人教版七年级数学下册知识点全面精华详细.docx
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人教版七年级数学下册知识点全面精华详细
七年级数学下册知识点归纳
第五章相交线与平行线
5.1相交线
一、相交线两条直线相交,形成4个角。
1、两条直线相交所成的四个角中,相邻的两个角叫做邻补角,特点是两个角共用一条边,另一条边互为反向延长线,性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
①邻补角:
两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角,互为邻补角。
如:
∠1、∠2。
②对顶角:
两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为对顶角。
如:
∠1、∠3。
③对顶角相等。
二、垂线
1.垂直:
如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。
2.垂线:
垂直是相交的一种特殊情形,两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3.垂足:
两条垂线的交点叫垂足。
4.垂线特点:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5.点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
6、垂直的表示方法:
垂直用符号“⊥”来表示,若“直线AB垂直于直线CD,垂足为O”,则记为AB⊥CD。
7、垂线的性质:
性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
性质3:
如图2所示,当a⊥b时,====90°。
反之,。
。
。
。
。
三、同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成8个角。
(3线8角)
1.同位角:
(在两条直线的同一旁,第三条直线的同一侧)在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。
如:
∠1和∠5。
2.内错角:
(在两条直线内部,位于第三条直线两侧)在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如:
∠3和∠5。
3.同旁内角:
(在两条直线内部,位于第三条直线同侧)在两条直线之间,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
如:
∠3和∠6。
5.2平行线及其判定
(一)平行线
1.平行:
两条直线不相交。
互相平行的两条直线,互为平行线。
a∥b(在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
)?
2.平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论:
平行于同一直线的两条直线互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c
(二)平行线的判定:
1.两条平行线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
(同位角相等,两直线平行)
2.两条平行线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。
(内错角相等,两直线平行)
3.两条平行线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
(同旁内角互补,两直线平行)
4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a∥b,a∥c,则 b ∥ c 。
推论:
在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。
5.3平行线的性质
(一)平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
(两直线平行,同位角相等)
2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
(两直线平行,内错角相等)
3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
(两直线平行,同旁内角相等)
(二)命题、定理、证明
1.命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题。
?
2.命题的组成:
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果?
?
,那么?
?
”的形式。
具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
3.真命题:
正确的命题,题设成立,结论一定成立。
?
4.假命题:
错误的命题,题设成立,不能保证结论一定成立。
5.定理:
经过推理证实得到的真命题。
(定理可以做为继续推理的依据)
6.证明:
推理的过程叫做证明。
5.4平移
1.平移:
平移是指在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做平移变换(简称平移),平移不改变物体的形状和大小。
2.平移的性质?
①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
?
②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点。
连接各组对应点的线段平行且相等。
①对应点的连线平行且相等;②对应线段相等;③对应角相等。
第六章实数
6.1平方根
1、平方根
(1)平方根的定义:
如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即:
如果
,那么x叫做a的平方根.
(2)开平方的定义:
求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
(3)平方与开平方互为逆运算:
3的平方等于9,9的平方根是
3
(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算;
0的平方根是0.
(5)符号:
正数a的正的平方根可用
表示,
也是a的算术平方根;
正数a的负的平方根可用-
表示.
(6)
<—>
a是x的平方x的平方是a
x是a的平方根a的平方根是x
2、算术平方根
(1)算术平方根的定义:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即
,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为
,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:
0的算术平方根是0.
也就是,在等式
(x≥0)中,规定
。
(2)
的结果有两种情况:
当a是完全平方数时,
是一个有限数;
当a不是一个完全平方数时,
是一个无限不循环小数。
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小
(5)
(x≥0)<—>
a是x的平方x的平方是a
x是a的算术平方根a的算术平方根是x
(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
(
0)
;注意
的双重非负性:
-
(
<0)
0
(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:
区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
6.2立方根
(1)立方根的定义:
如果一个数x的立方等于
,这个数叫做
的立方根(也叫做三次方根),即如果
,那么
叫做
的立方根。
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
(2)一个数
的立方根,记作
,读作:
“三次根号
”,
其中
叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。
(3)一个正数有一个正的立方根;
0有一个立方根,是它本身;
一个负数有一个负的立方根;
任何数都有唯一的立方根。
(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即
。
(5)
<—>
a是x的立方x的立方是a
x是a的立方根a的立方根是x
(6)
,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
6.3实数
一、实数的概念及分类
无理数:
像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数。
实数:
有理数和无理数统称实数。
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数或无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
正实数
实数0
负实数
整数包括正整数、零、负整数。
零和正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如
等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如
+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
数a的相反数是—a,这里a表示任意一个实数。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4.实数与数轴上点的关系:
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,
数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,
实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做
的形式,其中
,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。
四、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
(3)求商比较法:
设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则
。
(5)平方法:
设a、b是两负实数,则
。
五、实数的运算
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定?
实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算。
同级运算时,从左到右依次进行;不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减;运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则是什么?
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:
第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数;第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数,商都是零。
8、什么叫有理数的乘方?
幂?
底数?
指数?
相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。
记作:
an
9、有理数乘方运算的法则是什么?
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?
去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
第七章平面直角坐标系
7.1平面直角坐标系
(一)有序数对
1.有序数对:
用两个数来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的意义,我们把这种有顺序的两个数组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b)?
2.坐标:
数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示,这个数(或数对)叫做这个点的坐标。
?
(二)平面直角坐标系
1.平面直角坐标系:
在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点的数轴。
这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系,简称直角坐标系。
2.X轴:
水平的数轴叫X轴或横轴。
向右方向为正方向。
3.Y轴:
竖直的数轴叫Y轴或纵轴。
向上方向为正方向。
4.原点:
两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。
对应关系:
平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
坐标:
对于平面内任一点P,过P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别在x轴,y轴上,对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
(三)象限
1.象限:
X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分,也叫四个象限。
右上面的叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。
一般,在x轴和y轴取相同的单位长度。
2.象限的特点:
?
1、特殊位置的点的坐标的特点:
(1)x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。
(2)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
(3)在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;
如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
?
2、点到轴及原点的距离:
点到x轴的距离为|y|;?
点到y轴的距离为|x|;
点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号;?
3、三大规律
(1)平移规律:
点的平移规律左右平移→纵坐标不变,横坐标左减右加;
上下平移→横坐标不变,纵坐标上加下减。
图形的平移规律找特殊点
(2)对称规律
关于x轴对称→横坐标不变,纵坐标互为相反数;
关于y轴对称→横坐标互为相反数,纵坐标不变;
关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。
(3)位置规律
各象限点的坐标符号:
(注意:
坐标轴上的点不属于任何一个象限)
第二象限第一象限
(—,+)(+,+)
第三象限第四象限
(—,—)(+,—)
7.2坐标方法的简单应用
(一)用坐标表示地理位置的过程:
1.建立坐标系,选择一个合适的参照点为原点,确定X轴和Y轴的正方向。
2.根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度。
3.在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
(二)用坐标表示平移
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就把原图形向右(左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移a个单位长度。
第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程组
1.二元一次方程:
含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1,这样的整式方程叫做二元一次方程。
?
2.方程组:
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程的解:
一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解:
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
8.2消元——解二元一次方程组
二元一次方程组有两种解法:
一种是代入消元法,一种是加减消元法.
1.代入消元法:
用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
观察方程组中,是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数,如果有,则将它直接代入另一个方程中;如果没有,则将其中一个方程变形,用含一个未知数的式子表示另一个未知数;再将表示出的未知数代入另一个方程中,从而消去一个未知数,求出另一个未知数的值,将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值。
2.加减消元法:
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程。
方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使同一个未知数的系数相等或互为相反数;
(2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数;(3)解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;(4)将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值,从而得到原方程组的解。
3、三元一次方程组的解法
三元一次方程组:
方程组含有三个未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程组,像这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组的一般步骤:
①观察方程组中未知数的系数特点,确定先消去哪个未知数;②利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程,与另外两个方程分别组成两组,消去同一个未知数,得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组;③解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中,求出第三个未知数的值,从而得到原三元一次方程组的解。
8.3实际问题与二元一次方程组
实际应用:
审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。
关键:
找等量关系
常见的类型有:
分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题
顺流逆流公式:
第九章不等式与不等式组
9.1不等式
一、不等式及其解集
1.不等式:
用不等号表示不等关系的式子叫不等式,不等号主要包括:
>、<、≥、≤、≠。
2.不等式的解:
使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解。
3.不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
二、不等式的性质:
性质1:
如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).?
?
性质2:
不等式的两边同加(减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).?
性质3:
?
不等式的两边同乘(除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式的两边同乘(除以)同一个负数,不等号的方向改变。
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac性质4:
如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.?
(不等式的加法法则)?
性质5:
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.?
(可乘性)?
性质6:
如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0(乘方法则)?
9.2一元一次不等式
1.一元一次不等式:
含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式。
2.?
不等式的解法:
步骤:
:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1。
这与解一元一次方程类似,在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。
注意:
去分母与系数化为一要特别小心,因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数,要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。
9.3一元一次不等式组
1.一元一次不等式组:
一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
2.不等式组的解:
几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的不等式组的解集。
解不等式组就是求它的解集。
3.解不等式组:
先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
解一元一次不等式组的一般步骤:
①求出这个不等式组中各个不等式的解集;②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,得到这个不等式组的解集。
如果这些不等式的解集的没有公共部分,则这个不等式组无解(此时也称这个不等式组的解集为空集)。
求出各个不等式的解集后,确定不等式组的解的口诀:
大大取大,小小取小,大小小大取中间,大大小小无处找。
以两条不等式组成的不等式组为例,
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左,就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右,就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集,此乃“同大取大”?
③若两个未知数的解集在数轴上相交,就取它们之间的值为不等式组的解集。
若x表示不等式的解集,此时一般表示为a<x<b,或a≤x≤b。
此乃“相交取中
④若两个未知数的解集在数轴上向背,那么不等式组的解集就是空集,不等式组无解。
此乃“向背取空”?
不等式组的解集的确定方法(a>b):
不等式组
在数轴上表示的解集
解集
口诀
x>a
x>b
x>a
同大取大;
x<b
x<a
a
b
x<b
同小取小;
x>b
x<a
b<x<a
相交取中;
x>a
x<b
空集
向背取空。
第十章数据的收集、整理与描述
全面调查:
考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
抽样调查:
调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
总体:
要考察的全体对象称为总体。
个体:
组成总体的每一个考察对象称为个体。
样本:
被抽取的所有个体组成一个样本。
样本容量:
样本中个体的数目称为样本容量。
频数:
一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
频率:
频数与数据总数的比为频率。
组数和组距:
在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。
1、数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。
(1)通过调查收集数据的一般步骤:
①明确调查问题?
?
?
②确定调查对象?
?
?
③选择调查方法④展开调查⑤记录结果⑥得出结论
(2)收集数据常用的方法:
①民意调查:
如投票选举②实地调查:
如现场进行观察、收集、统计数据③媒体调查:
报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查。
2、数据的表示方法:
(1)统计表:
直观地反映数据的分布规律
(2)折线图:
反映数据的变化趋势
(3)条形图:
反映每个项目的具体数据(4)扇形图:
反映各部分在总体中所占的百分比
(5)频数分布直方图:
直观形象地反映频数分布情况6)频数分布折线图:
在频数分布直方图的基础上,取每一个长方形上边的中点,和左右频数为零与直方图相距半个组距的两个点
3、调查方式:
(1)全面调查,优点是可靠,、真实;
(2)抽样调查,优点是省时、省力,减少破坏性;随机抽样调查具有广泛性和代表性。
。
4、总体和样本:
(1)总体:
要考察的所有对象
(2)个体:
组成总体的每一个考察对象
(3)样本:
从总体中抽出的所有实际被调查的对象组成一个样本。
(4)样本容量:
样本中给个体的数目
5、组距:
每个小组两个端点之间的距离
6、画直方图的一般步骤:
(1)计算最大值与最小值的差;
(2)决定组距与组数,先根据数据个数确定组距,再计算组数,
注意无论整除与否,组数总是比商的整数位数多1;
(3)确定分点,并分组;
(4)列频数分布表;
(5)绘制频数分布直方图