《平方差教学设计及反思》.docx

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《平方差教学设计及反思》

“平方差公式”教学设计及反思

一、教材分析：

（一）教材的地位与作用。

《平方差公式》是北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（下）第一章《整式的运算》第七节的内容。

平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。

本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。

它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。

（二）教学重难点、关键：

1、重点：

平方差公式的探索和应用。

2、难点：

理解平方差公式的结构特征，准确找到a，b。

二、目标分析：

学生在前一节课中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出（a+b）（a-b）=a2-b2，但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式是难点，所以应该进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。

因此我觉得本节课应关注学生对公式的探索过程，让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，有意识的培养学生的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。

参照《数学课程标准》的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维特征，确定本节课的教学目标如下：

（1）知识与技能目标：

了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。

（2）过程与方法目标：

经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式，进而感受数形结合思想。

（3）情感态度目标：

让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能力。

三、教学过程：

（一）回顾复习

【问题一】：

回忆多项式乘多项式的运算法则

【算一算】：

看谁算的又快又准

（1）（x+2）（x-2）

（2）（1+3a）（1-3a）

（3）（x+5y）（x-5y）（4）（3y+z）（3y-z）

学生活动：

快速计算这四道题，为后面讨论做准备。

（点评：

提供一组与推导平方差公式有关的计算题，让学生运算并比速度，目的在于调动学生学习和探究的积极性，为建立公式搭建平台。

）

（二）自主探究

【问题二】：

按说两个二项式相乘，应得到四项，为什么这四道题结果只有两项呢？

（点评：

这个问题虽说很简单，但不能小看它的作用，第一，它让学生的思想在问题的启发下变得活跃；第二，为后面的探究活动作一铺垫。

）

【问题串】：

（1）等式左边的两个多项式有什么特点？

（2）等式右边的多项式有什么规律？

（3）你能从中猜想出一般性的结论吗？

学生活动：

小组合作，解决上面三个问题。

并向全班汇报自己小组讨论的成果，提出猜想（a+b）（a-b）=a2-b2。

（点评：

根据上面的运算，提出三个问题，引领学生的探究方向，让学生带着问题探究，进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。

）

（三）证明猜想

【代数证明】：

运用多项式乘多项式的运算法则证明猜想

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2

【归纳公式】：

得出平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

学生活动：

尝试用所学知识证明这一猜想，并用自己的语言叙述平方差公式。

（点评：

让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，用所学知识解决问题，有意识的培养学生的推理能力和语言表达能力，从而真正理解公式的来源。

）

（四）几何解释

【问题三】在一块边长为acm的正方形纸板上，因实际需要在一角上剪去一块边长为bcm的正方形，剩下部分的面积是多少平方厘米？

方法一：

用大正方形面积减去小正方形面积，即a2-b2

方法二：

割补法。

可以把剩下的部份分割成两个矩形，然后拼成一个矩形来计算。

得到新矩形的面积为（a+b）（a-b）

利用面积相等推得平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

学生活动：

教师启发引导，演示剪拼动画，学生动脑思考。

（点评：

让学生用面积相等来验证平方差公式的准确性，更好地理解和掌握公式，培养学生多角度思考问题的习惯，教会学生一种计算面积的方法——割补法，渗透数形结合思想。

）

（五）公式分析

【问题四】使用平方差公式可以简化运算，那什么样的多项式相乘才能用平方差公式来计算呢？

也就是说，平方差公式具有什么样的特征？

（1）公式的结构特征：

公式左边的两个二项式必须是相同两项的和与差相乘；且两括号内的一项完全相同，另一项只有符号不同。

公式右边是这两数的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。

（2）字母的广泛含义：

公式中的a，b可以表示数，也可表示单项式或多项式（即a，b表示代数式），只要符合公式的结构特征，就可用此公式来计算。

学生活动：

尝试用语言来叙述，总结公式的结构特征，并加以理解掌握，以便能够准确运用。

（点评：

理解并掌握公式的结构特征，是这节课的重点，也为下一个环节：

平方差公式的准确应用打下基础。

因此，应让学生充分思考，体会，发表自己的看法，达到真正理解的目的。

）

（六）知识运用

【试一试】：

寻找a，b

现在我们已经知道什么样的运算可以用平方差公式来做了，那么下一步的关键是要解决什么问题？

运算的结果是a2-b2，要套用公式，必须要知道谁是a，谁是b。

（a+b）（a-b）

a

b

 a2-b2

最后结果

（2+y）（2-y）

（1+5b）（1-5b）

（2m+3n）（2m-3n）

（-x+1）（x+1）

反思：

如何寻找a，b？

两个多项式中，a前的符号相同，b前的符号相反。

找a，b的关键是找符号相同的项和符号相反的项。

谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为准。

学生活动：

思考，口答，填充表格，总结规律。

（点评：

以填表的形式让学生初步尝试运用公式，分清结构，找准a、b，学会公式的应用，有效地进行难点突破。

）

【学一学】：

例题讲解

例1运用平方差公式计算：

（1）（5+6x）（5-6x）

（2）（x-2y）（x+2y）（3）（-m+n）（-m-n）

例2运用平方差公式计算

（1）（

x-y）（

x-y）

（2）（ab+8）（ab-8）（3）（m+n）（m-n）+3n2

学生活动：

在教师板书例题格式后，独立练习。

并有同学上台板演。

（点评：

通过两组例题，逐渐加深题目难度，让学生能够熟练利用公式计算，从而完善学生认知结构。

同时，让学生初步感知换元、整体代换的思想方法，通过思考解法的多样性，培养学生的创新精神。

）

【练一练】：

判断正误

（1）（-a-b）（a-b）=-a2+b2

（2）（-a+b）（a-b）=-a2-b2

（3）（2x+3）（3-2x）=2x2-9（4）（y3+z3）（y3-z3）=y9-z9

（5）（x2+y）（x-y2）=x3-y3

学生活动：

独立思考，举手回答，在疑难处进行适当讨论。

（点评：

通过练习，帮助学生总结解决问题过程中的经验教训，理顺思路。

从而进一步明确平方差公式的结构特征，完善学生的认知结构。

）

【想一想】：

思维拓展

（1）（b2+2a3）（2a3-b2）

（2）（x+y+a）（x+y-1）

（3）（x+y）（x-y）（x2+y2）

（4）在（-3a+2b）（）的括号内，填入怎样的式子，才能用平方差公式计算。

（点评：

通过拓展练习，提高学生认知水平，进一步深化对平方差公式的理解，培养学生逆向思维和发散思维能力。

）

（七）反思小结

【说一说】：

通过本节课的学习，你有何收获？

学生活动：

认真回顾，总结本节课所学到的知识及数学思想方法。

（点评：

小结是构建和完善学生认知结构的重要环节，先让学生总结本节课收获，教师对公式的掌握和运用作最后强调。

）

四、教学反思

这一课时的重点是要学生明白平方差公式的推导，并能应用平方差公式简化运算。

而其中的关键是要学生明确平方差公式的结构特征，准确找到a、b。

为了让学生对平方差公式有个全面的认识和了解，我在教学设计方面打破了教材原来的安排，把第二课时中的几何解释融入第一课时。

先让学生从代数的角度入手，利用多项式乘多项式的知识，推导出平方差公式，紧接着从几何角度加以解释。

在此基础上，通过分析公式的结构特征，加深对公式的理解。

之后，设计了一个“寻找a、b”的环节，通过这个练习进行难点突破。

引导学生反思练习过程，得出“谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为准”这一结论。

紧接着给出两组例题，考察学生对公式的应用。

最后通过一组判断题和补充练习，拓展学生的思维水平。

整节课在备课及教学过程中有很多得失：

1．在备课方面，备的比较细，发现了教材中的一些问题，并在教学设计时尝试解决。

比如，为了给学生渗透数形结合的思想，要从代数、几何两个角度证明平方差公式，但是从哪个角度入手，有利于知识的衔接，便于学生理解，我设计了好几种方案，通过与其他老师的讨论，最终决定给让学生猜想结论，再用代数方法加以证明，后给出几何解释，符合知识的发生过程；课本中的公式文字说明是“两数和与这两数差的积”，仅这几个字，我就有两个疑问：

第一，在对公式理解时就强调“a、b不仅表示一个数或字母，还可以表示代数式”。

但这里说的是“两数”。

经过张老师的点拨我才明白，因为所有的规律最初都是在具体的数字中发现的，然后才推广到字母。

所以这里说的数不再是具体的数，而是代表一个整体；第二，公式中说的“两数和与两数差的积”，从这个角度说，这两项应是完全相同的，差别只在于运算符号上。

但由于我们之前介绍过“代数和”，（a+b）（a-b）也可以理解为（a+b）[a（-b）]，就像许多教参上说的，是相同项与互为相反数的项，这样就与课本定义发生矛盾。

为了避免这个问题，我在介绍公式结构特征时，只说“有一项完全相同，另一项只有符号不同”，学生可以自己去理解；课本在给出几何背景时也不是很合理，它先给出“大正方形一角剪去一个小正方形”，学生很容易看出其面积为

，之后通过割补法，把它拼接成一个规则的矩形，其面积为（a+b）（a-b），按这个逻辑关系得到的结论是

。

因为学生还不知道“因式分解”，在他们看来等号左边等于右边，右边等于左边，无所谓，但实际含义却不一样。

为了解决这个问题，我也思考了好久，最终在幻灯片制作方面做了些处理。

可能在整个备课过程中，我是抠的太细，有些钻牛角尖了。

但在这个思考，推敲过程中，我确实进步了很多，为教材的理解又深入了一层。

2．在上课过程中，前半部分知识讲解时基本上符合自己的预想，知识衔接比较紧密，过渡自然。

讲解时尽量让自己的语言简洁，但由于有些紧张，中间有两次停顿。

3．我自己比较满意的地方在“难点突破”方面。

要运用平方差公式，关键要正确地找到a、b，因此设计了一个寻找a、b的环节，让学生通过练习，自己发现a、b的重要性以及寻找a、b的方法。

总体说来，这节课基本达到了我预期的教学目标，但还有许多方面自己很不满意，希望在以后的教学工作中改进提高。

1．课堂节奏把握不好。

在判断正误这一环节，由于学生理解不是很到位，讨论讲解花费了很多时间，导致后面的拓展题目没有时间完成，并且出现脱堂现象。

2．在习题讲解方面有些罗嗦。

为了强调a、b的重要性，每道题都要指出什么是a，什么是b，这个地方不应作过多的强调，而应该给他们一些时间，让他们在今后的学习过程中自己去感悟。

3．在启发、引导学生的语言方面不够准确。

比如，在引导学生总结的公式结构特征时，没有明确说明意图，学生不知道说什么。

而我自己在解释时，说的也不是很到位。

这也是一名新教师必然面对的问题。

应抽时间充电，多看书，提高自己的内在修养，丰富教学语言。

4．在调动学生方面有些欠缺，应多说些鼓励性的话，调动课堂气氛及学生的积极性。

5．在以后的教学中，培养教育机智。

碰到学生的反映超出自己的预想时，能够灵活处理。