涞水届高三联考数学理试题 含答案.docx

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涞水届高三联考数学理试题含答案

波峰中学2017-2018学年度第一学期期末模拟卷

高三数学试题（理科）

命题人：

张彦东审题人:

高三数学组2018.12.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．是虚数单位，若，则

A．1B．C．D．

2．已知集合，，则

A．B．C．D．

3．在中，是边的中点，，，则

A．B．C．D．

4．若等差数列满足，则的前2018项之和

A．1506B．1508C．1510D．1512

5．若，，，则

A．B．C．D．

6．在平面直角坐标系中，“直线与直线平行”是“”的

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．非充分非必要条件

7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，

用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则

剩余几何体的正视图（也称主视图）是

8．如图，空间四边形中，点分别上，，则

A．B．

C．D．

9．已知函数，则下列说法正确的是

A．的图象向右平移个单位长度后得到的图象

B．若，则，

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于点对称

10．已知（），把数列的各项排成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，

则

A．67B．69C．73D．75

11．过抛物线（）焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则

A．B．C．D．

12．设实数，满足，则的最小值是

A．B．C．D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分．

13．若、满足约束条件，则的最大值为　　　　．

14．如图，是棱长均为1的正四棱锥，顶点

在平面内的正投影为点，点在平面

内的正投影为点，则　　　　．

15．　　　　．

16．对于函数，有如下三个命题：

①的单调递减区间为（）

②的值域为

③若，则方程在区间内有3个不相等的实根

其中，真命题是　　　　．（将真命题的序号填写在横线上）

三.解答题：

本题共小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分分）

中，角的对边分别为，已知.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）点为边上的一点，记，若，

，，求与的值。

18.（本小题满分分）

已知两数列，满足（），，其中是公差大于零的等差数列，且，，成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，为中点，平面，．

（1）证明：

平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．

20.（本小题满分12分）

小李参加一种红包接龙游戏：

他在红包里塞了12元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设猜中的概率分别为，且是否猜中互不影响．

（1）求恰好获得4元的概率；

（2）设获得的金额为元，求的分布列；

（3）设获得的金额为元，获得的金额为元，判断所获得的金额的期望能否超过的期望与的期望之和．　

21、（本小题满分12分）

给定椭圆C：

=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．

22.（本小题满分12分）

设函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，证明：

在上恒成立．

波峰中学2017-2018学年度第一学期期末模拟卷

参考答案

一、选择题CDDDBBABCABB

二、填空题13.4；14.；15.；

16.①②（仅填①、仅填②、填①②③给2分，其它错误结果给0分）

17.（Ⅰ）由已知，得，，，

，.………………...4分

（Ⅱ）在中，,

，..…………...8分

为钝角，为锐角，，

在中，由余弦定理，得

，所以.…………...12分

18.（Ⅰ）设的公差为（）,,,.

又，，，

由，，成等比数列，得，，，，

.………………...6分

（Ⅱ）因为，所以，

于是，，

令①则②

①②，得

，，

故．………………...12分

19.解：

（1）因为平面平面，所以，．．．．．．．．．．．．．．．1分

又因为，

所以平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

而平面，所以平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）设和相交于点，连接，

由

（1）知，平面，

所以是直线与平面所成的角，从而，

在中，由，得，

因为四边形为等腰梯形，，

所以均为等腰直角三角形，所以，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

．．．．．．．．．8分

所以，

设平面的一个法向量为，

由得，

令，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

设平面的一个法向量为，

由得，

令，得，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

因为二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20．解：

（1）恰好获得4元的概率为．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（2）的可能取值为0，4，6，12，

，

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

所以的分布列为：

0

4

6

12

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（3）的可能取值为0，4，6；的可能取值为0，4．

因为，．．．．．．．8分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以，

所以，

又，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

由于，所以所获得的金额的期望能超过的期望与的期望之和．．．．．．．．．．．12分

21．解：

（Ⅰ）由题意得，e2==1﹣=，

又∵b=1，∴a2=3，

∴椭圆C的方程为+y2=1，

（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，

①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．

②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．

设直

线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0．

∴x1+x2=，x1x2=．

当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，

=（1+k2）[﹣]，

=，

=3+，

=3+，

≤3+=4，

当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．

当k=0时，|AB|=，综上所述：

|AB|max=2，

此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．

22.解：

（1）当时，，．．．．．．．2分

∴当时，；当时，．

∴在上单调递增，在上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴在处取得极大值无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）当时，，

下面证，即证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

设，则，

在上，是减函数；在上，是增函数．

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　8分

设，则，

在上，是增函数；在上，是减函数，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以，即，所以，即，

即在上恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　12分