导函数的性质吴进明毕业论文.docx
《导函数的性质吴进明毕业论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导函数的性质吴进明毕业论文.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
导函数的性质吴进明毕业论文
摘要1
Abstract（Keywords）1
1前言4
1.1研究的背景4
2.2研究的价值4
2.3研究的方法4
2导函数的定义5
2.15
2.26
2.37
3导函数的性质9
3.19
3.29
3.39
3.410
4导函数的应用11
4.111
4.213
4.314
4.415
5小结16
参考文献16
摘要
导数在生活中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有很多具体的例子。
掌握导数的基本概念和生活中常见函数的概念非常重要。
利用导数可以解决曲线
的切线，函数的极值和最值等等问题。
本文将会介绍导数的几个重要性质，并辅以一些实例，达到对定理更全面的掌握和应用。
关键词：
导函数，应用，掌握，性质
Abstract：
Derivativenessiswidlyappliedonourlife.Thereareespeciallymanyconcreteexamplesonmicroeconmics.It'sveryimportanttoholdthebasicconceptsofderivativenessandfunctions.Humansusethederivativenesstoso
刖言
导数是为了研究极值问题而产生的，导函数是非常有趣的一种学问，而函数与生活也息息相关，并且在美学上，建筑物等等得到了广泛的应用，当然函数跟导函数不是一个性质，但它们有着一定的联系，在函数的应用下，导函数随着也被考虑且应用。
本文将通过研究导函数的发展背景，导函数的定义，性质和应用来深入了解导函数的具体性质。
第一章
1.1研究的背景
函数的概念最早产生于运动的研究.如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的.“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的
平方成正比”等等。
随着数学研究的深入，人们逐渐研究函数的各种性质。
早在十七世纪的时候，法国数学家费马，研究了作曲线的切线和求函数极值的方法。
到了十九世纪，导数的相关理论逐渐成熟，数学家们对导数提出了各种观点。
在物理相关问题中，求瞬时速度就是求速度的变化率，这是物理上引入的导函数。
那问题来了，怎么求最大位移跟最大速度呢？
这里就涉及到了原函数跟导函数了。
那么导函数根原函数有什么关系？
导函数都具有哪些性质，下面我们一起来
探索一下。
1.2研究的价值
1.2.1导数的几何意义
函数y=f（x）在x0点的导数f（x0）的几何意义：
表示函数曲线在
PO[x
导数的几何意义
0，f（x0）]点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）•
1.2.2导数在科学上的应用
导数与物理，几何，代数关系密切•在几何中可求切线；在代数中可求
瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度
导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率.
如某人骑自行车走一小时了20千米，它的平均速度是20千米/小时.
但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是20千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为
s=f（t）
那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间的平均速度是
[f（t1）-f（t0）]/[t1-t0]
当t1与to很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在to到t1这段时间的运动变化情况•
自然就把当t1-to时的极限Iim[f（t1）-f（to）]/[t1-to]作为汽车在
时刻to的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比
到瞬时速度的过程（如我们驾驶时的限“速”指瞬时速度）•
1.2.3导数是微积分中的重要概念
导数另一个定义：
当x=xO时，f（xO）是一个确定的数。
这样，当x变
化时，f（x）便是x的一个函数，我们称他为f（x）的导函数（derivativefunction），简称导数）
y=f（x）的导数有时也记作y'，即（如右图）：
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度）、可
以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性。
以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。
为
了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。
有了联络，人们就可以研究大围的几何问题，
这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
1.3研究的方法
本文归纳和总结了一些函数导函数的性质与应用的方法与技巧，突出了函数
导函数的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的在联系，从总体上把握导函数性质的思想方法；注重对一些特殊导函数性质的推广及应用的介绍，以便
更好地理解和运用。
构造极限法是研究导函数基本方法，是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。
（1）利用定义求函数y=f（x）在x0处导数的步骤：
1求函数的增量△y=f（xO+△x）-f（xO）
2求平均变化率
3取极限，得导数。
第二章导函数的定义
设函数yf（x）在点X0的某一邻域有定义，当自变量X在Xq处取得增量x（在点x0x仍在邻域）时，相应地函数y取得增量
yf（Xqx）f（Xo）；如果y与X之比在X0时的极限存在，则
称函数yf（x）在点Xq处可导，并称这个极限为函数yf（x）在点xq处的
f'（x）lim-ylimf（Xx）f（x）limf（x）f（xo）
x0Xx0xxxoxxq
第三章导函数的性质
3.1介值性
定理一设f（x）在区间I上可微，则f（x）具有介值性质，即若
[a,b]I,f（a）f（b），则存在（a,b）使f（）。
证明：
令g（x）f（x）x，则g（x）f（x）
下证存在（a,b）使g（）0
因为g（x）在［a,b］上连续，所以存在最小值点，下证（a,b），若不然
a或b则有g（a）g（x）或g（b）g（x），于是有__g0,
xa
..g（x）g（a）
limxa
xa
g（a）0，即f（a）与f（a）矛盾
所以不能是a，
同理可证b
因此（a,b）即
是g（x）的极小值，所以g（）0
3.2导数极限定理
定理二设函数f（x）在点x0处连续，在x0的两侧可导，若极限limf（x）存在，则
XX0
f（x）在X。
处可导。
且f（X。
）limf（x）即f（X）在X。
处连续。
xX0
证明：
X
（X°）{X°}，由拉格朗日中值定理，在X0与X之间存在使
f（x）f（X0）
xX0
X0，故在上式中令XX0得
由于f（x0）limf（x）存在，且当xx0时,
Xx
3.3导函数无第一类间断点
定理三设函数f（x）在（a,b）处处有导数f（x）。
证明（a,b）中的点或者为f（x）的
连续点，或者为f（x）的二类间断点。
证明：
f在（a,b）处处可导。
对X0（a,b），由导数定义并利用拉格朗日中值定
理有
f（X0）f（X0）limf（x）f（X0）limf（）（xx。
）讪£（）,仏x）
xxoxx0xXoxx0Xxo
若f（x）在Xo处有右极限，即limf（x）存在，则由归结原则有
XX0
f（xo）limf（）limf（x）f（xo0）
XXoxXo
同理，若f（X）在Xo处有左极限，则有f（Xo）f（Xoo）
综上，当f（X）在Xo至少有一侧极限不存在是，Xo为f（X）的第二间断点；不然，
Xo为f（X）的连续点，即f（Xoo）f（Xo）f（Xoo）
第四章导函数的应用
4.1
第五章小结
参考文献
升级会员 