第四章立体.docx

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第四章立体

第四章立体

基本立体：

平面（立体的各表面都是平面，如：

棱柱、棱锥）

曲面立体（表面为曲面或既有曲面又有平面，如：

圆柱、圆锥、球、环）

第一节立体的投影

一、平面立体

1、平面立体的投影

画图步骤：

分析棱柱各表面及各棱线的投影对应关系。

坐标轴的作用-去掉坐标轴

投影关系：

正面投影、水平投影：

长对正

正面投影、侧面投影：

高平齐

水平投影、侧面投影：

宽相等

求五点投影

2、平面立体表面上取点、取线

例：

已知正六棱柱表面A点的正面投影a’，B点的水平投影b，C点的侧面投影c"，求各点的投影。

例：

三棱锥表面上取点

例：

三棱锥表面上取线

二、曲面立体

常见曲面立体的表面多为回转面故称回转体

（一）圆柱体的投影

1、圆柱的形成

2、圆柱的投影

3、圆柱表面上取点

（二）圆锥的投影

1、圆锥面的形成

2、圆锥的投影

3、圆锥表面取点（特殊位置）

4、圆锥表面有三种线：

直线（过锥顶）、圆（垂直于轴线）、其它曲线。

（三）圆球的投影

1、球的形成

2、球的投影

3、圆球表面取点：

纬圆法

（四）圆环

1、圆环面的形成

2、圆环的投影

3、圆环表面取点

第二节截交线

一、平面立体的截交线

1、知识点

（1）截交线的基本概念

（2）平面立体截交线的性质

（3）截交线的作图

2、教学设计

平面立体的截交线的作图要充分利用求直线与平面的交点的方法，把第二章所学知识进一步巩固，利用教具、课件等介绍基本概念和作图方法。

3、课前准备

准备模型、教具，熟悉教学内容和要使用的教学课件。

4、教学内容

当平面截割立体时，与立体表面所形成的交线称为截交线；截割立体的平面称为截平面；因截平面的截切在立体表面上围成的平面图形称为截断面。

截交线的性质

立体被平面截切时，立体表面形状的不同和截平面相对于立体的位置不同，所形成截交线的形状也不同，但任何截交线均具有以下两个性质：

（1）截交线是封闭的平面多边形。

（2）截交线是截平面与立体表面的共有线。

上图中截平面P截割三棱锥，截交线为三角形ⅠⅡⅢ，该三角形的各边是三棱锥各棱面与截平面P的交线，三角形的顶点是被截棱线与截平面的交点。

画截交线的一般方法

1、空间分析

分析截平面与立体的相对位置，确定截交线的形状。

分析截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。

2、画投影图

求出平面立体上被截断的各棱线与截平面的交点，然后顺次连接各点成封闭的平面图形。

例：

求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。

解：

分析——截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚为直线。

截平面与四条棱线相交，从正面可直接找出交点，其余投影必在各棱线的同面投影上。

作图——根据点的投影规律，在相应的棱线上求出截平面与棱线的交点，判断可见性后依次连接各点的同面投影，即得截交线。

例：

求作四棱锥被两平面截切后的水平投影和侧面投影。

例：

正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。

解：

分析——由图可知，六棱柱被正垂面截切，截交线的正面投影积聚为一直线。

水平投影，除顶面上的截交线外，其余各段截交线都积聚在六边形上。

作图——由截交线的正面投影可在水平面和侧面相应的棱线上求得各截平面与棱线的交点，依水平投影的顺序连接侧面投影各交点，可得截交线的投影。

画左视图时，即要画出截交线的投影，又要画出六棱柱轮廓线的投影。

判别可见性：

俯视图、左视图上截交线的投影均为可见，在左视图中后棱线的投影不可见，应画成虚线。

例：

四个平面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。

二、曲面立体的截交线

1、知识点

（1）曲面立体（回转体）截交线的性质

（2）圆柱体截交线的画法

（3）圆锥体截交线的画法

（4）圆球体截交线的画法

2、教学设计

将圆柱体截交线3种情况分为二种类型、圆锥截交线的5种情况分为3种类型：

截交线为直线、圆弧和非圆曲线。

对非圆曲线要总结出统一的作图规律。

球体截交线只研究投影面平行面切球体产生的交线情况。

3、课前准备

准备教具、熟悉教学内容和要使用的教学课件。

4、教学内容

截交线的性质

平面与回转体相交，截交线的形状取决于回转体的几何性质及其与截平面的相对位置，截交线有如下性质：

（1）截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点都是它们的共有点。

（2）截交线是封闭的平面图形。

（3）截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转体轴线的相对位置。

求截交线的方法和步骤：

（1）分析回转体的表面性质、截平面与投影面的相对位置、截平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。

（2）求出截交线上的点，首先找特殊点，为了作图准确还要补充中间点。

（3）补全轮廓线，光滑地连接各点，求得截交线的投影。

（一）平面与圆柱体相交

平面与圆柱体相交，截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。

平面截切圆柱体截交线的形式有三种。

例：

已知斜切圆柱体的主视图和俯视图，求左视图。

解：

分析——圆柱的轴线是铅垂线，截平面为正垂面且与圆柱轴线倾斜，斜切圆柱体的截交线为椭圆。

截交线的正面投影积聚为直线，水平投影积聚在圆周上，侧面投影为椭圆。

作图步骤：

（1）求特殊点截交线最左素线上的点Ⅰ和最右素线上的点Ⅱ分别是截交线的最低点和最高点。

截交线最前点Ⅲ和最后点Ⅳ分别是最前素线和最后素线与截平面的交点。

作出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的正面投影1'、2'、3'、4'和水平投影1、2、3、4，根据从属关系求出1"、2"、3"、4"。

（2）求一般点从正面投影上选取a'、b'、c'、d'四点，然后作OX轴的垂线求得a、b、c、d，根据点的投影规律求出侧面投影a"、b"、c"、d"。

（3）按截交线的顺序，光滑地连接各点的侧面投影。

已知条件求特殊点求一般点

例：

求开槽圆柱的左视图。

解：

分析——圆柱体上部的槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。

另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。

三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。

作图——在水平投影上和正面投影上找出特殊点1、2、3、4、5、6和1'、2'、3'、4'、5'、6'根据点的投影规律作出1"、2"、3"、4"、5"、6"，按顺序依次连接各点。

判别可见性：

截平面交线的侧面投影为不可见，应画成虚线。

已知条件作图过程

例：

已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。

解：

分析——圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成。

侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。

正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。

水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均为直线。

作图步骤:

（1）求特殊点侧平面与圆柱截交线圆弧的最高点Ⅰ和前后两端点Ⅱ、Ⅲ的侧面投影1"、2"、3"和正面投影1'、2'、3'可直接求出，并根据两面投影求出水平投影1、2、3。

Ⅱ、Ⅲ点也是部分椭圆的两个端点，另外两个端点Ⅳ、Ⅴ正面投影4'、5'和侧面投影4"、5"可直接求出，并根据两面投影求出4、5。

水平面与圆柱的截交线是矩形，点Ⅳ、Ⅴ是矩形截交线的两个端点，另两个端点Ⅵ、Ⅶ的正面和侧面投影可直接求出，，并根据两面投影求出水平投影。

点Ⅷ、Ⅸ是部分椭圆短轴的端点，也是截交线的最前点和最后点。

其正面投影8'、9'和侧面投影8"、9"可直接求出，根据两面投影求出水平投影8、9。

（2）求一般点圆弧和矩形的截交线不需要一般点。

在截交线的椭圆部分选A、B、C、D四点，可直接求出其投影a'、b'、c'、d'和a"、b"、c"、d"，并根据两面投影求出a、b、c、d。

（3）光滑连接各点的水平面投影，并补全轮廓线。

（二）圆锥的截交线

由于截平面与圆锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线有五种不同的情况。

因为圆锥面的各个投影均无积聚性，所以求圆锥的截交线时，可采用辅助平面法。

作一辅助平面，利用三面（截平面、圆锥面、辅助平面）共点原理，求截交线上的点，下面举例介绍截切圆锥的作图步骤。

例：

已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。

解：

分析——圆锥体的轴线为铅垂线，因截平面与圆锥轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，所以截交线为椭圆。

由于截平面是正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影和侧面投影均为椭圆。

选用辅助水平面作出截交线的水平和侧面投影。

作图步骤：

（1）求特殊点截交线的最低点A和最高点B，是椭圆长轴的端点，它们的正面投影a'、b'直接求出，水平投影a、b和侧面投影a"、b"按点从属于线的关系求出。

截交线的最前点K和最后点L，是椭圆短轴的端点，它们的正面投影为a'b'的中点，作辅助水平面求出k、l和k"、l"。

圆锥体前后素线与正面投影的交点c'、d'可直接求出，水平投影c、d和侧面投影c"、d"可按点从属于线的原理求出。

（2）求一般点选择适当的位置作辅助水平面，与截交线正面投影的交点为1'、2'，其水平投影和侧面投影即可求出。

（3）光滑连接各点同面投影，求出截断体的水平投影和侧面投影，并补全轮廓线。

已知求特殊点

求一般点光滑连线

例：

已知截切圆锥体的主视图，求其余两视图。

解：

分析——截平面为不过锥顶而平行于圆锥轴线的侧平面，截交线为双曲线，其正面和水平投影积聚为直线，侧面投影为双曲线。

作图步骤：

（1）求特殊点圆锥面主视方向轮廓线上的点A及双曲线与直线的交点B、E为特殊位置的点，由它们的正面投影a'、b'、e'可直接求出水平投影a、b、e和侧面投影a"、b"、e"。

（2）求一般点在主视图中取适当数量的中间点（如C、D点），过c'、d'作辅助水平面，可求得c、d和c"、d"。

（3）光滑连接各点的同面投影，求出截交线的水平和侧面投影。

已知找特殊点

求一般点光滑连线

例：

已知截切圆锥体的左视图，求主视图和俯视图。

（三）球的截交线

平面与圆球相交，不论截平面处于什么位置，其截交线都是圆。

当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆，在另两个投影面上的投影积聚为直线。

当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚为直线，另外两个投影为椭圆。

例：

已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影。

解：

分析——截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。

作图步骤：

（1）求特殊点截交线的最低点A和最高点B是最左点和最右点，也是截交线水平投影椭圆短轴的端点，水平投影a、b在其正面投影轮廓线的水平投影上。

a'b'的中点c'd'是截交线的水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影c、d投影在辅助水平圆上。

e'f'是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投影轮廓线上。

（2）求一般点选择适当位置作辅助水平面，与a'b'的交点g'、h'为截交线上两个点的正面投影，其水平投影g、h投影在辅助圆上。

（3）光滑连接各点的同面投影,得截交线的水平投影，补全外形轮廓线。

例：

已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。

解：

分析——半球的通槽由三个平面构成，一个水平面和两个侧平面截切圆球，两个侧平面左右对称，与球面的截交线为一段圆弧，侧面投影反映实形，与水平截平面的交线为正垂线。

水平截平面与球面的截交线是两段圆弧，水平投影反映实形。

作图的关键是确定截交线圆弧的半径，可根据截平面位置确定。

作图步骤：

（1）通槽的水平投影作图：

过槽底部作辅助水平面，水平投影为圆，并在圆周上截取与正面投影相对应的前后两段圆弧。

（2）通槽侧面投影的作图：

两侧平面距球心等远，两圆弧的半径相等，两段圆弧的侧面投影重合。

（3）左视图上c"b"线不可见，球的轮廓大圆只画到d"e"处。

（四）组合截交线

例：

已知锥-柱-球被截切，求左视图和俯视图。

第三节相贯线

1、知识点

（1）相贯线的基本概念

（2）相贯线线的性质

（3）利用积聚性求相贯线

（4）利用辅助平面求相贯线

（5）相贯线的特殊情况

2、教学设计

教学中要强调相贯线的三个投影，结合具体示例讲解相贯线的画图规律，特别是等直径圆柱相贯的情况。

教学中让学生先看教具、模型，然后利用课件中的动画讲解，也可以在黑板上一步一步画出，让同学看到具体的画图过程，还可以将动画和黑板画图结合起来介绍基本概念和作图方法。

3、课前准备

准备模型、教具，熟悉教学内容和要使用的教学课件。

4、教学内容

圆柱与圆锥台都是回转体，它们相交后可看作一个形体，称为相贯体。

两回转体相交称为相贯。

其表面产生的交线称为相贯线。

由于两相交回转体的形状、大小和相对位置的不同，所以相贯线的形状也不同，根据相互位置的不同可分为正交、偏交和斜交。

两回转体正交的性质和作图是本讲的重点。

相贯线性质

①表面性：

相贯线位于两立体的表面上。

②封闭性：

相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下可以是平面曲线或直线段。

③共有性：

相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点一定是两相交立体表面的共有点。

一、利用积聚性求相贯线

由圆柱投影可知，柱面有积聚性，柱面上任何形状的线的投影都会落在积聚性的圆周上，相贯线也是如此，故称利用积聚性求相贯线

画两回转体的相贯线，就是要求出相交表面的若干个共有点。

求相贯线的作图步骤是：

（1）分析两回转体表面性质，即两回转体的相对位置和相交情况。

（2）求相贯线的特殊点，特殊点有最高点、最低点、最左点、最右点、最前点、最后点，可见与不可见的分界点及转向轮廓线上的点。

（3）求一般点。

（4）顺次光滑连接各点，并判断相贯线的可见性。

例：

已知正交两圆柱的俯视图和左视图，求作主视图。

解：

分析——两圆柱体轴线垂直相交，其轴线分别为铅垂线和侧垂线，因此小圆柱的水平投影和大圆柱的侧面投影都具有积聚性。

相贯线的水平投影积聚在圆周上，侧面投影积聚于圆周的一部分。

作图步骤：

（1）求特殊点a'、b'是两圆柱表面共有点的正面投影，也是相贯线的最高点、最左点和最右点。

从侧面投影轮廓线的交点求得相贯线最前点、最后点的侧面投影c"、d"，由从属关系求出其余两面投影。

（2）求一般点利用积聚性，由投影1"、2"和水平面投影1、2分别利用投影关系，可求对应的正面投影。

（3）判别相贯线的可见性前半相贯线的正面投影可见，因前后对称，后半相贯线与前半相贯线重影。

（4）按水平投影各点顺序，依次连点成光滑曲线，得相贯线的正面投影。

圆柱体上挖去一个圆柱孔，两圆柱的轴线相互垂直，其作图过程与上例相同，注意圆柱孔在主视中的轮廓线为不可见，要画成虚线。

例:

分析相贯线,补画正面投影

例:

分析相贯线,补全各投影例:

分析相贯线,补全各投影

例:

分析相贯线,补全各投影例:

非正交圆柱的相贯线

二、辅助平面法求相贯线（通用方法）

原理：

三面共点原理，选适当平面→截切两相贯体→→截交线→交点→相贯线上的点

选择辅助平面的原则是：

与两回转体表面的截交线的投影为最简单形状（直线或圆）。

一般选投影面平行面。

例1：

圆锥与球相贯，求其相贯线

例:

求相贯线

解：

分析——圆柱与圆锥的轴线相互垂直，圆柱的轴线是侧垂线，圆锥的轴线是铅垂线。

相贯线的侧面投影积聚在圆柱侧面投影的圆周上。

用辅助平面法作图。

作图步骤：

（1）求特殊点由于圆柱和圆锥的正面投影转向轮廓线是在同一平面上，因此点A、B是相贯线的最高点和最低点，其水平投影a、b和侧面投影a"、b"可由点线从属关系求出。

过圆柱的最前、最后转向轮廓线作辅助水平面，可求得相贯线最前点、最后点的投影。

辅助水平面与圆柱的交线的水平投影是转向轮廓线，与圆锥的交线是圆，它们在水平投影的交点c、d就是最前点和最后点的水平投影，也是相贯线可见与不可见的分界点。

将C、D投影到正面辅助线上可得c'、d'。

（2）求一般点作辅助水平面与圆柱的交线为矩形，与圆锥交线的水平投影为圆，矩形与圆的交点即为所求，根据从属关系可求出正面投影。

（3）判别可见性在主视图上，前半相贯线的投影可见，后半相贯线的投影与前半相贯线重合。

在俯视图上，c、d为可见与不可见的分界线。

（4）依次连点成相贯线。

四、相贯线的特殊情况

在一般情况下，两回转体的相贯线是封闭的空间曲线，但在特殊情况下相贯线可能是平面曲线或直线。

1、同轴回转体

当两个回转体同轴相交时，它们的相贯线都是平面曲线——圆。

当回转体轴线平行于投影面时，相贯线在该投影面上的投影是垂直于轴线的直线。

（a）图圆柱与圆锥同轴，因为两回转体的轴线都平行于正面，其相贯线的水平投影为圆，正面投影积聚为直线。

（b）图圆柱与圆球同轴相贯，因两回转体的轴线平行于正面，其侧面投影为圆，正面投影积聚为直线。

2、两圆柱体直径相等且轴线相交

当两回转体直径相等且轴线垂直相交时，相贯线为两个相同的椭圆，椭圆平面垂直于两轴线所决定的平面。

因为两圆柱的轴线都平行于正面，所以相贯线的正面投影积聚为直线，其水平投影为圆。

等径两圆柱

柱锥同时外切于一球

例：

已知两轴相交的圆柱孔水平投影和侧面投影，作出其相贯线的正面投影。

解：

分析——两圆柱孔是等直径孔，它们的相贯线为椭圆，两回转体的轴线都平行于正面，相贯线的正面投影为直线。

圆柱轴线垂直的圆柱孔与外圆柱的相贯线为空间曲线。

作图：

两圆柱正交时相贯线的弯曲趋势

相贯线的投影表现为一段弯曲的线，向着大圆柱的轴线鼓出来

直径相差越小，弯曲程度越大，相等时，为折线形式

小结

基本内容

解题过程

⒈相贯线分析

⑴空间分析：

分析相交两立体的表面形状，形体大小及相对位置，预见相贯线的形状。

⑵投影分析：

是否有积聚性投影？

找出相贯线的已知投影，判别所求投影，从而选择解题方法。