初中数学竞赛讲义第23讲圆与圆.docx

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初中数学竞赛讲义第23讲圆与圆

第二十三讲圆与圆

圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：

1．通过两圆交点的个数确定；

2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；

3．通过两圆的公切线的条数确定．

为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．

熟悉以下基本图形、基本结论：

【例题求解】

【例1】如图，⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙Ol经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=

，那么∠BAF=度．

思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2Ol必过A点，先求出∠DO2A的度数．

注：

（1）两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．

（2）涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．

【例2】如图，⊙Ol与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙Ol与⊙O2的半径之比为（）

A．2：

5B．1：

2C．1：

3D．2：

3

思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠COlO2（或∠DO2Ol）的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．

【例3】如图，已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙Ol上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙Ol于点N．

（1）过点A作AE∥CN交⊙Oll于点E，求证：

PA=PE；

（2）连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．

思路点拨

（1）连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；

（2）PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．

【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=

，大、小两圆半径差为2．

（1）求大圆半径长；

（2）求线段BF的长；

（3）求证：

EC与过B、F、C三点的圆相切．

思路点拨

（1）设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；

（2）证明△EBC∽△ECF；（3）过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．

注：

本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．

【例5】如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为

，面积之和为

．

（1）试建立以

为自变量的函数

的解析式；

（2）求函数

的最小值．

思路点拨设两圆半径分别为R、r，对于

（1），

，通过变形把R2+r2用“

=R+r”的代数式表示，作出基本辅助线；对于

（2），因

=R+r，故是在约束条件下求

的最小值，解题的关键是求出R+r的取值范围．

注：

如图，半径分别为r、R的⊙Ol、⊙O2外切于C，AB，CM分别为两圆的公切线，OlO2与AB交于P点，则：

（1）AB=2

；

（2）∠ACB=∠OlMO2=90°；

（3）PC2=PA·PB；

（4）sinP=

；

（5）设C到AB的距离为d，则

．

学力训练

1．已知：

⊙Ol和⊙O2交于A、B两点，且⊙Ol经过点O2，若∠AOlB=90°，则∠AO2B的度数是．

2．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围．

（2003年上海市中考题）

3．如图；⊙Ol、⊙O2相交于点A、B，现给出4个命题：

（1）若AC是⊙O2的切线且交⊙Ol于点C，AD是⊙Ol的切线且交⊙O2于点D，则AB2=BC·BD；

（2）连结AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，则OlO2=25cm；

（3）若CA是⊙Ol的直径，DA是⊙O2的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上，

（4）若过点A作⊙Ol的切线交⊙O2于点D，直线DB交⊙Ol于点C，直线CA交⊙O2于点E，连结DE，则DE2=DB·DC，则正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．

4．如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M，设⊙Ol的半径为

，AM的长为

，则

与

的函数关系是，自变量

的取值范围是．

5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是（）

A．2B．

C．

D．

6．如图，已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B两点，且点Ol在⊙O2上，过A作⊙Oll的切线AC交BOl的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙Ol于点D，若PD=1，PA=

，则AC的长为（）

A．

B．

C．

D．

7．如图，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PB·PC=OlA·O2A．

上述结论，正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

8．两圆的半径分别是和r（R>r），圆心距为d，若关于

的方程

有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（）

A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切

9．如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙Ol于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．

（1）求证：

PC平分∠APD；

（2）求证：

PD·PA=PC2+AC·DC；

（3）若PE=3，PA=6，求PC的长．

10．如图，已知⊙Ol和⊙O2外切于A，BC是⊙Ol和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙Ol于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：

（1）CD是⊙Ol的直径；

（2）试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．

11．如图，已知A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点M是OlO2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙Ol、⊙O2于B、C．

（1）求证：

AB=AC；

（2）若OlA切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2，求证：

dl+d2=O1O2；

（3）在

（2）的条件下，若dld2=1，设⊙Ol、⊙O2的半径分别为R、r，求证：

R2+r2=R2r2．

12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．

13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．

14．如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙Ol的圆心Ol，交⊙Ol于C、D，若AC：

CD：

DB=3：

4：

2，则⊙Ol与⊙O2的直径之比为（）

A．2：

7B．2：

5C．2：

3D．1：

3

15．如图，⊙Ol与⊙O2相交，P是⊙Ol上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是（）

A．1，2B．1，3C．1，2，3D．1，2，3，4

16．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立（）

A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆

C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对

17．已知：

如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙PP于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．

（1）求证：

BC是⊙P的切线；

（2）若CD=2，CB=

，求EF的长；

（3）若k=PE：

CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?

若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．

18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．

（1）若PC=PD，求PB的长；

（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？

，如果存在，问这样的P点有几个?

并求出PB的值；如果不存在，说明理由；

（3）当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．

请问：

除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少，或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．

19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．

（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；

（2）若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．

20．问题：

要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．

操作：

方案一：

在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求，画示意图）．

方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：

画示意图）；，

探究：

（1）求方案一中圆锥底面的半径；

（2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；

（3）设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．

参考答案