极坐标及参数方程.docx
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极坐标及参数方程
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生
曹聪颖
学校
广外
年级
高二
次数
第1次
科目
数学
教师
张老师
日期
2月26日
时段
3-5
课题
极坐标及参数方程
教学
重点
1掌握极坐标
2掌握参数方程
教学
难点
1能够灵活运用极坐标化为直角坐标
2参数方程的互化
教学
目标
能熟练掌握回归分析与独立性检验的步骤
教学步骤及教学内容
一、课前热身：
1、了解学生在校的学习情况
二、内容讲解：
1.极坐标的认识
2.极坐标的互化
3.参数方程的认识
4.参数方程与直角坐标系的互化
三、课堂小结：
1.极坐标2.参数方程
四、作业布置：
教案
作
业布置
1、学生上次作业评价：
O好O较好O—般O差
备注：
2、本次课后作业：
课堂小结
管理人员签字:
日期:
年月
日
家长签字：
日期：
年月日
1•极坐标系
（1）极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O,叫做从O点引一条射线Ox，叫做再
选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐
标系.
设M是平面内一点，极点0与点M的距离0M叫做点M的记为p,以极轴Ox为始边，射
线0M为终边的角叫做点M的极角，记为B.有序数对（p,0）叫做点M的极坐标，记作M（p,0）•
（2）极坐标与直角坐标的关系：
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系
中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标为（p,0），则它们之间
的关系为x=,y=.
另一种关系为p2=tan0=.
2.简单曲线的极坐标方程
（1）直线的极坐标方程
0=a（p€R）表示过极点且与极轴成a角的直线；
pcos0=a表示过（a,0）且垂直于极轴的直线；
n
psin0=b表示过b,且平行于极轴的直线；
2
psin（a—0）=pisin（a—0i）表示过（pi,0i）且与极轴成a角的直线方程.
（2）圆的极坐标方程
p=2rcos0表示圆心在（r,0），半径为|r|的圆；
n
p=2rsin0表示圆心在r,；,半径为|r|的圆；
p=r表示圆心在极点，半径为|r|的圆.
3.曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数
y=gt
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，则称上式为该曲线的
其中变量t称为
4.一些常见曲线的参数方程
（1）过点Po（xo,yo），且倾斜角为a的直线的参数方程为（为参数）.
（2）圆的方程（x—a）2+（y—b）2=r2的参数方程为_为参数）.
x2y2
⑶椭圆方程爲+二=1（a>b>0）的参数方程为0为参数）.
a2b2
⑷抛物线方程y2=2px（p>0）的参数方程为伪参数）.
n
1.在极坐标系中，直线psin（0+?
=2被圆p=4截得的弦长为
2.极坐标方程p=sin0+2cos0能表示的曲线的直角坐标方程为「
x=412,
3.已知点P（3,m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则PF=
y=4t
x=—1+tsin40°,
4.直线（t为参数）的倾斜角为.
y=3+tcos40°
x=3t,
5.已知曲线C的参数方程是（t为参数）.则点M1（0,1）,M2（5,4）在曲线C上的是
y=2t2+1
题型一极坐标与直角坐标的互化
I例1】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为pcos（0--）=1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点.
（1）写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；
⑵设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x=pcos0及y=psin0直接代入并化简即可；
而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如pcos0,psin0,p2的形式，进行整体代换.其
中方程的两边同乘以（或同除以）p及方程两边平方是常用的变形方法•但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.
跟踪训谿1在极坐标系中，已知圆p=2cos0与直线3pcos0+4psin0+a=0相切，求实数a的值.
题型二参数方程与普通方程的互化
厂-2
x=¥5cos0,x=t2,
【例2】已知两曲线参数方程分别为（0<0y=sin0
y=t
标.
思维升华
（1）参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等•对
1
于与角B有关的参数方程，经常用到的公式有sin2B+cos29=1,1+tan2B=等.
cos9
（2）在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x,y的取值范围，即在消去参数的过程中一定
要注意普通方程与参数方程的等价性.
跟琮训谿2将下列参数方程化为普通方程.
2t2
1+12'
（1）
4—2t2
（t为参数）;
1+12
x=2—4cos29,
⑵（9为参数）.
y=—1+sin29
题型三极坐标、参数方程的综合应用
I例3】在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐
标方程是p=4cos9,直线I的参数方程是
（t为参数），M,N分别为曲线C、直
1
线I上的动点，求MN的最小值.
思维升华涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解•转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用.
跟琮训谿3（2013•辽宁在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆Ci,
直线C2的极坐标方程分别为P=4sin9,pcos0-；=2、/2.
（1）求Ci与C2交点的极坐标；
x=t3+a,
⑵设P为Ci的圆心，Q为Ci与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为b（t€R
y=_t3+1
2
为参数），求a,b的值.
【知识复习】选修1-1
1、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1.方程x=-1—4y2所表示的曲线是（）
A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分
C.圆的一部分D.直线的一部分
2.若抛物线的准线方程为x=—7,则抛物线的标准方程为（）
A.x2=—28yB.x2=28y
C.y2=—28xD.y2=28x
x2y2
3.双曲线——2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）
a2b2
3
D.—
2
4.用a,b,c表示三条不同的直线，俵示平面，给出下列命题：
①若a//b,b//c,则a//c；②若a丄b,
b丄c,贝Ua丄c；③若a//y,b//y,贝Ua//b；④若a丄y,b丄丫，贝Ua//b.
其中真命题的序号是（）
A.①②B.②③C.①④D.③④
a
5.已知a、b为不等于0的实数，贝U一>1是a>b的（）
b
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6•若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是I,点M（4,m）是抛物线上一点，则经过点F、M且与I相切的
圆一共有（）
A•0个B.1个
C.2个D.4个
x2y2
7•若双曲线——打=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi,F2.线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成
a2b2
5:
3两段，则此双曲线的离心率为
x2y2
8•已知双曲线与椭圆了+25=1
4
共焦点，它们的离心率之和为2一，则此双曲线方程是（）
5
22
x2y2
A.—=1
124
22
x2y2
B.——+—=1
124
x2y2
c.——=1
412
x2y2
D+—=1
412
9.下列四个结论中正确的个数为（）
①命题"若x2<1,则—11或x<—1，则x2>1
②已知p:
?
x€R,sinx<1,
q:
若a3命题“？
x€R,x2—x>0”的否定是“？
x€R,x2—xWO”;
4“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件.
B.1个
C.2个
10.设f（x）=x（ax2+bx+c）（a丸）在x=1和x=—1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是（）
A.（a,b）
B.（a,c）
C.（b,c）
lnx
11.函数y=
的最大值为
x
（）
D.（a+b,c）
B.eC.e2
10
D.
12.已知命题P:
函数y=log0.5（x2+2x+a）的值域为R;命题Q:
函数y=—（5—2a）x是R上的减函数.若
B.a<2
C.1D.a<1或a>2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围是
14.一动圆圆心在抛物线x2=8y上，且动圆恒与直线y+2=0相切，则动圆必过定点
x2y2tt
15.已知F1、F2是椭圆C—+：
=1（a>b>0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，PF1丄PF2.若APF1F2的
a2b2
面积为9，则b=.
16.设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0,且g（-3）
=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（10分）已知p:
x2—12x+20<0,q:
x2-2x+1—a2>0（a>0）.若綈q是綈p的充分条件，求a的取值范围.
18.（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在（―汽0）上是增函数，在［0,2］上是减函数，且方程f（x）=
0的一个根为2.
（1）求c的值;
⑵求证：
f
（1）>2.
19.（12分）如图，M是抛物线y2=x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且
|MA|=|MB|•证明：
直线EF的斜率为定值.
f（x）=（3
20.（12分）命题p:
关于x的不等式x2+2ax+4>0，对一切x€R恒成立，命题q：
指数函数
—2a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.
21.（12分）已知函数f（x）=ax—Inx，若f（x）>1在区间（1,+^）内恒成立，求实数a的取值范围.
交于A,B两点，0为坐标原点，oA+OB=（—4,—12）.
（1）求直线I和抛物线C的方程；
⑵抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值.
选修1-2,4-1
题型一圆的切线的判定与性质
I例3】如图，在Rt△ABC中，/C=90°,BE平分/ABC交AC于点E,点D在AB上，DE丄EB,且AD
=2一3,AE=6.
⑴判断直线AC与ABDE的外接圆的位置关系;
⑵求EC的长.
跟踪训练3（2013•广东改编
如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E
若AB=6,ED=2，求BC的长.
题型二与圆有关的比例线段
【例4】（2012•辽宁如图，OO和OO'相交于A,B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,
连结DB并延长交OO于点E.证明:
⑴ACBD=ADAB;
（2）AC=AE.
思维升华
（1）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：
如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
（2）相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明•解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.
跟跺训练4
如图，OO的半径0B垂直于直径AC,M为AO上一点，BM的延长线交OO于N，过N点的切线交CA的延长线于P.
（1）求证：
PM2=PAPC;
⑵若OO的半径为2一.3,OA=73OM，求MN的长.
19•某厂采用新技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的成本y（万元）的几组对照数
据.
x
3
4
5
6
y
3
3.5
4.
5
5
（1）请画出上表数据的散点图;
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$=bx+a;
（3）已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元.试根据
（2）求出的线性回归方程，预测
生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元？
n
444xiyinxy
22
（参考数据：
Xi86yi66.5x,y,75.5,b*
i1i1i1n2一2
Xinx
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
（1）请在图中画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y$xa；
21•心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中
按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自
由选择一道题进行解答.选题情况如下表：
（单位：
人）
几旬赵
代数貶1
22
g
30
女同学
s
12
20
w
20
50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的
时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生
被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E（X）.
附表及公式
PM拙）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
D.M5
0.001
Jt
2.072
2.706
3.84J
5^4
7.879
l（L82fi
++d）
22•为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人,
结果如下面表中所示：
是否需要帮助
生别
男
女
合计
需^<
50
25
75
20
22
不需要
425
0
5
25
25
合计
500
0
0
（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；]
（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？
并说明理由;
（3）根据
（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的
老年人的比例？
并说明理由.
附：
独立性检验卡方统计量匚
n（ad-bc）',,
……..，其中」为样本容量，独立
性检验临界值表为:
P（K2>k）
0.15
0.10
0.05
0•025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
升级会员 