复变函数14套题目和答案.docx
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复变函数14套题目和答案
复变函数14套题目和答案
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题
(一)
一、判断题(20分):
1.若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若收敛,则与都收敛.()4.若f(z)在区域D内解析,且,则(常数).()5.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.()7.若存在且有限,则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数,则.()9.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D内恒等于常数.()
二.填空题(20分)
1.__________.(为自然数)
2._________.3.函数的周期为___________.4.设,则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若,则______________.8.________,其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.若是的极点,则.三.计算题(40分):
1.设,求在内的罗朗展式.2.3.设,其中,试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明:
如果在内为常数,那么它在内为常数.2.试证:
在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题
(二)
1、判断题.(20分)
1.若函数在D内连续,则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cosz与sinz在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点,则一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.()7.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.()8.若数列收敛,则与都收敛.()9.若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使且.()二.填空题.(20分)1.设,则2.设,则________.3._________.(为自然数)
4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m0,则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设,则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分:
,积分路径为
(1)单位圆()的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析,试证:
f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)
一.判断题.(20分).1.cosz与sinz的周期均为.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析,则f(z)在z0连续.()4.若数列收敛,则与都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数,则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在上解析,且,则.()
8.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.()10.若是的可去奇点,则.()二.填空题.(20分)1.设,则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若,则__________.4.___________.5._________.(为自然数)
6.幂级数的收敛半径为__________.7.设,则f(z)的孤立奇点有__________.8.设,则.9.若是的极点,则.10..三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分:
,其中是.4.求在|z|1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明:
如果在内为常数,那么它在内为常数.2.设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及M,使得当时,证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四)
一.判断题.(20分)1.若f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.()
2.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.()
3.函数与在整个复平面内有界.()
4.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有.()
5.若存在且有限,则z0是函数的可去奇点.()
6.若函数f(z)在区域D内解析且,则f(z)在D内恒为常数.()
7.如果z0是f(z)的本性奇点,则一定不存在.()
8.若,则为的n阶零点.()
9.若与在内解析,且在内一小弧段上相等,则.()
10.若在内解析,则.()
二.填空题.(20分)1.设,则.2.若,则______________.3.函数ez的周期为__________.4.函数的幂级数展开式为__________5.若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________.6.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________.7.设,则.8.的孤立奇点为________.9.若是的极点,则.10._____________.三.计算题.(40分)1.解方程.2.设,求3..4.函数有哪些奇点?
各属何类型(若是极点,指明它的阶数).四.证明题.(20分)一.证明:
若函数在上半平面解析,则函数在下半平面解析.2.证明方程在内仅有3个根.《复变函数》考试试题(五)
二.判断题.(20分)
1.若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数.()
2.若函数f(z)在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内恒等于常数.()
3.若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析.()
4.若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析.()
5.若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f(z)在z0解析.()
6.若存在且有限,则z0是f(z)的可去奇点.()
7.若函数f(z)在z0可导,则它在该点解析.()
8.设函数在复平面上解析,若它有界,则必为常数.()
9.若是的一级极点,则.()
10.若与在内解析,且在内一小弧段上相等,则.()
二.填空题.(20分)
1.设,则.2.当时,为实数.3.设,则.4.的周期为___.5.设,则.6..7.若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。
8.函数的幂级数展开式为_________.9.的孤立奇点为________.10.设C是以为a心,r为半径的圆周,则.(为自然数)
三.计算题.(40分)1.求复数的实部与虚部.2.计算积分:
,在这里L表示连接原点到的直线段.3.求积分:
,其中0a1.4.应用儒歇定理求方程,在|z|1内根的个数,在这里在上解析,并且.四.证明题.(20分)1.证明函数除去在外,处处不可微.2.设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个数R及M,使得当时,证明:
是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题(六)
二、判断题(30分):
1.若函数在解析,则在连续.()
2.若函数在处满足Caychy-Riemann条件,则在解析.()
3.若函数在解析,则在处满足Caychy-Riemann条件.()
4.若函数在是区域内的单叶函数,则.()
5.若在单连通区域内解析,则对内任一简单闭曲线都有.()
6.若在区域内解析,则对内任一简单闭曲线都有.()
7.若,则函数在是内的单叶函数.()
8.若是的阶零点,则是的阶极点.()
9.如果函数在上解析,且,则.()
10..()
三、填空题(20分)
1.若,则___________.2.设,则的定义域为____________________________.3.函数的周期为_______________________.4._______________________.5.幂级数的收敛半径为________________.6.若是的阶零点且,则是的____________零点.7.若函数在整个复平面处处解析,则称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________.9.方程在单位圆内的零点个数为___________.10.公式称为_____________________.四、计算题(30分)
1、.2、设,其中,试求.3、设,求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.五、证明题(20分)
2、方程在单位圆内的根的个数为6.3、若函数在区域内解析,等于常数,则在恒等于常数.4、若是的阶零点,则是的阶极点.《复变函数》考试试题(七)
一、判断题(24分)
2.若函数在解析,则在的某个领域内可导.()
3.若函数在处解析,则在满足Cauchy-Riemann条件.()
4.如果是的可去奇点,则一定存在且等于零.()
5.若函数是区域内的单叶函数,则.()
6.若函数是区域内的解析函数,则它在内有任意阶导数.()
7.若函数在区域内的解析,且在内某个圆内恒为常数,则在区域内恒等于常数.()
8.若是的阶零点,则是的阶极点.()
二、填空题(20分)
1.若,则___________.2.设,则的定义域为____________________________.3.函数的周期为______________.4._______________.5.幂级数的收敛半径为________________.6.若是的阶零点且,则是的____________零点.7.若函数在整个复平面处处解析,则称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________.9.方程在单位圆内的零点个数为___________.10._________________.三、计算题(30分)
1、求.2、设,其中,试求.3、设,求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分:
,.四、证明题(20分)
1、方程在单位圆内的根的个数为7.2、若函数在区域内解析,等于常数,则在恒等于常数.3、若是的阶零点,则是的阶极点.五、计算题(10分)
求一个单叶函数,去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的单位圆盘《复变函数》考试试题(八)
一、判断题(20分)
1、若函数在解析,则在连续.()
2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件,则在处解析.()
3、如果是的本性奇点,则一定不存在.()
4、若函数是区域内解析,并且,则是区域的单叶函数.()
5、若函数是区域内的解析函数,则它在内有任意阶导数.()
6、若函数是单连通区域内的每一点均可导,则它在内有任意阶导数.()
7、若函数在区域内解析且,则在内恒为常数.()
9.存在一个在零点解析的函数使且.()
10.如果函数在上解析,且,则.()
11.是一个有界函数.()
二、填空题(20分)
1、若,则___________.2、设,则的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、若,则_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、函数的幂级数展开式为______________________________.7、若是单位圆周,是自然数,则______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.10、若,则的孤立奇点有_________________.三、计算题(30分)
1、求2、设,其中,试求.3、设,求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.四、证明题(20分)
1、方程在单位圆内的根的个数为7.2、若函数在区域内连续,则二元函数与都在内连续.4、若是的阶零点,则是的阶极点.六、计算题(10分)
求一个单叶函数,去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题(九)
一、判断题(20分)
1、若函数在可导,则在解析.()
2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件,则在处解析.()
3、如果是的极点,则一定存在且等于无穷大.()
4、若函数在单连通区域内解析,则对内任一简单闭曲线都有.()
5、若函数在处解析,则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.()
6、若函数在区域内的解析,且在内某一条曲线上恒为常数,则在区域内恒为常数.()
7、若是的阶零点,则是的阶极点.()
8、如果函数在上解析,且,则.()
9、.()
10、如果函数在内解析,则()
二、填空题(20分)
1、若,则___________.2、设,则的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、若是的阶零点且,则是的____________零点.7、若函数在整个复平面除去有限个极点外,处处解析,则称它是______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.10、_________________.三、计算题(30分)
1、2、设,其中,试求.3、设,求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分.四、证明题(20分)
1、方程在单位圆内的根的个数为6.2、若函数在区域内解析,等于常数,则在恒等于常数.7、若是的阶零点,则是的阶极点.五、计算题(10分)
求一个单叶函数,去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题(十)
一、判断题(40分):
1、若函数在解析,则在的某个邻域内可导.()
2、如果是的本性奇点,则一定不存在.()
3、若函数在内连续,则与都在内连续.()
4、与在复平面内有界.()
5、若是的阶零点,则是的阶极点.()
6、若在处满足柯西-黎曼条件,则在解析.()
7、若存在且有限,则是函数的可去奇点.()
8、若在单连通区域内解析,则对内任一简单闭曲线都有.()
9、若函数是单连通区域内的解析函数,则它在内有任意阶导数.()
10、若函数在区域内解析,且在内某个圆内恒为常数,则在区域内恒等于常数.()
二、填空题(20分):
1、函数的周期为_________________.2、幂级数的和函数为_________________.3、设,则的定义域为_________________.4、的收敛半径为_________________.5、=_________________.三、计算题(40分):
1、2、求3、4、设求,使得为解析函数,且满足。
其中(为复平面内的区域).5、求,在内根的个数《复变函数》考试试题(十一)
一、判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题2分)
1.当复数时,其模为零,辐角也为零.()
2.若是多项式的根,则也是的根.()
3.如果函数为整函数,且存在实数,使得,则为一常数.()
4.设函数与在区域内解析,且在内的一小段弧上相等,则对任意的,有.()
5.若是函数的可去奇点,则.()
二、填空题.(每题2分)
1._____________________.2.设,且,当时,________________.3.函数将平面上的曲线变成平面上的曲线______________.4.方程的不同的根为________________.5.___________________.6.级数的收敛半径为____________________.7.在(为正整数)内零点的个数为_____________________.8.函数的零点的阶数为_____________________.9.设为函数的一阶极点,且,则_____________________.10.设为函数的阶极点,则_____________________.三、计算题(50分)
1.设。
求,使得为解析函数,且满足.其中(为复平面内的区域).(15分)
2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶).(10分)
(1)
;
(5分)
(2).(5分)
3.计算下列积分.(15分)
(1)
(8分),
(2)
(7分).4.叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数.(10分)
四、证明题(20分)
1.设是上半复平面内的解析函数,证明是下半复平面内的解析函数.(10分)
2.设函数在内解析,令。
证明:
在区间上是一个上升函数,且若存在及(),使,则常数.(10分)
《复变函数》考试试题(十二)
二、判断题。
(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,每题2分)
1.设复数及,若或,则称与是相等的复数。
()
2.函数在复平面上处处可微。
()
3.且。
()
4.设函数是有界区域内的非常数的解析函数,且在闭域上连续,则存在,使得对任意的,有。
()
5.若函数是非常的整函数,则必是有界函数。
()
二、填空题。
(每题2分)
1._____________________。
2.设,且,当时,________________。
3.若已知,则其关于变量的表达式为__________。
4.以________________为支点。
5.若,则_______________。
6.________________。
7.级数的收敛半径为________________。
8.在(为正整数)内零点的个数为_______________。
9.若为函数的一个本质奇点,且在点的充分小的邻域内不为零,则是的________________奇点。
10.设为函数的阶极点,则_____________________。
三、计算题(50分)
1.设区域是沿正实轴割开的平面,求函数在内满足条件的单值连续解析分支在处之值。
(10分)
2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶),并求它们留数。
(15分)
(1)的各解析分支在各有怎样的孤立奇点,并求这些点的留数(10分)
(2)求。
(5分)
3.计算下列积分。
(15分)
(1)
(8分),
(2)
(7分)。
4.叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。
(10分)
四、证明题(20分)
1.讨论函数在复平面上的解析性。
(10分)
2.证明:
。
此处是围绕原点的一条简单曲线。
(10分)
《复变函数》考试试题(十三)
一、填空题.(每题2分)
1.设,则_____________________.2.设函数,,,则的充要条件是_______________________.3.设函数在单连通区域内解析,则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________.4.设为的极点,则____________________.5.设,则是的________阶零点.6.设,则在的邻域内的泰勒展式为_________________.7.设,其中为正常数,则点的轨迹曲线是_________________.8.设,则的三角表示为_________________________.9.___________________________.10.设,则在处的留数为________________________.二、计算题.1.计算下列各题.(9分)
(1);
(2);(3)2.求解方程.(7分)
3.设,验证是调和函数,并求解析函数,使之.(8分)
4.计算积分.(10分)
(1),其中是沿由原点到点的曲线.
(2),积分路径为自原点沿虚线轴到,再由沿水平方向向右到.5.试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级数.(8分)
6.计算下列积分.(8分)
(1);
(2).7.计算积分.(8分)
8.求下列幂级数的收敛半径.(6分)
(1);
(2).9.讨论的可导性和解析性.(6分)
三、证明题.1.设函数在区域内解析,为常数,证明必为常数.(5分)
2.试证明的轨迹是一直线,其中为复常数,为实常数.(5分《复变函数》考试试题(十四)
一、填空题.(每题2分)
1.设,则___________________.2.设函数,,,则的充要条件______________________.3.设函数在单连通区域内解析,则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________.4.设为的可去奇点,____________________.5.设,则是的________阶零点.6.设,则在的邻域内的泰勒展式为_________________.7.设,其中为正常数,则点的轨迹曲线是_________________.8.设,则的三角表示为_________________________.9.___________________________.10.设,则在处的留数为________________________.二、计算题.1.计算下列各题.(9分)
(1);
(2);(3)2.求解方程.(7分)
3.设,验证是调和函数,并求解析函数,使之.(8分)
4.计算积分,其中路径为(1)自原点到点的直线段;
(2)自原点沿虚轴到,再由沿水平方向向右到.(10分)
5.试将函数在的邻域内的泰勒展开式.(8分)
6.计算下列积分.(8分)
(1);
(2).7.计算积分.(6分)
8.求下列幂级数的收敛半径.(6分)
(1);
(2).9.设为复平面上的解析函数,试确定,,的值.(6分)
三、证明题.1.设函数在区域内解析,在区域内也解析,证明必为常数.(5分)
2.试证明的轨迹是一直线,其中为复常数,为实常数.(5分)
试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题
(一)参考答案8、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.×9.×10.×二.填空题1.;
2.1;
3.,;
4.;
5.16.整函数;
7.;
8.;
9.0;
10..三.计算题.1.解因为所以.2.解因为,.所以.3.解令,则它在平面解析,由柯西公式有在内,.所以.4.解令,则.故,.四.证明题.1.证明设在内.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入
(2)则上述方程组变为.消去得,.1)若,则为常数.2)若,由方程
(1)
(2)及方程有,.所以.(为常数).所以为常数.2.证明的支点为.于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此