机器人速度运动学.docx
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机器人速度运动学
机器人速度运动学
《机器人原理与应用》
第五章速度运动学授课教师:
闻时光东北大学人工智能与机器人研究所
20XX年/7/4
第五章速度运动学
本章将进一步讨论运动的几何学及与时间有关的量,即讨论机器人的速度运动学问题。
速度运动学问题重要是因为操作机不仅需要达到某个(或一系列的)位置,而且常需要它按给定的速度达到这些位置。
主要内容:
5.1操作机的微分移动5.2微分转动的两个定理5.3微分算子5.4雅可比矩阵及其变换5.5雅可比矩阵的力学意义
20XX年/7/4
第五章速度运动学
5.1操作机的微分移动所谓微分运动指的是无限小的运动,即无限小的移动和无限小的转动。
它既可以用指定的当前坐标系来描述,也可以用基础坐标系来描述。
对于微分移动(平动)的齐次变换矩阵T可表示为10Trans(dx,dy,dz)=0001000dx0dy1dz01
式中dx,dy,dz是微分位移矢量在基础坐标系或当前坐标系的分量。
20XX年/7/43
第五章速度运动学
5.2微分转动的两个定理若绕x轴转微小θ角表示为δx,并考虑,sinδx=δxcosδx=1则对x,y,z多轴微分转动的齐次变换矩阵R应该有如下形式:
1001Rot(x,δx)=0δx000δx100001
10Rot(y,δy)=δy0δ10000100001
0δy100010
0001
1δRot(z,δz)=z00
z
20XX年/7/4
第五章速度运动学
1δzδδ+δ1δxδyδzzxyRot(x,δx)Rot(y,δy)Rot(z,δz)=δy+δxδzδyδz+δx00
δyδx10
0001
1δ=zδy0
δ1δx0
z
δyδx10
0001
上面的近似等式是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。
20XX年/7/4
第五章速度运动学
定理1绕任意单位向量K=[Kx,Ky,Kz]T转动δθ的微分转动等δδ效于绕轴x,y,z的3个微分转动δx,y,z,并有_
δx=Kxδθ
δy=Kyδθ
δz=Kzδθ
于是总的转动微分Rot(K,δθ)可由如下的齐次矩阵描述Rot(K,δθ)=Rot(x,δx)Rot(y,δy)Rot(z,δz)1Kδθ=zKyδθ0Kzδθ1Kxδθ0KyδθKxδθ100010
20XX年/7/4
第五章速度运动学
定理2
微分转动与微分转动的次序无关0δx10δxδy1δx0
证明:
取以下的两个相继微分转动,则有1001Rot(x,δx)Rot(y,δy)=0δx0010Rot(y,δy)Rot(x,δx)=δ0
y
01000
δy10δy0δx01001
0δy100100
010δxδy=0δy10
01δx0
δyδx10
0001
略去二阶无穷小量后得:
Rot(x,δx)Rot(y,δy)=Rot(y,δy)Rot(x,δx)20XX年/7/47
第五章速度运动学
5.3微分算子已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵T来描述,经过微分运动后变为T+dT。
应用相对于基础坐标系的左乘法则,T+dT可以表示为:
T+dT=Trans(dx,dy,dz)Rot(K,dθ)T得
dT=[Trans(dx,dy,dz)Rot(K,dθ)I]T0δ=z-δy0δz0δx0δy-δx00dxdydz0
定义微分算子=Trans(dx,dy,dz)Rot(K,dθ)I
得20XX年/7/4
dT=T
第五章速度运动学01T=000010100052,01
例:
设操作机的位姿为
求先实施转动Rot(x,0.1),再实施移动Trans(1,0,0.5)的微分运动dT,以及其后操作机的新位姿T+dT。
δδ解:
由于δx=0.1,dx=1;y=0,dy=0;z=0,dz=0.50100000.10=00.100.50000
由定义式得:
20XX年/7/4
第五章速度运动学
则
01000000.101dT=T=00.5000.100000
0010
1000
500200.1=00.10100
010000.700
操作机实施微分运动后的新位姿为:
01T+dT=0000101000500200.1+00.1010000100010.1=00.70.110000160200.701
20XX年/7/4
第五章速度运动学
5.4雅可比矩阵及其变换5.4.1雅可比矩阵考虑操作机的手爪位姿r和关节变量θ的关系用正运动r学方程=f(θ)表示的情况。
对于6关节的操作机r=f(θ),有
r1=f1(θ1,θ2....θ6),……,r6=f6(θ1,θ2....θ6)
dθdr=Jdtdt到基坐标速度的变换。
20XX年/7/4
f(θ1,θ2,θ6)J=θT
J即为著名的雅可比矩阵。
通过J可以实现从关节速度
第五章速度运动学
f1f1θθ展开为:
J=12f6f6θθ21
f1θ6=Jijf6θ6
[]
6×6
fiJij=θj
同样对于m×n维的空间的机器人,其雅可比矩阵f1f1θθ21J=fmfmθθ2120XX年/7/4
f1θn=Jijfmθn
[]
m×n
ωn
第五章速度运动学
雅可比矩阵的一
般形式:
一般地,对于n个自由度的机械手末端手爪的角速度和线速度,在基坐标系中的描述记为ωn,νn。
如果写成一个向量
νnx=ωn具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式
x=J(Θ)Θ其中,Θ为n×1的机械手关节(旋转或平移关节)的位移向量。
雅可比矩阵J(Θ)表明了机械手关节速度与末端(手爪)直角坐标速度之间的线性变换关系。
20XX年/7/413
第五章速度运动学
5.4.2雅可比逆矩阵当机械手有六个自由度时,雅可比矩阵J(Θ)为6×6方阵。
如果J(Θ)可逆,那末只要给定机械手末端的直角坐标速度,就可以求得相应的关节速度
=J1(Θ)xΘ但是,雅可比矩阵J(Θ)是随着机械手的形态变化的,某些形态下的Θ值就可能使J(Θ)成为奇异,这时的机械手末端位置称之为机械手的奇异点。
当机械手处于奇异形态时,它在直角坐标空间的自由度就有所减少,这意味着在直角坐标空间的某些方向上,无论选取什么样的关节速度,机械手都不能沿着那些方向运动。
奇异点可能处于机械手工作空间的边界或工作空间内部。
20XX年/7/414
第五章速度运动学
5.4.3θr操作机的雅可比矩阵及其逆矩阵xr根据雅可比矩阵的定义式有:
=Jyθ
θr操作机x=rcosθ对于y=rsinθ
则
cosθJ=sinθ
rsinθrcosθ
xcosθy=sinθ20XX年/7/4
rsinθrrcosθθ15
第五章速度运动学
求雅可比逆矩阵由θr操作机几何关系得:
r2=x2+y2对t求导得另外,有对t求导得
xyxy1x+y=2x+2yθ=22rrr2rx2x2xx
xyr=x+yrr1rysecθ==tgθ=xcosθ
则
xrrθ=yr2
yrxxyr2
xr1J=y2r
yrx2r16
20XX年/7/4
第五章速度运动学
例5-1试求图所示的2自由度机械手的雅可比矩阵解:
YL2θ2L1o
x=L1c1+L2c12y=L1s1+L2s12xx=L1s1L2s12,=L2s12θ1θ2yy=L1c1+L2c12,=L2c12θ1θ2
θ1X
L1s1L2s12得J=L1c1+L2c12
L2s12L2c12
20XX年/7/4
第五章速度运动学
5.4.4
雅可比矩阵的物理意义rYJ2θ2PE,1L1J1θ1PE,2
以上述例题为例:
将雅可比矩阵定义为列向量J=[J1,J2]有Ji∈R2×1
r=J1θ1+J2θ2π
L2
θ2关节2
J1和J2分别为PE1和PE2
反
时针转动
2
而成。
关节1
θ1
X
20XX年/7/4
第五章速度运动学xrr例5-2:
已知:
θ=yr2yrxxy,当手部沿着y=1的直线以均速2rθr,表示为x的函数。
x=1运动,试将
解:
已知y=1,则y=0,又知x=1,则由已知矩阵式可知
r=
xx=r
xx2+y2
x=
xx2+1
θ=
yy1x=2x=2r2x+y2x+1
分析:
当x=0时,θ=θmax=1。
又因为已假设了y=1,以致r≠0,即操作机手臂长度不为零,上式分母不为零,不会出现奇异问题。
20XX年/7/419
第五章速度运动学
由以上分析可以得出两点结论:
θ
(1)对于J,当r趋于0时,r操作机出现奇异问题。
此时操作机失控,即遇到速度趋于无穷大的困难。
此时,若x或y为有限值时,r和θ趋于无穷大。
事实上r=0的条件是很容易辨别和避免的;1
(2)由以上θr操作机的雅可比矩阵及其逆阵的推导可以看出,当操作机具有6关节时,雅可比矩阵的推导将会更加复杂。
20XX年/7/4
第五章速度运动学
5.5雅可比矩阵的力学意义类似于速度的雅可比矩阵形式,我们也可以得到一个力域中的雅可比矩阵形式,而且可以证明,在此,速度雅可比矩阵是以转置的形式出现的
τ=J(Θ)ξT
其中,τ为n×1向量,表示n个关节上的平衡力/平衡力矩,而ξ为作用在手爪上的直角坐标力/力矩形成的6×1向量。
因此,实际上JT(Θ)表示把手爪上的直角坐标力/力矩映射为等价的关节力/关节力矩。
20XX年/7/421