新疆慕华优策届高三上学期第一次联考数学理试题含答案.docx
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新疆慕华优策届高三上学期第一次联考数学理试题含答案
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新疆慕华优策2020—2021学年高三年级第一次联考
理科数学试卷
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．已知，则（）
A．B．C．D．
3．“剩余定理”又称“孙子定理”．1874年，英国数学家马西森指出此算法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”该定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将1到2029这2029个整数中，能被3除余2且能被4除余2的数按从小到大顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项为（）
A．1010B．1020C．1021D．1022
4．杭州的三潭印月是西湖十景之一，被誉为“西湖第一胜境”所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个每边长为62米的等边三角形，记该三角形为，小瀛洲之南的湖面上是湖上赏月的极佳去处，水深若潭，月影幽深．设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，则的前8项和为（）
A．B．C．D．
5．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）
A．B．C．D．
6．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该儿何体的表面积为（）
A．B．C．D．
7．设函数，，则的图象是（）
A．B．
C．D．
8．已知抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若为直角三角形，其中F为直角顶点，则（）
A．4B．3C．2D．1
9．已知函数的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）
A．在上单调递增B．的一条对称轴方程为
C．D．
10．若，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
11．已知三棱锥，，，，PA过三校锥外接球心O，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥外接球O的截面，则下列结论正确的是（）
A．三棱锥体积为B．截面面积的最小值是
C．三棱锥体积为D．截面面积的最小值是
12．已知函数有两个零点，，且则下列结论中正确的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设单位向量，的夹角为，与垂直，则__________．
14．设复数，满足，，则__________．
15．2020年初，突如其来的新冠肺炎在某市多个小区快速传播，该市防疫部门经国家批准立即启动Ⅰ级应急响应，要求居民不能外出，居家隔离．为了做好应急前的宣传工作，现有5名志愿者到4个小区参加抗疫宜传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有__________种．
16．设有下列四个命题：
：
空间中两两相交的三个平面，若它们的交线有三条，则这三条交线必相交于一点．
：
过空间中任意一点作已知平面的垂线，则所作的垂线有且仅有一条．
：
若空间两条直线不相交，则这两条直线互为异面直线．
：
若直线平面，直线平面，则直线m与直线一定不相交．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①②③④
三、解答题：
本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第2、223题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
共60分
17．（12分）
如图，在锐角中，D为BC边的中点，且，，O为外接圆的圆心，且．
（1）求的值；
（2）求的面积．
18．（12分）
2020年是我国全面建成小康社会和打赢脱贫攻坚战的收官之年，某省为了坚决打嬴脱贫攻坚战，在100个贫闲村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分別表示第i个贫困村中贫闲户的年平均收入（单位：
万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：
万元），并计算得到，，，，．
（1）试估计该省贫困村的贫困户年平均收入．
（2）根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数．（精确到0．01）
（3）根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚战任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：
相关系数，．
19．（12分）
如图，在直四棱柱中，底而ABCD为矩形，，E在棱上．
（1）若E为的中点，求证：
平面平而BDE；
（2）若二而角的余弦值为时，求AE的长．
20．（12分）
已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点，求面积的最大值及此时直线l的方程．
21．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点、，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．【4-4坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和直线l的倾斜角；
（2）设点，l和C交于A，B两点，求的值．
23．【4-5不等式选讲】
已知函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围．
慕华·优策2020-2021学年高三年级第一次联考
数学（理科）参考答案及解析
一、选择题
1．【答案】C
【解析】由题意可得：
，∴．
故选：
C．
【命题意图】本题考査集合的基本运算，集合的运算是髙考常考的简单题型，把握集合A，B的精准化简是解此类问题关键．
2．【答案】D
【解析】由题设易得：
．故选D．
【命题意图】本题考査三角函数的基本运算，由角的取值范围确定三角函数值的符号，着重理解三角函数的定义．本题给出的是角的取值集合，由此求出的取值集合，从而就能确定三角函数值的符号．
3．【答案】A
【解析】将题目转化为既是3的倍数，也是4的倍数，也即是12的倍数．
即，．
当时，．
当时，．
故，数列共有169项，
此数列中间项为第85项，，故选A．
【命题意图】本题考査数学文化与数学建模，数学文化试题是传承经典、开拓创新型试题．解答此类问题时，要认真阅读题目，审清题意才能正确作答．本题的关键是寻找岀同时能被3和4整除的数的规律，即是12的倍数．
4．【答案】A
【解析】由题设知，数列是首项，公比为的等比数列．
则的前8项和为．
故选A．
【命题意图】本题考査数学应用问题，数学实际应用题是新教材、新课标、新高考中推岀的一类新题型，结合实际分析问题、解决问题．解答本题的关键在于找到构成数列是成等比数列的，因此，可以直接运用等比数列前n项和公式求和．
5．【答案】B
【解析】由于圆上的点在第二象限，若圆心不在第二象限，
则圆至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第二象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为a，
圆的标准方程为，
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线距离均为；
所以，圆心到直线的距离为．
故选：
B．
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，直线和圆的位置关系是解析几何的基本内容，求圆的方程时，确定圆心及圆的半径是解决问题核心．本题是利用所求的圆与两坐标轴都相切来设立方程，这样计算较为方便．
6．【答案】A
【解析】本题考査三视图及简单几何体的体积计算．原立体图如下图所示，
是一个棱长为2的正方体被切掉两个角，因此，所求的几何体的表面积为
．故选A．
【命题意图】本题考査三视图的应用，由三视图求简单几何体的体积与表面积，找原图是关键，如何正确将三视图还原成直观图呢，一般规律是：
若三视图中有圆，则原图应该有旋转体；若三视图中画有实线或虚线，则原图简单几何体一般是截去型的；若三视图是多个多边形拼接的，则原简单几何体一般是拼接型．
7．【答案】D
【解析】显然是奇函数，排除A、B．
由于，故选D．
【命题意图】本题考查函数图象及其应用，函数图象的识别是近年来高考常考的题型，它主要考查函数的基本性质及导数的应用．解答此类问题一般要能做到：
1．通过函数定义域确定函数图象左右位置；
2．通过函数的值域确定函数图象的上下位置；
3．利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性；
4．运用导数来确定函数的单调性及函数的极值点等．
8．【答案】C
【解析】由题设知抛物线的准线为，
代入双曲线方程，解得，
由双曲线的对称性知为等腰直角三角形，
∴，∴，
∴，即．故选C．
【命题意图】本题考査圆锥曲线的几何性质，关于抛物线几何性质题一般解题思路是：
定义优先，性质伴随．本题是求参数p的值，关键点在于建立关于p的方程，从而解出p，然而，寻找等量关系是建立方程的核心所在，这里是通过为等腰直角三角形来建立等量关系的．
9．【答案】D
【解析】∵函数的最小周期是，∴，
得，则，
∵关于中心对称，
∴，，即，，
∵，
∴当时，，即，
则函数在上递增，在上递减，
因此，易得A，B错误．
，
∵，，
即，所以C错，D正确．
故选D．
【命题意图】本题考査三角函数图象与性质的应用，解答此类问题时，根据题设条件正确求出解析式是关键．一般地，依据周期求参数值根据对称中心或最值来求参数的值，特别提酲的是求参数的值时，注意题设条件及检验．
10．【答案】B
【解析】由题意知，，，
得．
即，，
∴，故，∴，A错误；
，B错误；
当时，，C不一定成立；
由，易得，故D错误，故选B．
【命题意图】本题考查基本初等函数的性质应用，利用函数的性质比较大小及解决不等式问题是一类常见考题．
11．【答案】A
【解析】三棱锥外接球O的球心为PA中点．
，过点E作三棱锥外接球O的截面要使截面面积最小当且仅当截面与OE垂直时．可得截面半径为1，则截面面积的最小值是，故B，D错误．
在中由余弦定理得
，
∴，
设过A、B、C的截面圆圆心为G，半径为r，连接OG，
则平面ABC，
在中由正弦定理得，
即，解得．
在中，由勾股定理得，
∴三棱锥的高为，
故三棱锥体积为，A正确．
【命题意图】本题考査球的切、接问题，关于球的接、切问题是近些年来高考常考的题型，解答此类问题应抓住以下几何关键点：
1．正确找准球心；2．注意截面圆圆心与球心连线垂直于截面圆所在的平面；3．注意找球心的方法类比平面几何中的三角形外接圆圆心的找法，通过多面体各面外接圆圆心作截面的垂线，交点即为球
12．【答案】C
【解析】，时，在恒成立，
此时在R上单调递减，不合题意；
当时，由，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
∴当时，单调减区间为，单调增区间为，
可知当时，函数取得极小值为，
又当时，，时，，
∴要使函数有两个零点，则，
得，故A错误；
由，极小值点，可得，
∵，是的两个零点，
∴，．
可得，
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