拔高教育K12课标通用高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布115古典概型学案理.docx
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拔高教育K12课标通用高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布115古典概型学案理
§11.5 古典概型
考纲展示►
1.理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率．
考点1 古典概型的简单问题
1.基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是________的．
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成________的和．
答案：
（1）互斥
（2）基本事件
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（1）试验中所有可能出现的基本事件________．
（2）每个基本事件出现的可能性________．
答案：
（1）只有有限个
（2）相等
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）＝________.
答案：
4．古典概型的概率计算公式
P（A）＝________________.
答案：
（1）[教材习题改编]从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，基本事件共有________个．
答案：
6
解析：
基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，共6个．
（2）[教材习题改编]抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现正面朝上的点数大于2且小于5的概率为__________．
答案：
解析：
抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现点数1,2,3,4,5,6，共6个基本事件，其中正面朝上的点数大于2且小于5的有3,4，共2个基本事件，所以P＝＝.
古典概型：
关键在于基本事件的计数．
从1,3,5,7中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是__________．
答案：
解析：
由题意知，“从1,3,5,7中任取2个不同的数”所包含的基本事件为（1,3），（1,5），（1,7），（3,5），（3,7），（5,7），共6个，满足条件的事件包含的基本事件为（1,5），（1,7），（3,7），共3个，所以所求的概率P＝＝.
[典题1]
（1）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球、5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为（ ）
A.B.C.D．1
[答案] B
[解析] 从15个球中任取2个球共有C种取法，其中有1个红球、1个白球的情况有CC＝50（种），所以P＝＝.
（2）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：
（单位：
人）
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
①从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
[解] ①由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15（人），
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
②从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
[点石成金] 古典概型中基本事件的两种探求方法
（1）列举法
适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况．
（2）树状图法
适合较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同；有时也可以看成是无序的，如（1,2）和（2,1）相同．
考点2 较复杂古典概型的概率
古典概型：
基本事件的个数；古典概型概率公式．
（1）[2015·云南昆明模拟]抛掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为__________．
答案：
解析：
抛掷两颗相同的正方体骰子，共有36种等可能的结果：
（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）．点数之积等于12的结果有（2,6），（3,4），（4,3），（6,2），共4种，故所求事件的概率为＝.
（2）小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是__________．
答案：
解析：
由2,4,6,8可以组成24个四位数（每个数位上的数都不相同），其中只有一个能打开锁，能打开锁的概率为，所以不能打开锁的概率为1－＝.
[典题2] 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．
[解]
（1）由题意，参加集训的男生、女生各有6名．
参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝，
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
（2）设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.
则P（B）＝＝，P（C）＝＝.
由互斥事件的概率加法，得
P（A）＝P（B）＋P（C）＝＋＝，
故所求事件的概率为.
[点石成金] 1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
2．注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.
为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．
（1）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
（2）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．
解：
（1）由题意，得省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．
设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，
则P（A）＝＝，
所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是.
（2）设事件B为“采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等”，可以分为事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况．
则P（B）＝P（B1）＋P（B2）＝＋＝，
所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是.
考点3 古典概型的交汇命题
[考情聚焦] 古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．
主要有以下几个命题角度：
角度一
古典概型与平面向量相结合
[典题3] 已知向量a＝（x，－1），b＝（3，y），其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3,9}．
（1）求a∥b的概率；
（2）求a⊥b的概率．
[解] 由题意，得（x，y）所有的基本事件为（－1,1），（－1,3），（－1,9），（1,1），（1,3），
（1,9），（3,1），（3,3），（3,9），共9个．
（1）设“a∥b”为事件A，则xy＝－3.
事件A包含的基本事件有（－1,3），共1个．
故a∥b的概率为P（A）＝.
（2）设“a⊥b”为事件B，则y＝3x.
事件B包含的基本事件有（1,3），（3,9），共2个．
故a⊥b的概率为P（B）＝.
角度二
古典概型与直线、圆相结合
[典题4] [2017·河南洛阳统考]将一颗骰子先后抛掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆（x－2）2＋y2＝2有公共点的概率为________．
[答案]
[解析] 依题意，将一颗骰子先后抛掷两次得到的点数所形成的数组（a，b）有（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6），共36种，
其中满足直线ax＋by＝0与圆（x－2）2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a2≤b2的数组（a，b）有（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），…，（6,6），共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（种），
因此所求的概率为＝.
角度三
古典概型与函数相结合
[典题5] 已知关于x的一元二次函数f（x）＝ax2－4bx＋1.
（1）设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率．
[解]
（1）∵函数f（x）＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，
要使f（x）＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞）上为增函数，
当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，则b＝－1；
若a＝2，则b＝－1,1；
若a＝3，则b＝－1,1.
∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，
∴所求事件的概率为＝.
（2）由
（1）知，当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞）上为增函数，
依条件可知，试验的全部结果所构成的区域为.
由得交点坐标为，
∴所求事件的概率为P＝＝.
角度四
古典概型与统计相结合
[典题6] 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制成频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50），[50,60），…，[80,90），[90,100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50）的概率．
[解]
（1）因为（0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，所以a＝0.006.
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022＋0.018）×10＝0.4，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
（3）受访职工中评分在[50,60）的有50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50）的有50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．
又因为所抽取2人的评分都在[40,50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.
[点石成金] 解决与古典概型交汇命题的关注点
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
[方法技巧] 1.确定基本事件的方法
（1）当基本事件总数较少时，可用列举法计算；
（2）当基本事件总数较多时，可用列表法、树状图法．
2．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．
3．概率的一般加法公式：
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）．
公式使用中要注意：
（1）公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A，B互斥，此时P（A∩B）＝0，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；
（2）要计算P（A∪B），需要求P（A）、P（B），更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；（3）该公式可以看作一个方程，知三可求一．
[易错防范] 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．
真题演练集训
1．[2016·江苏卷]将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
答案：
解析：
解法一：
将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为＝.
解法二：
将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和不小于10的有（6,6），（6,5），（6,4），（5,6），（5,5），（4,6），共6种，故所求概率为1－＝.
2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评
分分组
[50,60）
[60,70）
[70,80）
[80,90）
[90，
100]
频数
2
8
14
10
6
（1）在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）．
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
②
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？
说明理由．
解：
（1）如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：
“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：
“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图，得P（CA）的估计值为（0.01＋0.02＋0.03）×10＝0.6，P（CB）的估计值为（0.005＋0.02）×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
3．[2016·天津卷]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：
（1）由已知，有P（A）＝＝.
所以事件A发生的概率为.
（2）随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
随机变量X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＝1.
课外拓展阅读
古典概型与平面向量、几何、统计等知识的综合
古典概型的考查可以和平面向量、几何、统计等知识相互交汇，在解题中要重视古典概型的计算，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后正确使用古典概型的概率计算公式进行计算．
[典例1] 甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条，则这2条棱互相垂直的概率为（ ）
A.B.C.D.
[思路分析]
[解析] 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝81（种）结果，满足条件的事件是这两条棱互相垂直，所有可能情况是：
当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边，则共有20种结果；
当甲选底面上的一条斜边时，乙有3种选法，共有2条底面的斜边，则共有6种结果；
当甲选一条侧棱时，乙有6种选法，共有3条侧棱，则共有18种结果，
综上所述，共有20＋6＋18＝44（种）结果，
故2条棱互相垂直的概率是.
[答案] C
温馨提示
以棱柱、棱锥及异面直线、距离等立体几何知识为载体的古典概型求解是高考中的重要题型，题目综合性较强，有一定的难度，解题的关键是要考虑所有的位置关系．
[典例2] 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝（m，n），b＝（1,3）．
（1）求使得事件“a∥b”发生的概率；
（2）求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
[解]
（1）由题意知，
m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}．
故（m，n）所有可能的取法共36种．
由a∥b，得n＝3m，
则（m，n）的取法共有2种，即（1,3），（2,6）．
所以事件“a∥b”发生的概率为＝.
（2）由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，
则（m，n）的取法共有6种，
即（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1）．
所以事件“|a|≤|b|”发生的概率为＝.
[典例3] 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：
分钟）作为样本分成5组，如下表所示：
组别
候车时间
人数
一
[0,5）
2
二
[5,10）
6
三
[10,15）
4
四
[15,20）
2
五
[20,25]
1
（1）求这15名乘客的平均候车时间；
（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．
[思路分析]
[解]
（1）×（2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1）＝×157.5＝10.5，
故这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟．
（2）由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为＝，
所以候车时间少于10分钟的人数为60×＝32.
（3）将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.
从6人中任选2人的所有可能情况为（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共15种，
其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况，
故所求概率为.
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