小升初数学培优提高思维训练.docx
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小升初数学培优提高思维训练
小升初数学培优提高思维训练
1、下面的图形中,A,B分别是长方形的长和宽的中点,那么阴影部分的面积占长方形面积的几分之几?
作长方形长和宽中点的连线,我们发现图①的面积是长方形面积的
,图②的面积是长方形面积的
,图③的面积是长方形面积的
;
1-
-
-
=
2、一个长方形如右图ab分别是长方形长和宽的中点,那么四边ABCD占面积占长方形面积的几分之几?
作长方形长和宽中点的连线,
分析:
如上图:
三角形DCE的面积占四边形DECF的
,三角形ABF的面积占四边形DECF面积的
,所以四边形ABCD占的面积占长方形面积的
。
3、如下图,A点和B点分别是长方形的两条边的中点,空白部分与阴影部分面积的比是( ),图中阴影部分的面积占这个长方形面积的()。
作长方形长和宽中点的连线,我们发现阴影部分的面积占长方形面积的
。
1-
=
4、右图,A,B分别是长方形长和宽的中点,阴影部分的面积是长方形面积的()。
作长方形长和宽中点的连线,我们发现:
图①的面积是大长方形面积的
图②的面积也是大长方形面积的
图③的面积也是大长方形面积的
所以,阴影部分的面积=长方形面积-3个空白部分面积
1-
-
-
=
5、一个底面积是正方形的长方体铁箱,如果把它的侧面展开,正好得到一个边长是40厘米的正方形,这个铁箱的容积是多少立方厘米?
(铁箱厚度忽略不计)
这个长方体铁箱的侧面展开图如下所示:
从上面的侧面展开图我们可以清楚的看出这个长方体的高是40厘米,底面周长也是40厘米。
由于底面积是正方形,底面边长=40÷4=10(厘米)
根据长方体体积公式V=Sh,列式
10×10×40
=4000(立方厘米)
答:
这个铁箱的容积是4000立方厘米。
6、一个长方体木块,从上面截取5厘米后,成为一个正方体,其表面积减小了160平方厘米,求原长方体的体积。
思路引导:
由题意可知长方体的上下两个底面是正方形,而从上部截去5厘米后便成为一个正方体,表面积减少了160平方厘米,那么减少部分的面积实际上就是截去部分的长方体的侧面积(前后左右4个面)
原来长方体的长和宽是:
160÷4÷5
=40÷5
=8(厘米)
原来长方体的高是:
8+5=13(厘米)
原来长方体的体积是:
8×8×13=832(立方厘米)
答:
原来长方体的体积是832立方厘米。
7、一个长方体木块,从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,便成为一个正方体,表面积减少了120平方厘米,原来长方体的表面积是多少平方厘米?
思路引导:
下部和上部分别截去3厘米和2厘米,相当于截去5厘米后,成为一个正方体。
原长方体的长和宽:
120÷4÷(2+3)=6(厘米)
原长方体的高:
6+2+3=11(厘米)
原长方体的表面积:
(6×6+6×11+6×11)×2
=168×2
=336(平方厘米)
答:
原来长方体的表面积是336平方厘米。
8、如图,梯形的高是10厘米,∠1=45°,则梯形的面积是多少平方厘米?
思路引导:
图中两个小三角形均是底角为45°的等腰直角三角形,所以梯形的上底+下底=10(厘米)
梯形的面积是:
10×10÷2=50(平方厘米)
答:
梯形的面积是50平方厘米。
9、一个正方体木块,棱长为10dm,沿水平方向将它切成3片,每片又切成4长条,每条又切成5小块,共得到大大小小的长方体60个,如下图所示:
这60个长方体表面积的和是多少平方分米?
思路引导:
首先提出3个问题让学生分组讨论、观察思考:
①60块长方体的表面积可以直接求吗?
②每切一刀,面积增加多少?
③沿水平方向切和沿垂直方向切,这两种切法:
面积增加的量相等吗?
然后引导学生明白题意:
每切一刀,就增加2个正方体的面的面积,因此只要求出一共切了几刀,即可求出一共增加了几个正方体的面的面积,再加上原来正方体的表面积,就是这60个长方体的表面积之和。
沿水平方向将它切成3片,是切了2刀,同理,每片又切成4长条,是切了3刀,每条又切成5小块,是切了4刀,一共切了2+3+4=9(刀),所以表面积一共增加了9×2=18(个)正方体的面,由此即可解答问题。
【解答】
沿水平方向将它切成3片,切了2刀,同理,每片又切成4长条,切了3刀;每条又切成4小块,也切了3刀,这样一共切了2+3+4=9(刀),所以这60个长方体的表面积之和是:
2+3+4=9(刀),9×2=18(个)
6+18=24(个)
10×10×24=2400(dm
)
答:
这60个长方体表面积的和是2400dm
。
10、下面是一张长方形硬纸,正好分成15个小正方形。
试着把它剪成3份,每份有5个小正方形相连,每份都可以折成一个无盖的正方体纸盒,应该怎样剪?
请在长方形中画出剪的路线。
思路引导:
根据正方体展开图的11种特征,把这15个小正方形分成3个“1—4—1”结构的正方体展开图,再去掉盖(一个正方形)即可。
解:
如图,
同一颜色的把标有“底”的正方形作底,其余四个正方形折起来正好是一个无盖的正方体纸盒。
11、已知一个圆的周长是31.4cm,与此圆在同一个平面内有一个点P,点P到圆周上最近的一点距离为xcm,点P到圆周长上最远的一点距离为ycm,且x:
y=2:
3,则点P到圆心的距离是多少cm?
思路引导:
根据圆的周长公式C=πd,d=2r,又因为一个圆的周长是31.4cm,所以圆的直径是31.4÷3.14=10厘米,半径为10÷2=5厘米;与此圆在同一个平面内有一个点P,分两种情况;P在圆内,直径等于两个距离的和,点P到圆心的距离是半径减去x;P在圆外,直径等于两个距离的差,点P到圆心的距离是半径加x。
解答:
31.4÷3.14=10(厘米)
10÷2=5(厘米)
①P在圆内时
10÷(3+2)×2
=2×2
=4(厘米)
5-4=1(厘米)
答:
点P到圆心的距离是1cm.
②P在圆外时
10÷(3-2)×2
=10×2
=20(厘米)
20+5=25(厘米)
答:
点P到圆心的距离是25cm。
12、有一根绳子长40米,如果用这根绳子在靠墙的一块土地上围出一个直角三角形,围成的直角三角形面积最大是多少?
(先画出示意图,再解答)
思路引导:
墙为斜边,直角边相等时面积最大,也就是两直角边都是20米。
20×20÷2=200(平方米)
答:
围成的直角三角形面积最大是200(平方米)
13、在一条水渠边,用篱笆围成一块直角梯形菜地(如图).已知篱笆总长28米.篱笆怎样围这块菜地的面积最大?
最大的面积是多少平方米?
思路引导:
要使围成菜地的面积最大,即上底+下底=高,此时围成的面积最大,即上底+下底=高=28÷2=14米,注意最后取数时上底+下底=14米,并且上底<下底即可。
14×14÷2=98(平方米),
答:
要使围成菜地的面积最大,即上底+下底=高,此时围成的面积最大,最大的面积是98平方米。
14、蓝色小正方形的面积是8平方厘米,圆形面积是多少平方厘米?
思路引导:
仔细观察小正方形的面积是边长的平方,而求圆的面积也需要半径的平方,这里小正方形边长的平方=圆半径的平方,所以圆的面积就可以迎刃而解了。
8×3.14=25.12(平方厘米)
15、
思路引导:
由图可以看出:
大等腰直角三角形的面积—小等腰直角三角形的面积=阴影的面积=25平方厘米,圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积,利用圆环的面积公式求得即可。
解:
设大圆的半径为R,小圆的半径为r。
阴影的面积=R2÷2-r2÷2=25(平方厘米)
那么R2-r2=50(平方厘米)
圆环的面积:
S圆环=πR2-πr2
=π×(R2-r2)
=π×50
=157(平方厘米)
答:
图中圆环部分的面积是157平方厘米。
16、图中阴影部分的面积是40平方厘米,那么环形的面积是多少平方厘米?
思路引导:
图中大正方形的面积是外圆半径R2,小正方形的面积是内圆半径r2。
所以阴影部分的面积是R2-r2=40(平方厘米)。
圆环的面积=π×(R×R-r×r)=π×(R2-r2)
解答:
3.14×40=125.6(平方厘米)
17、如下图,地面上平放着一个底面半径为0.5米的油桶,如果要将这个油桶滚动到与它相距16.2米的墙面,需要滚动几周?
思路引导:
由上面的情境图我们很容易看出,油桶每滚动一圈,前进的距离是一个周长,将这个油桶滚动到与它相距16.2米的墙面时,油桶实际上只要前进16.2-0.5=15.7(米)就顶到墙上了。
油桶本身着地的那一点距离墙面还有半径0.5米,所以16.2米减去0.5米,才是油桶滚动的实际距离。
要是有学生还不明白,可以拿一个圆瓶做一个实验,就理解了。
解:
(16.2-0.5)÷(2×3.14×0.5)
=15.7÷3.14
=5(圈)
答:
需要滚动5圈。
18、
思路引导:
初看阴影部分的图形完全是不规则的图形,读题并观察后发现这个图形是由1个大半圆和1个小半圆组合而成。
为了让学生对阴影部分的周长有一个清晰的认识,在计算前先让学生描一描周长,然后引导学生观察明白阴影部分的周长无法直接计算,只能把这个图形分成一个大半圆和一个小半圆,然后分别计算其周长。
方法一:
阴影部分的周长=大半圆的周长+小半圆的周长-大圆直径
特别提醒学生:
半圆的周长=圆周长的一半+直径
大圆直径:
3×2=6(㎝)小圆直径:
2×2=4(㎝)
2×π×3÷2+6+2×π×2÷2+4-6
=3π+6+2π+4-6
=5π+4
=15.7+4
=19.7(㎝)
方法二:
阴影部分的周长=大圆周长的一半+小圆周长的一半+大圆半径+AB
小圆直径:
2×2=4(㎝)
2×π×3÷2+2×π×2÷2+3+(4-3)
=3π+2π+3+1
=5π+4
=15.7+4
=19.7(㎝)
19、把一个圆柱的底面分成若干等份,切开后可拼成一个近似的长方体,这个长方体的底面周长是16.56厘米,高是5厘米,这个圆柱的体积是( )立方厘米。
思路引导:
把圆柱体切开后拼成一个长方体,虽然形体发生了变化,但体积不变。
因而对于此题来说要求圆柱的体积有2种方法,一是直接用圆柱的体积公式求,二是求长方体的体积(因为V长方体=V圆柱)。
仔细读题后发现由于不知道圆柱的底面半径,无法计算圆柱的体积,第一种方法好像行不通。
很自然想到第二种方法,我们都知道要计算长方体的体积必须知道长、宽、高或者底面积和高,但题目只告诉了长方体的底面周长和高,也没法计算出长方体的体积,难道真的没办法了吗?
为了帮助学生寻找长方体底面周长与圆柱体之间的某种联系,进一步理清思路,此时我引导学生回忆圆柱体体积公式的推导过程,重新课件演示圆柱体拼成长方体的转化过程,并让学生仔细观察下图回答问题:
1、长方体的2条长相当于圆柱的什么?
2、长方体的2条宽相当于圆柱体的什么?
3、长方体的底面周长=圆柱体的( )+( )
很快就有学生发现,长方体的底面周长=圆柱体的底面周长+直径
通过仔细观察上面的转化图,学生终于发现了它们二者之间的联系,接着我提示,既然我们找到了长方体与圆柱体周长之间的等量关系,谁能用这个等量关系式列方程解答求出圆柱体的直径或者半径呢?
经过学生分组讨论,得到以下2种方法。
方法一:
解:
设圆柱的底面半径是r厘米。
2πr+2r=16.56
6.28r+2r=16.56
8.28r=16.56
r=16.56÷8.28
r=2
3.14×22×5
=3.14×4×5
=3.14×20
=62.8(厘米)
方法二:
解:
设圆柱的底面直径为d厘米。
πd+d=16.56
(3.14+1)d=16.56
4.14d=16.56
d=16.56÷4.14
d=4
3.14×(4÷2)2×5
=3.14×4×5
=3.14×20
=62.8(厘米)
20、
思路引导:
阅读题目后发现,如果直接计算图中四边形ABED的面积,几乎是不可能的,因为四边形ABED是不规则的四边形。
仔细观察我们发现比较简便的方法是,用△ABC的面积-△DEC的面积=四边形ABED的面积。
△ABC的面积很容易算出来,但△DEC的面积要直接算出来是很困难的,根据题目给出的已知条件“将直角三角形中的角C折起,使得C点与A点重合”,我们可以知道△DEC与△DAE是轴对称图形,即△DEC与△DAE全等,那么△DEC的面积=△AEC面积÷2。
现在问题的关键是要计算出△AEC的面积,我们不知道底EC,进一步观察发现EC=AE,根据勾股定律可以算出底边EC。
方法一:
AB2+BE2=AE2
因为EC=AE,BE=BC-EC,已知AB=3,BC=4,
所以AB2+(BC-EC)2=EC2
32+(4-EC)2=EC2
9+(16-8EC+EC2)=EC2
9+16-8EC+EC2=EC2
25-8EC+EC2=EC2
8EC=25
EC=3.125
△ABC的面积=4×3÷2=6
△DEC的面积=△AEC面积÷2
=EC×AB÷2÷2
=3.125×3÷2÷2
=2.34375
四边形ABED的面积=6-2.34375=3.65625
方法二:
△ABC为直角三角形,且直角边之比为3:
4,根据勾股定理,三角形斜边AC=5。
将△AEC对折后△EDC与△EDA重合,所以DC=AC的一半,ED⊥AC,∠B=∠EDC=90°。
由于△ABC和△EDC中都有∠C,所以∠BAC=∠DEC,2个三角形的三个角都相同,由此得2个三角形的直角边的比也为3:
4。
DC=5÷2=2.5
DE:
DC=3:
4
DE=2.5×3÷4=1.875
△EDC的面积=DC×DE÷2
=2.5×1.875÷2
=2.34375
四边形ABED面积=△ABC的面积-△EDC的面积
=3×4÷2-2.34375
=6-2.34375
=3.65625
21、如图,两个相同的直角梯形重叠在一起,已知CM=5cm,GM=8cm,GH=20cm,求阴影部分的面积。
思路引导:
从上图中我们很容易看出,阴影部分的面积=S
-S
=S
-S
=S
,因为这两个直角梯形相同,说明他们的面积相等,2个面积相等的梯形减去同一个梯形得到的结果是一样的,所以我们只需要直接算出S
的面积就可以了。
上底:
DM=DC-CM=20-5=15,下底:
GH=20,高:
GM=8
(15+20)×8÷2
=35×8÷2
=140(cm
)
答:
阴影部分的面积是140cm
。
22、一间房子的占地形状是长方形,长6米,宽4米,房子周围是草地。
王大爷将一只羊拴在房子的外墙角处(紧靠地面),如下图,已知拴羊的绳子长6米,这只羊能吃到草的范围有多大?
在图中画出这只羊能吃到草的范围,并将范围内的草地涂上阴影,再求出这只羊能吃到草的面积。
思路引导:
这只羊能吃到草的范围=半径6米圆面积的
+半径2米(6-4=2)圆面积的
画图如下:
3.14×6
×
+3.14×(6-4)
×
=113.04×
+3.14×4×
=84.78+3.14
=87.92(平方米)
答:
这只羊能吃到草的面积为87.92平方米。
23、如图,长方形被两条直线分成四个小长方形,其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米,求另一个(图中阴影都分)长方形的面积。
方法一:
解:
设最小长方形的宽为a,则长为
,则阴影部分的面积:
×(20÷
)
=
(20×
)
=
=30(平方米)
方法二:
上面两个长方形,宽是相同的,所以它们的面积比,就是它们的长度比。
同理:
所求面积和20的面积比,就是两个长方形的长度比,因为宽一样。
解:
设图中阴影部分长方形的面积是X平方米。
20:
X=8:
12
8X=20×12
8X=240
X=30
答:
阴影部分的面积是30平方米。
24、一只蜗牛沿着10米高的柱子往上爬,每天清晨到傍晚共向上爬5米,夜间下滑4米,像这样,从某天清晨开始,它需要几天才能爬上柱子的顶端?
思路引导:
每天从清早到傍晚向上爬行5米,夜间又向下滑4米,实际每天向上爬1米,到第5天夜间,蜗牛已经爬完5米,距顶部还剩5米,则这天白天就刚好爬完剩下的5米。
(10-5)÷(5-4)
=5÷1
=5(天)
最后5米,1天爬出,共用:
5+1=6(天)
答:
它需要6天才能爬上柱子的顶端。
25、如图,AB是20厘米,一只蚂蚁从A到B沿着四个半圆爬行,蚂蚁的行程是______厘米。
思路引导:
由题意可知:
蚂蚁的行程是4个半圆周长一半的和,4个半圆的直径和为20厘米,从而可以求得蚂蚁的行程距离。
3.14×20÷2,
=3.14×10,
=31.4(厘米);
答:
蚂蚁的行程是31.4厘米。
26、如图,已知由四个边长为1cm的小正方形组成的长方形,图中阴影部分的面积是______cm2。
思路引导:
上面的图形是轴对称图形,阴影部分的面积正好等于矩形的面积,阴影部分的面积为2cm2。
27、一列数,前面两个是1,3,从第三个数开始,每一个都是前面的两个数之和,即1,3,4,7、11、29……到第2018个数为止,共有多少个奇数?
思路引导:
这个数列是按照“奇数、奇数、偶数”的顺序循环重复排列的;每一组循环中有2个奇数和1个偶数。
2018÷3=672(组)…2(个)
余数是2,这两个数都是奇数;672×2+2=1346(个)
答:
共有1346个奇数。
28、下列图中,每个大正方形都是由4个边长为1的小正方形组成,其中涂色面积不等于2的图形是()。
思路引导:
根据正方形的对称性,逐个进行判断,可知A、B、C中的涂色面积都是大正方形面积的一半,而D不是。
29、某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的,现在园地上建一个花园(即每个图中的阴影部分),使花坛面积是园地面积的一半,以下图中的设计不合要求的是( )
思路引导:
根据正方形的对称性,逐个进行判断,可知A、C、D中的花坛面积均是园地面积的一半,而B不是。
30、若要使图中平面展开图折叠成正方体后,相对面上两个数之和为6,则x+y=______。
思路引导:
正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,所以“2”与“4”是相对面,“1”与“x”是相对面,“3”与“y”是相对面,相对面上两个数之和为6,x+y=5+3=8。
31、如图是一个正方体展开图,把展开图折叠成正方体后,“你”字一面相对面上的字是( )
思路引导:
这是一个正方体的平面展开图,共有六个面,根据正方体展开图的特点,其中“我”与“中”相对,“的”与“国”相对,“你”与“梦”相对。
32、如图所示是一个正方体的展开图,将它折叠成正方体后,“建”字的对面是( )
33、如图所示,若要使图中平面展开图折叠成正方体后,相对面上的两数之和为5,求a+b+c的值。
34、边长为自然数,面积为165平方厘米的形状不同的长方形有几种?
165的因数有:
1,3,5,11,33,55,165
1×165=165,3×55=165,5×33=165,11×15=165
边长为自然数,面积为165平方厘米的形状不同的长方形有4种。
综合实践
1、如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,观察下列图形并解答有关问题。
(1)按以上的规律依次铺下去,铺设第四个长方形地面共用( )块白瓷砖;
(2)假如铺某一块类似的长方形地面共用了72块瓷砖,那么它是第( )块长方形地面。
(3)若白瓷砖每块4元,黑瓷砖每块3块,在问题
(2)中购买瓷砖共需花多少元?
(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?
请说明理由。