高考总复习《走向清华北大》精品课件2命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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高考总复习《走向清华北大》精品课件2命题及其关系充分条件与必要条件
第二讲命题及其关系､充分条件与
必要条件
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1.命题
（1）一般地,我们把用语言､符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题,其中判断为真的语句叫真命题,判断为假
的语句叫假命题.
（2）“若p则q”是数学中常见的命题形式,其中p叫做命题的
条件,q叫做命题的结论.
（3）若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为若q则p,它的否
命题为若¬p则¬q,它的逆否命题为若¬q则¬p.
（4）互为逆否的命题是等价的,它们同真同假,在同一个命题的
四种命题中,真命题的个数可能为0､2､4个.
（5）否命题与命题的否定的区别:
首先,只有“若p则q”形式的命题才有否命题,其形式为“若
⌝p则⌝q.”其他形式的命题只有“否定”,而没有否命
题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而“若p则q”形式
的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.
2.充要条件
（1）“若p则q”为真命题是指由p通过推理可以得出q,这时我们就说由p可以推出q,记作p⇒q,并说p是q的充分
条件,q是p的必要条件.
（2）若既有p⇒q又由q⇒p,则p是q的充分必要条件,
记作p⇔q.
（3）从集合的角度认识充分条件､必要条件.
设A､B为两个集合,A={x|p（x）},B={x|q（x）}
则①若AÜB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
②若BÜA,则p是q的必要条件;
③若A=B,则p是q的充要条件.
（4“）q⇒p”⇔“⌝p⇒⌝q”“;p⇒q”⇔“⌝q⇒⌝p”.
3.反证法证明命题的一般步骤
（1）否定结论,
（2）从假设出发,经过推理论证得出矛盾,（3）断定
假设错误,肯定结论成立.
反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或
结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中
含有“至多”､“至少”､“惟一”､“不可能”､“不都”
等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.
考点陪练
1.若p是q的充分条件,r是q的必要条件,则（）
A.⌝p⇒rB.⌝r⇒⌝p
C.⌝p⇒⌝rD.p⇔r
解析:
p是q的充分条件,∴p⇒q,
∴⌝q⇒⌝p.r是q的必要条件,
∴q⇒r,∴⌝r⇒⌝q,又⌝q⇒⌝p,∴⌝r⇒⌝p,
∴选B.
答案:
B
2.“m>2”是“方程x2-mx+m+3=0的两根都大于1”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.不充分不必要条件
解析:
设方程有两根x1,x2,则∆≥0且x1
+x2=m,x1x2=m+3.
（1）
⎧x1>1,
⎧x1+x2>2,
⎧m>2,
⇒m>2;
⎨
⇒⎨
⇒⎨
⎩x2>1,
⎩x1x2>1,
⎩m+3>1,
又∆≥0,即:
m2-4m-12≥0;解之得m≥6或m≤-2;
综上可知m≥6.
（2）m>2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m>2不能推出x1>1且x2>1.
由
（1）
（2）知m>2是方程的两根都大于1的必要不充分条件.
答案:
B
3.（2010·陕西）对于数列{an},“an+1>|an|（n=1,2,„）”是“{an}为递增数列”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
因为an+1>|an|Þan+1>anÞ{an}为递增数列,但{an}为递增数列Þan+1>an推不出an+1>|an|,故“an+1>|an|（n=1,2,„）”
是“{an}为递增数列”的充分不必要条件,选B.
答案:
B
4.（2010·山东）设{an}是等比数列,则“a1{an}是递增数列”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
由题可知,若a1⎨
⎩a1q当a1>0时,解得q>1,此时数列{an}是递增数列,当a1<0时,解得0答案:
C
5.（2010·深圳模拟题）若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r,
则q是r的（）
A.逆命题B.否命题
C.逆否命题D.以上结论都不对
解析:
设p为A⇒B,则q为B⇒A,r为¬A⇒¬B.∴q是r的逆否命题.
答案:
C
类型一判断命题及其真假
解题准备:
1.判断一个语句是否是命题的依据是命题的概念.
2.判断命题的真假,首先分清命题的条件和结论,直接判断.如
果不易直接判断,可根据互为逆否命题的等价关系来判断.
【典例1】（反例法）有下列四个命题:
（1）“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
（2）“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
（3）“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题;
（4）“若ab是无理数,则a､b是无理数”的逆命题.
其中真命题的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
[解]
（1）逆命题为“若x､y互为相反数,则x+y=0”是真命题.
（2）∵原命题为假,∴其逆否命题为假.
（3）否命题为“若x>-3,则x2+x-6≤0”,假如x=4>-3,但x2+x-6=14>0,故为假.
（4）逆命题“若a､b是无理数,则ab也是无理数”,假如a=（
2）
2,b=
2,则ab=2是有理数.故为假.
[答案]B
[反思感悟]判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需
证明.
类型二四种命题及其关系
解题准备:
互为逆否关系的命题是等价命题:
原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:
①当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;②原
命题､逆命题､否命题､逆否命题这四个命题中真命题的个
数可能是0个､2个､4个.
【典例2】分别写出下列命题的逆命题､否命题､逆否命题､
命题的否定,并判断它们的真假:
（1）若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根;
（2）若xy=0,则x=0或y=0;
（3）若x2+y2=0,则x、y全为0.
[解]
（1）原命题是真命题;
逆命题:
若方程x2+2x+q=0有实根,则q≤1,为真命题;
否命题:
若q>1,则方程x2+2x+q=0无实根,为真命题;
逆否命题:
若方程x2+2x+q=0无实根,则q>1,为真命题;
命题的否定:
若q≤1,则方程x2+2x+q=0无实根,为假命题.
（2）原命题为真命题;
逆命题:
若x=0或y=0,则xy=0,是真命题;
否命题:
若xy≠0,则x≠0且y≠0,是真命题;
逆否命题:
若x≠0且y≠0,则xy≠0,是真命题;
命题的否定:
若xy=0,则x≠0且y≠0,是假命题.
（3）原命题为真命题.
逆命题:
若x、y全为0,则x2+y2=0,为真命题;
否命题:
若x2+y2≠0,则x、y不全为0,为真命题;
逆否命题:
若x、y不全为0,则x2+y2≠0,为真命题;
命题的否定:
若x2+y2=0,则x、y不全为0,是假命题.
[反思感悟]
（1）注意:
①“都是”的否定是“不都是”,而不是“都
不是”,因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”
､“x不是奇数y是奇数”､“x、y都不是奇数”三种情况;②
“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”,而不是“x≠0或y≠0”,
因为“x=0或y=0”包含“x=0且y≠0”、“x≠0且y=0”､“x=0且y=0”三种情况.
（2）要注意区别“否命题”与“命题的否定”:
否命题要对命题的
条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定.
类型三充分必要条件的判定与证明
解题准备:
判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利用定义:
如果p⇒q,则p叫做q的充分条件,原命题（或逆否命
题）成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件;
如果q⇒p,则p叫做q的必要条件,逆命题（或否命题）成立,命
题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件;如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作pÛq,则p叫做q的充分必要条件,简称
充要条件,原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立,
命题中的条件是充要的.
【典例3】求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负实数根的
充要条件是a≤0或a=1.
[思路点拨]首先应从充分性和必要性两个方面进行证明,其
次要注意对参数a的分类讨论.
[证明]充分性:
当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.
当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1.
方程只有一负根.
当a<0时,Δ=4（1-a）>0,方程有两个不相等的根,且1a<0
方程有一正一负根.
必要性:
若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根.
当a=0时,适合条件.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,
则Δ=4-4a≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一负根x=-1.⎧a<1
若方程有且仅有一负根,
⎪
∴a<0.
则⎨1
⎪
<0
⎩a
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或
a=1.
[反思感悟]
（1）这类证明问题需要证明充分性和必要性两个
方面,因此应分清条件和结论,由条件证明结论成立是充分
性,由结论证明条件成立是必要性,不能将二者混淆;
（2）涉及
一元二次方程根的问题,主要利用根的判别式进行求解,同
时不能忘记对x2项系数的分类讨论.
[探究]是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充
分条件?
如果存在,求出p的取值范围.
[分析]“4x+p<0”是条件,“x2-x-2>0”是结论,先解出这两
个不等式,再探求符合条件的p的范围.
[解]x2-x-2>0的解是x>2或x<-1,由4x+p<0得x<-4p.要想使x<-4p时x>2或x<-1成立,必须有
-4p≤-1,即p≥4,所以当p≥4时,-4p≤-1⇒x<-1⇒
x2-x-2>0,所以p≥4时“,4x+p<0”是“x2-x-2>0”
的充分条件.
[反思感悟]本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意
结合数轴确定p的范围.
错源一判断充分必要条件时不注意设问方式
【典例1】使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件
是（）
A.x≥0B.x<0或x>2
C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥3
[错解]由2x2-5x-3≥0得x≥3或x≤-,当x≥3或x≤-时能推出B
选项,
但当B选项成立时,不一定能推出x≥3或x≤-,所以选B.
[剖析]本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式,混淆了条
件和结论而导致的.正确的理解是所选选项是2x2-5x-3≥0
成立的充分不必要条件.
[正解]依题意所选选项能使不等式2x2-5x-3≥0成立,但当不
等式2x2-5x-3≥0成立时,却不一定能推出所选选项.由于不等式2x2-5x-3≥0的解为:
x≥3或x≤-,所以应选C.
[答案]C
错源二四种命题的结构不明致误
【典例2】写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆
命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
[剖析]解本题易出现的错误有两个:
一是对一个命题的逆命
题､否命题､逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一
个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b
不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.
[正解]逆命题:
“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命
题;
否命题:
“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题;
逆否命题:
“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.
[评析]四种命题的结构与等价关系
如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则
A”,否命题是“若¬A,则¬B”,逆否命题是“若¬B,则¬A”.
这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等
价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题
的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它
们之间的等价关系.
技法一等价命题转化法
【典例1】若p:
x+y≠3,q:
x≠1或y≠2.则p是q的什么条件?
[解]直接判断原命题“若p,则q”的真假比较难,但它的逆否
命题即“若x=1且y=2,则x+y=3”显然为真,故原命题也为真,即p⇒q.
逆命题的真假较难判断,但它的等价命题否命题“若x+y=3,则x=1且y=2”显然为假,故逆命题也为假,即q⇒p.所以p是
q的充分不必要条件.
[方法与技巧]当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四
种命题的关系,对命题进行等价转换.常利用“原命题⇔逆
否命题”,“否命题⇔逆命题”.一些否定形式的命题常用
这种方法判定.
技法二快速解题（列表法）
【典例2】有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛,组委会只
设一名特别奖.赛前观众A猜:
不是1号就是2号能获特别
奖;B猜:
3号不可能获特别获:
C猜:
4､5､6号都不可能获特别
奖;D猜;能获特别奖的是4､5､6号中的一个,赛后结果表明,
四人中只有一人猜对了.问:
谁猜对了?
几号歌手获特别奖?
[快解]将所猜能获奖的记为√,不能获奖记为×,由题意得下
表:
歌手1
2
3
4
5
6
观众
A
√
√
×
×
×
×
B
√
√
×
√
√
√
C
√
√
√
×
×
×
D
×
×
×
√
√
√
从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对,是C猜对的,3
号歌手得了特别奖.
[解题切入点]可由C､D所猜入手.这两人所猜是对立的,但D
与B不能都对,因此,可以C猜对为前提进行推证.
[分析思维过程]可以明显看出C､D所猜是对立的.若C猜对了,
则B､D都没猜对.再看A,A猜1号或2号,因为只有一个猜对,
就不可能是1号或2号,只能是3号.如果是3号获特别奖,那么
A､B､D都没有猜对,只有C猜对了.
[解]将A､B､C､D四人猜的结果分别记为命题PA､PB､PC､PD,则PC与PD必一真一假.若PD为真,则PB也真,不合题意,则PC应为真.由题意,则PA必为假.当PA假时,只有3号能获特别奖.此时再看PA､PB､PC､PD四命题,只有PC是真的,符合题意.故C猜对了,3号获得特别奖.
[得分主要步骤]本题主要是入手抓住C､D所猜结果对立,必
有一人猜对.假设其中一人是对的,若推下去不合题意,则另
一人必对,于是思路清晰,结果渐趋明朗.
[易丢分原因]如果切入点抓不准,则解答起来很乱,无头绪,当
然花费时间也较多,也难以得分.比较以上两种解法,前者显
然比后者优越得多.
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