极坐标及参数方程.docx
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极坐标及参数方程
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生
曹聪颖
学校
广外
年级
高二
次数
第1次
科目
数学
教师
张老师
日期
2月26日
时段
3-5
课题
极坐标及参数方程
教学
重点
1掌握极坐标
2掌握参数方程
教学
难点
1能够灵活运用极坐标化为直角坐标
2参数方程的互化
教学
目标
能熟练掌握回归分析与独立性检验的步骤
教学步骤及教学内容
一、课前热身:
1、了解学生在校的学习情况
二、内容讲解:
1.极坐标的认识
2.极坐标的互化
3.参数方程的认识
4.参数方程与直角坐标系的互化
三、课堂小结:
1.极坐标2.参数方程
四、作业布置:
教案
作
业布置
1、学生上次作业评价:
O好O较好O—般O差
备注:
2、本次课后作业:
课堂小结
管理人员签字:
日期:
年月
日
家长签字:
日期:
年月日
1•极坐标系
(1)极坐标系的建立:
在平面上取一个定点O,叫做从O点引一条射线Ox,叫做再
选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐
标系.
设M是平面内一点,极点0与点M的距离0M叫做点M的记为p,以极轴Ox为始边,射
线0M为终边的角叫做点M的极角,记为B.有序数对(p,0)叫做点M的极坐标,记作M(p,0)•
(2)极坐标与直角坐标的关系:
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系
中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(p,0),则它们之间
的关系为x=,y=.
另一种关系为p2=tan0=.
2.简单曲线的极坐标方程
(1)直线的极坐标方程
0=a(p€R)表示过极点且与极轴成a角的直线;
pcos0=a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线;
n
psin0=b表示过b,且平行于极轴的直线;
2
psin(a—0)=pisin(a—0i)表示过(pi,0i)且与极轴成a角的直线方程.
(2)圆的极坐标方程
p=2rcos0表示圆心在(r,0),半径为|r|的圆;
n
p=2rsin0表示圆心在r,;,半径为|r|的圆;
p=r表示圆心在极点,半径为|r|的圆.
3.曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数
y=gt
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的
其中变量t称为
4.一些常见曲线的参数方程
(1)过点Po(xo,yo),且倾斜角为a的直线的参数方程为(为参数).
(2)圆的方程(x—a)2+(y—b)2=r2的参数方程为_为参数).
x2y2
⑶椭圆方程爲+二=1(a>b>0)的参数方程为0为参数).
a2b2
⑷抛物线方程y2=2px(p>0)的参数方程为伪参数).
n
1.在极坐标系中,直线psin(0+?
=2被圆p=4截得的弦长为
2.极坐标方程p=sin0+2cos0能表示的曲线的直角坐标方程为「
x=412,
3.已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上,则PF=
y=4t
x=—1+tsin40°,
4.直线(t为参数)的倾斜角为.
y=3+tcos40°
x=3t,
5.已知曲线C的参数方程是(t为参数).则点M1(0,1),M2(5,4)在曲线C上的是
y=2t2+1
题型一极坐标与直角坐标的互化
I例1】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为pcos(0--)=1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;
⑵设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
思维升华直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=pcos0及y=psin0直接代入并化简即可;
而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如pcos0,psin0,p2的形式,进行整体代换.其
中方程的两边同乘以(或同除以)p及方程两边平方是常用的变形方法•但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验.
跟踪训谿1在极坐标系中,已知圆p=2cos0与直线3pcos0+4psin0+a=0相切,求实数a的值.
题型二参数方程与普通方程的互化
厂-2
x=¥5cos0,x=t2,
【例2】已知两曲线参数方程分别为(0<0y=sin0
y=t
标.
思维升华
(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等•对
1
于与角B有关的参数方程,经常用到的公式有sin2B+cos29=1,1+tan2B=等.
cos9
(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定
要注意普通方程与参数方程的等价性.
跟琮训谿2将下列参数方程化为普通方程.
2t2
1+12'
(1)
4—2t2
(t为参数);
1+12
x=2—4cos29,
⑵(9为参数).
y=—1+sin29
题型三极坐标、参数方程的综合应用
I例3】在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的极坐
标方程是p=4cos9,直线I的参数方程是
(t为参数),M,N分别为曲线C、直
1
线I上的动点,求MN的最小值.
思维升华涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解•转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.
跟琮训谿3(2013•辽宁在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆Ci,
直线C2的极坐标方程分别为P=4sin9,pcos0-;=2、/2.
(1)求Ci与C2交点的极坐标;
x=t3+a,
⑵设P为Ci的圆心,Q为Ci与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为b(t€R
y=_t3+1
2
为参数),求a,b的值.
【知识复习】选修1-1
1、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分)
1.方程x=-1—4y2所表示的曲线是()
A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分
C.圆的一部分D.直线的一部分
2.若抛物线的准线方程为x=—7,则抛物线的标准方程为()
A.x2=—28yB.x2=28y
C.y2=—28xD.y2=28x
x2y2
3.双曲线——2=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是()
a2b2
3
D.—
2
4.用a,b,c表示三条不同的直线,俵示平面,给出下列命题:
①若a//b,b//c,则a//c;②若a丄b,
b丄c,贝Ua丄c;③若a//y,b//y,贝Ua//b;④若a丄y,b丄丫,贝Ua//b.
其中真命题的序号是()
A.①②B.②③C.①④D.③④
a
5.已知a、b为不等于0的实数,贝U一>1是a>b的()
b
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6•若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是I,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F、M且与I相切的
圆一共有()
A•0个B.1个
C.2个D.4个
x2y2
7•若双曲线——打=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi,F2.线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成
a2b2
5:
3两段,则此双曲线的离心率为
x2y2
8•已知双曲线与椭圆了+25=1
4
共焦点,它们的离心率之和为2一,则此双曲线方程是()
5
22
x2y2
A.—=1
124
22
x2y2
B.——+—=1
124
x2y2
c.——=1
412
x2y2
D+—=1
412
9.下列四个结论中正确的个数为()
①命题"若x2<1,则—11或x<—1,则x2>1
②已知p:
?
x€R,sinx<1,
q:
若a
3命题“?
x€R,x2—x>0”的否定是“?
x€R,x2—xWO”;
4“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件.
B.1个
C.2个
10.设f(x)=x(ax2+bx+c)(a丸)在x=1和x=—1处有极值,则下列点中一定在x轴上的是()
A.(a,b)
B.(a,c)
C.(b,c)
lnx
11.函数y=
的最大值为
x
()
D.(a+b,c)
B.eC.e2
10
D.
12.已知命题P:
函数y=log0.5(x2+2x+a)的值域为R;命题Q:
函数y=—(5—2a)x是R上的减函数.若
B.a<2
C.1D.a<1或a>2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围是
14.一动圆圆心在抛物线x2=8y上,且动圆恒与直线y+2=0相切,则动圆必过定点
x2y2tt
15.已知F1、F2是椭圆C—+:
=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,PF1丄PF2.若APF1F2的
a2b2
面积为9,则b=.
16.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)
=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知p:
x2—12x+20<0,q:
x2-2x+1—a2>0(a>0).若綈q是綈p的充分条件,求a的取值范围.
18.(12分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(―汽0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=
0的一个根为2.
(1)求c的值;
⑵求证:
f
(1)>2.
19.(12分)如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且
|MA|=|MB|•证明:
直线EF的斜率为定值.
f(x)=(3
20.(12分)命题p:
关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x€R恒成立,命题q:
指数函数
—2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=ax—Inx,若f(x)>1在区间(1,+^)内恒成立,求实数a的取值范围.
交于A,B两点,0为坐标原点,oA+OB=(—4,—12).
(1)求直线I和抛物线C的方程;
⑵抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
选修1-2,4-1
题型一圆的切线的判定与性质
I例3】如图,在Rt△ABC中,/C=90°,BE平分/ABC交AC于点E,点D在AB上,DE丄EB,且AD
=2一3,AE=6.
⑴判断直线AC与ABDE的外接圆的位置关系;
⑵求EC的长.
跟踪训练3(2013•广东改编
如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E
若AB=6,ED=2,求BC的长.
题型二与圆有关的比例线段
【例4】(2012•辽宁如图,OO和OO'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,
连结DB并延长交OO于点E.证明:
⑴ACBD=ADAB;
(2)AC=AE.
思维升华
(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:
如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明•解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.
跟跺训练4
如图,OO的半径0B垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交OO于N,过N点的切线交CA的延长线于P.
(1)求证:
PM2=PAPC;
⑵若OO的半径为2一.3,OA=73OM,求MN的长.
19•某厂采用新技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的成本y(万元)的几组对照数
据.
x
3
4
5
6
y
3
3.5
4.
5
5
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$=bx+a;
(3)已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元.试根据
(2)求出的线性回归方程,预测
生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元?
n
444xiyinxy
22
(参考数据:
Xi86yi66.5x,y,75.5,b*
i1i1i1n2一2
Xinx
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请在图中画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y$xa;
21•心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中
按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自
由选择一道题进行解答.选题情况如下表:
(单位:
人)
几旬赵
代数貶1
22
g
30
女同学
s
12
20
w
20
50
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,乙每次解答一道几何题所用的
时间在6—8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生
被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
附表及公式
PM拙)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
D.M5
0.001
Jt
2.072
2.706
3.84J
5^4
7.879
l(L82fi
++d)
22•为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人,
结果如下面表中所示:
是否需要帮助
生别
男
女
合计
需^<
50
25
75
20
22
不需要
425
0
5
25
25
合计
500
0
0
(1)请根据上表的数据,估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;]
(2)能否在出错的概率不超过1%的前提下,认为该地老年人是否需要帮助与性别有关?
并说明理由;
(3)根据
(2)的结论,你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的
老年人的比例?
并说明理由.
附:
独立性检验卡方统计量匚
n(ad-bc)',,
……..,其中」为样本容量,独立
性检验临界值表为:
P(K2>k)
0.15
0.10
0.05
0•025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828