关于数的整除问题的讨论概述.docx
《关于数的整除问题的讨论概述.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于数的整除问题的讨论概述.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
关于数的整除问题的讨论概述
关于数的整除问题的讨论
麟游县九成宫中学田宏刚
关于整数问题（特别是正整数）它与人们的生活实践密切相关。
在整数性质单位讨论中，发现最多的还是它的整除性质，下面做一些分析、说明，以便进一步运用于解决实际问题。
关键词:
数的整除讨论
（一）关于数的整除的概念这一理解有多种方法，一般认为：
若存在整数a，正整数b，当a=b成立，这时称b整除a，或a被b整除，表示为b∣a，a叫b的倍数，b叫a的两数；b不能整除a，表示b+a；它与除尽所区别的是：
除尽要求的是两数的商为有限小数，而a,b本身也在有理数范围内或a,b是非有理数。
总之，只要两数的商是有限小数即可。
而整除则是在整数范围内讨论的，并且两数的商为整数，余数为o；两整数a,b，若b∣a，则b一定能除尽a；而b能除尽a，则b不一定能整除a。
从同余角度，b∣a还可表示为a≡o（modb）这就是说，两整数a,b，若a除以b商为整数，当且仅当余数R=o时,b∣a。
（二）2
及5
（n为正整数）整除定理介绍关于整除问题，我们先来讨论除数为个别正整数的情况，若除数为这些书的相反数时，只需在商前面添符号“—”其余性质都不变。
关于除数为2、5、3、9、10的情况，我们已比较熟悉，不再述了，我们来讨论除数为2
及5
的情况（n∈N﹡）
1.2
及5
整除定理，若一整数（十进制的）若能被整除，则它的1到n位数能被2
整除。
证：
设Z=
·
+
·
＋
·
+…＋
·
＋
·
＋
·
＋…
·
＋
+
能被2
整除。
设它的第n+m+1位到第n+m位为M,第n位到第1位为N,即M=
·
+
·
＋
·
+…＋
·
＋
·
，
N=
·
＋…
·
＋
+
，则2
∣M，2
∣N，则Z=
·M＋N，所以2
∣Z。
反之，若2
不整除N，由于2
∣
·M，所以
·M＋N不整除2
。
所以Z能被2
整除的充分必要条件是：
Z的1到n位数能被2
整除。
由于10
=2
·5
，Z=
·M＋N，所以N=
·
＋…
·
＋
+
能被5
整除时，Z必然能被5
整除。
反之不能被5
整除。
推论1：
若一整数的末两位数字能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。
否命题亦成立。
推论2:
若一整数的末三位数字能被8或125整除，则这个数能被8或125整除。
否命题亦成立。
（三）整数的奇偶性及其运算。
整数的奇偶性分析在解决整数，方程及图形的性质问题中有着广泛的应用，下面作初步说明。
1.主要运算性质：
（1）两奇数的和差为偶数；积商（存在b∣a，b≠0）为奇数。
（2）两整数a,b中若有一奇一偶；则它们和，差为奇数。
积为偶数，商（存在b∣a，b为奇数）为偶数。
（3）若两整数a,b（o除外）的和为奇数，则a,b有不同的奇偶性；若ab的积为奇数，则a,b同为奇数。
（4）若两整数a,b的和为偶数，则a,b有相同的奇偶性。
（5）奇数的乘方及连续乘积为奇数；偶数的乘方及连续乘积为偶数；若n个数的乘积为偶数，则它们之中有一个必然为偶数（逆定理亦成立）
（6）奇数≠偶数。
（7）对整数a,b。
则a+b与a-b有相同的奇偶性。
说明：
对于以上的推论，均可把偶数表示成2m（m∈z），奇数表示成2n+1（n∈z）的形式加以证明（从略）。
2.定理及应用：
（1）对于一元二次方程
+bx+c=o（a≠o）若a,b,c均为奇数且a=1，那么此方程无整数根。
证明：
（反证法）若设有整数根
.
由韦达定理：
+
=—
=—b,
·
=
=c.
由
·
=c为奇数知：
.均为奇数，则
+
=—
=—b为偶数，则b为偶数，这已知b为奇数矛盾。
假设不成立，故此方程无整数根。
（2）在勾股定理
+
=
中，若要求勾股数a,b,c（即a,b,c为正整数）那么a,b中至少有一正偶数。
证:
（反证法）下面我们来反设a,b都为正奇数的情况：
设a=2m+1,b=2n+1,（m﹒m∈N）
则
+
=
+
=4
+4m+2+4
+4n
=4（
+m+
+n+
）
由分析：
若a,b同为奇数，则
，
均为奇数，
+
=
为偶数。
求算术平方根得c为偶数，则c中含因数2.则
中含因数4，但实际上
=4（
+m+
+n+
）却不能被4整除，则这种结论不成立，所以a,b不能同为奇数。
（3）这样，我们可以介绍发现一组或几组勾股数的一般方法：
∵a,b中必有一偶数，∴不妨设b=2n（n∈N※）
联想
+
=2
=2
.则可按下列步骤进行：
1°由于
+
=
中，a与c的奇偶关系有两种情况存在：
（1）a为奇数，则c为奇数;
（2）a为偶数，则c为偶数。
（分析从略）联想m+t与m—t（n,t∈
）有相同的奇偶性，可令a=m—t，c=m+t，则
=
，
=
，那么
=
—
=4mt，由此b=2
，但为了避免
不是正整数的情况，可再次联想‘‘奇数的平方为奇数”“偶数的平方为偶数”不影响a，c的奇偶性，可令a=
，c=
，则b
=
=
—
=4
，所以b=
=2mt,（m,t∈
）即b为偶数。
2°对比b=2mt，与b=2n，于是得：
（1）b为偶数，把b写成b=2n（n∈N※）的形式，求出n的各个正约数（包括1和n）把相乘得n的两个约数编为一组。
（2）可令m=
，t=
，（
，
∈N※且
·
=
）不妨设m，t中较大的为m，较小的为t（m=t时划去这一组）用方法
（1）
（2）联合起来，可在已知2mt时求得a=
，c=
的全部勾股值。
3°若已知
，则a=
可用方法
（1）分解a的全部正约数对，相乘为a的编为一组，但两因数相同时即除去，设m﹥t,（m,t∈
）,代入b=2mt，c=
可得。
（2）应注意：
求m,t时需解方程组{
其中
，
为a的不同正约数，且
，
的奇偶性不同时应舍去。
4°勾股数组的两种形式
（1）
（m,t∈
m﹥t,且mt为大于1的完全平方数）。
（2）
（m,t∈
且m﹥t）,
其中a,b的表达式可以互换.
5.举例：
已知下列勾股数中的一个，求另外两个。
（1）a=4;
（2）b=8.
解：
（1）a=4=2
2,代入
（2）式∴mt=2.求2的约数1,2.且2﹥1，∴m=2,t=1.∴b=
=3，c=
=5,所以这组勾股数组为：
a=4,b=3,c=5.
（2）∵b=8,代入
（1）式，mt=16,m﹥t,∴m=16,t=1;或m=8,t=2.即可分别求得勾股数组：
a=15,b=8,c=17或a=6,b=8,c=10.
（四）同余法及余数定理在整除中的应用：
1.余数问题两整数a,b（a,b≠0）且除数大于1或小于-1时，若两整数不能整除时，必然会出现余数，记为R，令商为m,则a,b的关系可表示为:
a=bm+R,（a,m,R
Z且b≠0）。
2.余数的有关定理及同余式表示
一般地，在除数b为正整数时，余数R的取值范围是R
[o,b）,但在余数的应用和计算过程中暂且“看作”余数小于0或大于除数的情况，还可以把这个关系式用同余式表示为a≡R（modb）.
利用同余式来计算余数会带来方便。
有下面的：
同余定理：
设a
（modb）,m
（modb）,其中0
﹤b,0
﹤b,则：
（1）a+m
+
（modb）；
（2）a-m
—
（modb）;（3）am≡
（modb）;（4）若n
a≡R（modb）,则
≡
（modb）。
证：
（1）由题意，a-
≡0（modb）及m-
≡0（modb），设a=Ab+
m=Bb+
（A,B∈Z）∴a+m=Ab+
+Bb+
=（A+B）b+（
+
）,其中A+B∈Z,∴a+m
+
（modb）.
（2）类似的，可证：
a-m
—
（modb）
（3）1°先证明：
若a≡R（modb）,则—a≡-R（modb）。
证：
a≡R（modb）
a=Ab+R
—a=-Ab+（-R）
—a≡-R（modb）.
2°再证明：
am≡
（modb）。
a≡
（modb）
a=Ab+
m
（modb）
m=Bb+
（A,B∈Z）则am=（Ab+
）（Bb+
）=AB
+Bb
+Ab
+
=b（ABb+B
+A
）+
am≡
（modb）.
（4）a≡R（modb）
a=Ab+R（A∈Z）,n
时，
=
=
=b
其中A,n,R,r都为正整数，且n
r
1.∴
≡
（modb）。
3.余数的处理方法:
由以上证明可知:
两整数的和，差,积,乘方除以同一正整数b的余数，等于他们分别除以b的余数的和，差,积,乘方。
这样，在整数除法中，余数可按整数运算做各种运算，但这样计算出来的余数可能不在[o,b），怎样把最终的余数计算到[o,b）呢？
（1）若余数R′﹥b,则从R′中减去b的正整数倍，使得R﹤b，
（2）若余数R′﹤0，则从R′中加上b的正整数倍，使得0﹤R。
4.应用举例：
例1：
求证：
能被37整除。
证明：
设N=
=
∵8888≡8（mod37）7777≡7（mod37）
∴N=
≡（
（mod37）
≡
（mod37）
又∵
≡—10（mod37）
≡10（mod37）
∴N≡
（mod37）
≡
+
（mod37）
≡0（mod37）
即
≡0（mod37）∴
能被37整除。
例2：
求证：
X为奇数时，
≡1（mod8）
证：
设X=2n+1（n
Z）则
=
=4
+4n+1=4n（n+1）+1
∵n
Z，则n与n+1必为连续整数，则n与n+1中必有一奇一偶，∴4n（n+1）≡0（mod8）
∴4
+4n+1≡1（mod8）即
≡1（mod8）。
例3：
今天是星期五，再过
天是星期几？
解：
=
∵
≡1（mod7）∴
≡1（mod7）
∴再过
天是星期六。
例4:
若一正整数被2除余1，被5除余2，被7除余3，被9除余4，求这个最小的正整数M.
解：
由题意M≡1（mod2）M≡2（mod5）M≡3（mod7）M≡4（mod9）
又
=315≡1（mod2）
=126≡1（mod5）
126×2≡2（mod5）
=90≡6（mod7）
90×4≡24（mod7）≡3（mod7）
=70≡7（mod9）
70×7≡4（mod9）
∴N=315+126×2+90×4+70×7=1417.∴M=N-2×
=1417—2×630=157
例5：
求证：
对于任何整数X,Y,则2
，
或同时能被17整除，或同时不能被17整除。
证：
若17︱2
，则
整数m,使得17m=2
（1）
求方程
（1）的整数解得
（
，
Z）
把方程的解代入多项式
=9（
）+
=
=17（
）
这表明2
的必要条件是17︱
.
（1）′
若17︱
.则
整数n,使得17n=9x+
（2）
求方程
升级会员 