(6分)
∴x1+x2=﹣,x1•x2=.
∵以线段AB为直径的圆恰好经过原点,
∴=0,所以x1x2+y1y2=0.…(8分)
又y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,
x1x2+y1y2=2x1x2+m(x1+x2)+m2=﹣+m2=0,
解得m=.…(11分)
由于(﹣3,3),
∴符合题意的直线l存在,
所求的直线l的方程为y=x或y=x﹣2.…(13分)
点评:
本题考查点的方程的求法,考查满足条件的直线是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
二.解答题(共12小题)
2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:
(x+1)2+y2=1,圆C2:
(x﹣3)2+(y﹣4)2=1.
(Ⅰ)判断圆C1与圆C2的位置关系;
(Ⅱ)若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长,则动圆C是否经过定点?
若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
考点:
直线和圆的方程的应用.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
(Ⅰ)求出两圆的圆心距离,即可判断圆C1与圆C2的位置关系;
(Ⅱ)根据圆C同时平方圆周,建立条件方程即可得到结论.
解答:
解:
(Ⅰ)C1:
(x+1)2+y2=1的圆心为(﹣1,0),半径r=1,圆C2:
(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心为(3,4),半径R=1,
则|C1C2|=,
∴圆C1与圆C2的位置关系是相离.
(Ⅱ)设圆心C(x,y),由题意得CC1=CC2,
即,
整理得x+y﹣3=0,
即圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动.
设C(m,3﹣m),
则动圆的半径,
于是动圆C的方程为(x﹣m)2+(y﹣3+m)2=1+(m+1)2+(3﹣m)2,
整理得:
x2+y2﹣6y﹣2﹣2m(x﹣y+1)=0.
由,
解得或,
即所求的定点坐标为(1﹣,2﹣),(1+,2+).
点评:
本题主要考查圆与圆的位置关系的判断,以及与圆有关的综合应用,考查学生的计算能力.
3.已知定点A(﹣2,0),B(2,0),及定点F(1,0),定直线l:
x=4,不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线l的距离的倍,设点M的轨迹为E,点C是轨迹E上的任一点,直线AC与BC分别交直线l与点P,Q.
(1)求点M的轨迹E的方程;
(2)试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F,并说明理由.
考点:
轨迹方程;圆的标准方程.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
(1)由椭圆的第二定义即可知道点M的轨迹E为椭圆;
(2)设出椭圆上的点C的坐标,进而写出直线AC、BC的方程,分别求出点P、Q的坐标,只要判断kPF•kQF=﹣1是否成立即可.
解答:
解:
(1)由椭圆的第二定义可知:
点M的轨迹E是以定点F(1,0)为焦点,离心率e=,直线l:
x=4为准线的椭圆(除去与x轴相交的两点).
∴c=1,,∴a=2,b2=22﹣12=3,
∴点M的轨迹为椭圆E,其方程为(除去(±2,0)).
(2)以线段PQ为直径的圆经过定点F.下面给出证明:
如图所示:
设C(x0,y0),(x0≠±2),则直线AC的方程为:
,
令x=4,则yP=,∴,∴=;
直线BC的方程为:
,令x=4,则yQ=,∴,∴kQF==.
∴kPF•kQF==,
∵点C(x0,y0)在椭圆上,∴,∴=﹣1,
∴kPF•kQF=﹣1.
因此以线段PQ为直径的圆经过定点F.
点评:
熟练掌握椭圆的定义、直线垂直与斜率的关系是解题的关键.
4.如图,已知椭圆C:
+y2=1的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆上,且异于点A、B,直线AP、BP与直线l:
y=﹣2分别交于点M、N,
(ⅰ)设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2,求证:
k1•k2为定值;
(ⅱ)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过定点?
请证明你的结论.
考点:
椭圆的应用.菁优网版权所有
专题:
综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
(ⅰ)由椭圆方程求出两个顶点A,B的坐标,设出P点坐标,写出直线AP、BP的斜率k1,k2,结合P的坐标适合椭圆方程可证结论;
(ⅱ)设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标,由=0列式得到圆的方程,化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标.
解答:
(ⅰ)证明:
由题设椭圆C:
:
+y2=1可知,点A(0,1),B(0,﹣1).
令P(x0,y0),则由题设可知x0≠0.
∴直线AP的斜率k1=,PB的斜率为k2=.
又点P在椭圆上,∴+y02=1(x0≠1)
从而有k1•k2=•=﹣;
(ⅱ)解:
以MN为直径的圆恒过定点(0,﹣2+2)或(0,﹣2﹣2).
事实上,设点Q(x,y)是以MN为直径圆上的任意一点,则=0,
故有+(y+2)(y+2)=0.
又k1•k2=﹣
∴以MN为直径圆的方程为x2+(y+2)2﹣12+=0.
令x=0,则(y+2)2=12,解得y=﹣2±2.
∴以MN为直径的圆恒过定点(0,﹣2+2)或(0,﹣2﹣2).