历年典型中考反比例函数大题.docx

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历年典型中考反比例函数大题

一．解答题（共20小题）

1．（2012?

资阳）已知：

一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；

（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：

①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点（0，﹣2）旋转一定角度得到；

②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．

2．（2012?

重庆）已知：

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．

3．（2012?

肇庆）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．

（1）求k的取值范围；

（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．

①求当x=﹣6时反比例函数y的值；

②当时，求此时一次函数y的取值范围．

4．（2012?

云南）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．

（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；

（2）连接OA，求△AOC的面积．

5．（2012?

玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．

（1）填空：

双曲线的另一支在第　_________　象限，k的取值范围是　_________　；

（2）若点C的左标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？

（3）若=，S△OAC=2，求双曲线的解析式．

6．（2012?

义乌市）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．

（1）求边AB的长；

（2）求反比例函数的解析式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

7．（2012?

烟台）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°．

（1）求线段AB的长；

（2）求经过A，B两点的反比例函数的解析式．

8．（2012?

厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y=k1x+b与双曲线（k2＞0）的交点．

（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM=BM，求点B的坐标．

（2）若点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线（k2＞0）于点N．当取最大值时，有PN=，求此时双曲线的解析式．

9．（2012?

咸宁）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．

10．（2012?

天津）已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．

（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；

（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；

（Ⅲ）若其图象的一直位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．

11．（2012?

泰州）如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（﹣1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．

（1）求k、b的值；

（2）设﹣1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？

若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．

12．（2012?

南昌）如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（﹣2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．

（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；

（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？

13．（2012?

乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．

（1）求k的值；

（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14．（2012?

济南）如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC

（1）求k的值；

（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；

（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

15．（2011?

攀枝花）如图，已知反比例函数（m是常数，m≠0），一次函数y=ax+b（a、b为常数，a≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．

（1）求一次函数的关系式；

（2）反比例函数图象上有一点P满足：

①PA⊥x轴；②PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；

（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．

16．（2010?

义乌市）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．

（1）求点D的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式；

（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

17．（2010?

广州）已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．

（1）求m的值；

（2）如图，过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．

18．（2010?

北京）已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．

19．（2012?

河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y=（x＞0）的函数图象经过点D，点P是一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）通过计算，说明一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定过点C；

（3）对于一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围（不必写出过程）．

20．（2012?

宜宾）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．

（1）求经过点C的反比例函数的解析式；

（2）设P是

（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标．

答案与评分标准

一．解答题（共20小题）

1．（2012?

资阳）已知：

一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；

（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：

①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点（0，﹣2）旋转一定角度得到；

②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换。

分析：

（1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，联立两函数解析式，进而求得交点坐标；

（3）常数项为﹣2，一次项系数小于﹣1的一次函数均可．

解答：

解：

（1）把x=1代入y=3x﹣2，得y=1，

设反比例函数的解析式为，

把x=1，y=1代入得，k=1，

∴该反比例函数的解析式为；

（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，

解方程组，得或．

∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（，3）和（﹣1，﹣1）；

（3）y=﹣2x﹣2．

（结论开放，常数项为﹣2，一次项系数小于﹣1的一次函数均可）

点评：

考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，解题的关键是待定系数法求函数解析式，掌握各函数的图象和性质．

2．（2012?

重庆）已知：

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．

考点：

反比例函数综合题。

分析：

（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，由B（n，﹣2）得BD=2，由tan∠BOC=，解直角三角形求OD，确定B点坐标，得出反比例函数关系式，再由A、B两点横坐标与纵坐标的积相等求n的值，由“两点法”求直线AB的解析式；

（2）点E为x轴上的点，要使得△BCE与△BCO的面积相等，只需要CE=CO即可，根据直线AB解析式求CO，再确定E点坐标．

解答：

解：

（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，

∵B（n，﹣2），∴BD=2，

在Rt△OBD在，tan∠BOC=，即=，解得OD=5，

又∵B点在第三象限，∴B（﹣5，﹣2），

将B（﹣5，﹣2）代入y=中，得k=xy=10，

∴反比例函数解析式为y=，

将A（2，m）代入y=中，得m=5，∴A（2，5），

将A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，

得，解得，

则一次函数解析式为y=x+3；

（2）由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，

∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，

∴OE=6，即E（﹣6，0）．

点评：

本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过解直角三角形确定B点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特求A点坐标，求出反比例函数解析式，一次函数解析式．

3．（2012?

肇庆）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．

（1）求k的取值范围；

（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．

①求当x=﹣6时反比例函数y的值；

②当时，求此时一次函数y的取值范围．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质。

专题：

计算题。

分析：

（1）由反比例函数图象过第一、三象限，得到反比例系数k﹣1大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围；

（2）①将一次函数与反比例函数解析式联立组成方程组，由一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，将y=4代入一次函数及反比例函数解析式，用k表示出x，两种相等得到关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出反比例函数解析式，然后将x=﹣6代入求出的反比例函数解析式中即可求出对应的函数值y的值；

②将求出的k值代入一次函数解析式中，确定出解析式，应y表示出x，根据x的范围列出关于y的不等式，求出不等式的解集即可得到y的取值范围．

解答：

解：

（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，

∴k﹣1＞0，

解得：

k＞1；

（2）①联立一次函数与反比例函数解析式得：

，

又一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，

∴将y=4代入①得：

4x=k﹣1，即x=，

将y=4代入②得：

2x+k=4，即x=，

∴=，即k﹣1=2（4﹣k），

解得：

k=3，

∴反比例解析式为y=，

当x=﹣6时，y==﹣；

②由k=3，得到一次函数解析式为y=2x+3，即x=，

∵0＜x＜，∴0＜＜，

解得：

3＜y＜4，

则一次函数y的取值范围是3＜y＜4．

点评：

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及反比例函数的性质．反比例函数y=（k≠0），当k＞0时函数图象位于第一、三象限；当k＜0时，函数图象位于第二、四象限．

4．（2012?

云南）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．

（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；

（2）连接OA，求△AOC的面积．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积。

分析：

（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k≠0）；反比例函数解析式为y2=（a≠0），将A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y1得到方程组，求出即可；将A（2，1）代入y2得出关于a的方程，求出即可；

（2）求出C的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：

解：

（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k≠0）；反比例函数解析式为y2=（a≠0），

∵将A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y1得：

，

∴，

∴y1=x﹣1；

∵将A（2，1）代入y2得：

a=2，

∴；

答：

反比例函数的解析式是y2=，一次函数的解析式是y1=x﹣1．

（2）∵y1=x﹣1，

当y1=0时，x=1，

∴C（1，0），

∴OC=1，

∴S△AOC=×1×1=．

答：

△AOC的面积为．

点评：

本题考查了对一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，通过做此题培养了学生的计算能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．

5．（2012?

玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．

（1）填空：

双曲线的另一支在第　三　象限，k的取值范围是　k＞0　；

（2）若点C的左标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？

（3）若=，S△OAC=2，求双曲线的解析式．

考点：

反比例函数综合题。

专题：

综合题。

分析：

（1）根据反比例函数图象与性质得到：

双曲线y=的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限；

（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y=可得到A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，），然后计算S阴影部分=S△ACE+S△OBE=×（2﹣）×（2﹣）+×2×=k2﹣k+2，配方得（k﹣2）2+，当k=2时，S阴影部分最大值为，则E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点；

（3）设D点坐标为（a，），由=，则OD=DC，即D点为OC的中点，于是C点坐标为（2a，），得到A点的纵坐标为，把y=代入y=得x=，确定A点坐标为（，），根据三角形面积公式由S△OAC=2得到×（2a﹣）×=1，然后解方程即可求出k的值．

解答：

解：

（1）三，k＞0；

（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，

而点C的坐标标为（2，2），

∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），

把y=2代入y=得x=；把x=2代入y=得y=，

∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，），

∴S阴影部分=S△ACE+S△OBE

=×（2﹣）×（2﹣）+×2×

=k2﹣k+2

=（k﹣2）2+，

当k﹣2=0，即k=2时，S阴影部分最大，最大值为；

∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，

∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；

（3）设D点坐标为（a，），

∵=，

∴OD=DC，即D点为OC的中点，

∴C点坐标为（2a，），

∴A点的纵坐标为，

把y=代入y=得x=，

∴A点坐标为（，），

∵S△OAC=2，

∴×（2a﹣）×=1，

∴k=．

点评：

本题考查了反比例函数综合题：

当k＞0时，反比例函数y=（k≠0）的图象分布在第一、三象限；点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；运用梯形的性质得到平行线段，从而找到点的坐标特点．

6．（2012?

义乌市）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．

（1）求边AB的长；

（2）求反比例函数的解析式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

考点：

反比例函数综合题。

专题：

综合题。

分析：

（1）根据点E的纵坐标判断出OA=4，再根据tan∠BOA=即可求出AB的长度；

（2）根据

（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值；

（3）先利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度．

解答：

解：

（1）∵点E（4，n）在边AB上，

∴OA=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，

∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2；

（2）根据

（1），可得点B的坐标为（4，2），

∵点D为OB的中点，

∴点D（2，1）

∴=1，

解得k=2，

∴反比例函数解析式为y=，

又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，

∴=n，

解得n=；

（3）如图，设点F（a，2），

∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，

∴=2，

解得a=1，

∴CF=1，

连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，

在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，

即t2=（2﹣t）2+12，

解得t=，

∴OG=t=．

点评：

本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点D的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键．

7．（2012?

烟台）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°．

（1）求线段AB的长；

（2）求经过A，B两点的反比例函数的解析式．

考点：

反比例函数综合题。

分析：

（1）过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D，根据A、B两点纵坐标求AD，解直角三角形求AB；

（2）根据A点纵坐标设A（m，7），解直角三角形求BD，再表示B点坐标，将A、B两点坐标代入y=中，列方程组求k的值即可．

解答：

解：

（1）分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D，

由题意，知∠BAC=60°，AD=7﹣1=6，

∴AB===12；

（2）设过A，B两点的反比例函数解析式为y=，A点坐标为（m，7），

∵BD=AD?

tan60°=6，

∴B点坐标为（m+6，1），

∴，

解得k=7，

∴所求反比例函数的解析式为y=．

点评：

本题考查了反比例函数的综合运用．关键是明确点的坐标与直角三角形的三边关系，反比例函数图象上点的坐标特点．

8．（2012?

厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y=k1x+b与双曲线（k2＞0）的交点．

（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM=BM，求点B的坐标．

（2）若点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线（k2＞0）于点N．当取最大值时，有PN=，求此时双曲线的解析式．

考点：

反比例函数综合题。

专题：

综合题。

分析：

（1）过B作BN⊥x轴，由点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线（k2＞0）上，得到即c=3d，则A点坐标为（1，3d），根据勾股定理计算出MB=，然后利用AM=BM得到（3d）2=22+d2，求出d的值，即可确定B点坐标；

（2）由B（3，d）可得到反比例函数的解析式为y=，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣dx+4d，则可设P（t，﹣dt+4d），则N（t，），表示出PN=﹣dt+4d﹣，NE=，再计算==﹣t2+t﹣1，配方得﹣（t﹣2）2+，由于取最大值，所以t=2，此时PN=﹣dt+4d﹣=，解方程得到d的值，即可确定双曲线的解析式．

解答：

解：

（1）如图，过B作BN⊥x轴，

∵点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线（k2＞0）上，

∴1×c=3×d，即c=3d，

∴A点坐标为（1，3d），

∴AM=3d，

∵MN=3﹣1=2，BN=d，

∴MB=，

而AM=BM，

∴（3d）2=22+d2，

∴d=，

∴B点坐标为（3，）；

（2）如图，把B（3，d）代入y=得k2=3d，

∴反比例函数的解析式为y=，

把A（1，3d）、B（3，d）代入y=k1x+b得，，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣dx+4d，

设P（t，﹣dt+4d），则N（t，），

∴PN=﹣dt+4d﹣，NE=，

∴==﹣t2+t﹣1=﹣（t﹣2）2+，

当取最大值时，t=2，

此时PN=﹣dt+4d﹣=，

∴﹣2d+4d﹣=，

∴d=1，

∴反比例函数的解析式为y=．

点评：

本题考查了反比例函数综合题：

点在函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；运用待定系数法求函数的解析式；利用配方法讨论确定最值问题以及勾股定理计算有关线段的长度．

9．（2012?

咸宁）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题。

专题：

探究型。

分析：

（1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1=kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式；

（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围．

解答：

解：

（1）∵点A（1，6），B（a，2）在y2=的图象上，

∴=6，m=6．

∴反比例函数