七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十三讲 等腰三角形和直角三角形含答案.docx
《七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十三讲 等腰三角形和直角三角形含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十三讲 等腰三角形和直角三角形含答案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十三讲等腰三角形和直角三角形含答案
第十三讲等腰三角形和直角三角形
趣题引路】
2001年山东聊城中考有一道题：
如图13－1，AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH、……，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管多少根？
此问题实际上是问能组成多少个等腰三角形，注意到每添一根，所得的等腰三角形的顶角的外角就增大10°，而极限值为90°，故最多添8根.
本节我们研究等腰三角形和直角三角形的性质及应用.
知识拓展】
等腰三角形和直角三角形都是特殊三角形，因此它们在具有一般三角形性质的同时还具有一般三角形不具备的性质，这些特性在几何证明中有着重要的应用价值.两者也是研究其他三角形和多边形的基础。
1.等腰三角形的性质：
底角相等；顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一；是以顶角平分线所在的直线为对称轴的轴对称图形；
2.等边三角形具有等腰三角形的一切性质，且每个角为60°；
3.直角三角形的性质：
两个锐角互余；斜边大于直角边；两条直角边的平方和等于斜边的平方，斜边上的中线等于斜边的一半；如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
方法上，构造等腰三角形或直角三角形是常见的解题策略之一；利用勾股定理，列方程求线段长更体现了方程的思想。
一、等腰三角形的性质
例1】有多少个边长为整数且周长为2004的等腰三角形？
解析】利用周长可得腰底间等量关系，利用三角形三边之间的关系，可找到腰底间不等关系，从而确定腰（或底）的范围。
解：
设腰长为x，底长为y，则有
由此得2x＜2004＜4x，
∴501＜x＜1002，
∵x为整数.
∴x＝502，503…1001，
满足条件的等腰三角形有1001－501＝500个.
点评】相等关系、不等关系可以互相转化，注意挖据题中隐藏条件：
两腰之和大于底边.
例2】（扬州市竞赛题）如图13－2，在△ABC中，已知AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数.
解析】因为等腰三角形有腰底之分，所以许多问题的答案都有多种情形.这里符合题意的图形有如图13－2所示4种情况。
由此可求出相应的度数为：
（45°，45°，90°），（36°，36°，108°），（36°，36°，72°），
点评】分情况讨论问题在等腰三角形问题中很常见，分类时，要做到不重复，不遗漏.
二、等腰三角形的判定
例3】（北京市竞赛题）三角形三边a、b、c满足
，则三角形的形状为（）
A.等边三角形B.以a为底边的等腰三角形
C.以c为底边的等腰三角形D.等腰三角形
解析】将条件式变换得（b－c）（a－b）（a＋c）＝0，因a＋c≠0，故b＝c或a＝b，选D.
点评】将代数条件式配方或进行因式分解是解题的常用技巧之一
例4】如图13－3，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：
AF＝EF.
解析】要证AF＝EF，需证∠FAE＝∠AEF，由AD是中线，想到“中线加倍法”，从而构造全等三角形和等腰三角形，实现角和边的转换。
证明：
延长AD至G，使DG＝AD，连接BG.
由△ADC≌△CDB得AC＝BG，AC∥BG，
∵BE＝AC，
∴BE＝BG，∠BEG＝∠BGD.
∴∠FAE＝∠BGD＝∠BED＝∠AEF.
∴AE＝EF.
点评】构造法作为一种数学方法，带有探索性，此法有利于创造性思维能力的提高。
三、直角三角形与勾股定理
例5】如图13－4，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：
PA2＋PC2＝PB2＋PD2.
解析】待证式使人想到勾股定理，为此过P作EF⊥AB于E交CD于F，多次应用勾股定理代换可得.
证明：
∵PA2＝PE2＋AE²，
PC2＝PF2＋CF2，
PB2＝PE2＋BE2，
PD2＝PF2＋DF2，
又∵AE＝DF，EB＝CF，
∴PA2＋PC2＝PE2＋AE2＋PF2＋CF2＝（PE2＋BE2）＋（PF2＋DF2）＝PB2＋PD2.
点评】当点P移动到矩形的一边上或移至矩形的外部时，结论依然成立.
例6】（1999全国联赛题）如图13－5，在△ABC中，D是BC上一点，已知AC＝5，AD＝6，BD＝10，CD＝5，那么△ABC的面积是（）
A.30B.36C.72D.125
解析】本题关键是求出BC边上的高，注意到BC边上的高也是△ACD的高，而△ACD的三边已知，可用勾股定理列式求之
解：
作AE⊥CD于E，设DE＝x，则CE＝5－x，
∴AD2－DE2＝AE2＝AC2－EC2
即62－x2＝52－（5－x）2
解得x＝3.6
∴AE＝
∴
选B.
点评】利用勾股定理列方程求线段的长是一种者现的解题思路.
好题妙解】
佳题新题品味
例1】（2001广西中考题）如图13－6，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝3，则AB＝（）
A.4B.5
C.
D.
解析】注意到∠A＝60°，若将AD、BC延长，补齐为一个直角三角形，问题便迎刃而解.设AD、BC的延长线交于点E，则∠E＝30°，CE＝2CD＝6，BE＝6＋2＝8，设AB＝x，则AE＝2x，
∴
解得
.选D
点评】学会构造，才能化腐朽为神奇！
∠B＝90°就是提示！
例2】如图13－7，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FA－CD＝3，求BC＋DE的值.
解析】因为六边形各外角相等，且均为60°，所以把EF、AB、CD分别向两方延长分别相交于点P、Q、G，得到4个正三角形：
△BCP、△DEQ、△AFG、△PQG，因此，BC＋DE＝PQ－CD＝PG－CD＝FA＋AB＋BC－CD＝（AB＋BC）＋（FA－CD）＝14.
点评】在等腰三角形的问题中，学会根据角度的特点构造特殊的三角形，以便集中条件，往往可得简捷解法。
例3】（2003年安徽省中考题）如图13－8，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把与正三角形的接近程度称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。
设等腰三角形的底和腰分别为a、b，底角和顶角分别为α、β，要求“正度”的值是非负数。
同学甲认为：
可用式子
来表示“正度”，
的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同学乙认为：
可用式子
来表示“正度”，
的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
探究：
（1）他们的方案哪个较合理，为什么？
（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；
（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式.
解析】
（1）同学乙的方案较为合理.因为
的值越小，a与β越接近60°，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等.同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等.如：
边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但
.
（2）对同学甲的方案可改为用
等（k为正数）来表示“正度”.
（3）还可用
等来表示“正度”.
点评】本题只要求学生在保证相似三角形的“正度”相等的前提下，用式子对“正度”作大致的刻画，第
（2）、（3）小题都是开放性问题，凡符合要求的均可。
中考真题欣赏
例1】（山东潍坊）在△ABC中，∠A：
∠B：
∠C＝1：
2：
3，CD⊥AB于点D，若BC＝a，则AD等于（）
A.
B.
C.
D.
解析】由角度之比可得∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，故AB＝2a，AC＝
，CD＝
，在直角三角形ACD中，由勾股定理得AD＝
，选C.
例2】江苏南京市）只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：
（1）在图13－9①中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：
①量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；
②画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴.
（2）在图13－9②中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法。
解析】
（1）画出的图如图13－10：
（2）画图方法：
①利用有刻度的直尺，在∠A0B的边OA、OB上分别截取OC、OD，使OC＝0D.
②连结CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E.
③画直线OE.直线OE即为∠A0B的对称轴.
点评】阅读理解题是当前考试中热门题型之一，关键在于读透材料，类比操作，模仿方法。
本题实质上是等腰三角形“三线合一”的应用.
竞赛样题展示
例1】（2003年“信利杯”全国赛题）四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（图13－11），则x可取值的个数为（）个.
A.2B.3C.4D.6
解析】显然AB最长，故AB＝9或AB＝x.
（1）若AB＝9，当CD＝x时，92＝x2＋（1＋5）2，x＝
；
当CD＝5时，
；
当CD＝1时，
.
（2）若AB＝x，当CD＝9时，
；
当CD＝5时，
；
当CD＝1时，
.
点评】先确定特殊缴段AB，再分情况考虑，不重不漏.
例2】（江苏17届初中竟赛初二）如图13－12，△ABC中，已知∠C＝60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC.
（1）证明：
△C′BD≌△B′DC；
（2）证明：
△AC′D≌△DB′C；
（3）对△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB′，从面积大小关系上，你能得出什么结论？
解析】
（1）△C′BD与△ABC中，BD＝BC，
，∠C′BD＝60°＋∠ABD＝∠ABC
∴△C′BD≌△ABC，
∴C′D＝AC.①
又在△BCA与△DCB′中，BC＝DC，AC＝B′C，∠ACB＝∠B′CD＝60°，
∴△BCA≌△DBC′.
∴DB′＝BA.
∴△C′BD≌△BDC.②
（2）由①得C′D＝AC＝AB′，
由②得DB′＝BA＝C′A，
又AD＝AD，
∴△AC′D≌△DB′A.
（3）①S△AB′C＞S△ABC′＞S△ABC＞S△A′BC
②S△AB′C＋S△ABC′＝S△AB′C＋S△A′BC
点评】同底等高的两个三角形面积相等.第（3）问要考虑前两问中的信息.全等三角形面积相等.
例3】（2002年黄冈竞赛题）如图13－13，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点为D，要使点D恰为AB的中点，问在图中还需添加什么条件？
（1）写出两个满足边的条件；
（2）写出两个满足角的条件；
（3）写出一个满足除边、角以外的其他条件.
解析】折叠问题中包含三角形全等，这里△BCE≌△BDE，可知必有AD＝DB＝BC，∠CBE＝∠DBE＝∠A.要使D为AB的中点，可添加下列条件之一：
角的关系：
（1）∠A＝∠DBE；
（2）∠A＝∠CBE；（3）∠DEA＝∠DEB；（4）∠DEA＝∠BEC；
（5）∠A＝30°；（6）∠CBD＝60°；（7）∠CED＝120°；（8）∠AED＝60°.
边的关系：
（1）AB＝2BC；
（2）AC＝
BC；（3）2AC＝
AB；（4）BE＝AE.
三角形的关系：
△BEC≌△AED.
点评】此题逆向考察了三角形全等、等腰三角形、勾股定理等知识，要求读者能广泛联想，由果索因，得到不同的探索性结果.
过关检测】
A级
1.（第14届“希望杯”初二）将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形（）
A.不可能是等腰三角形B.不可能是直角三角形
C.不可能是等边三角形D.不可能是钝角三角形
2.（2000年初中联赛题）如图13－14，P、Q分别是Rt△ABC的两直角边AB，AC上的点，M是斜边BC的中点，PM⊥QM.若PB＝a，QC＝b，则PQ等于（）
A.
B.
C.
D.
3.（2000年河北省初中竞赛题）如图13－15，在△ABC中，若AB＝AC，AD为BC边上的高，E为AC边上一点，且有AE＝AD，已知∠EDC＝12°，则∠B＝.
4.（2001年广西竞赛题）如图13－16，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需m（精确到0.1m）.
5.（上海市竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为lcm，mcm，斜边长为ncm，且l、m、n均为正整数，l为质数，证明：
2（l＋m＋l）是完全平方数.
6.（2000年《学习报》公开赛试题）在等边△ABC的边BC上任取一点，作∠DAE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？
证明你的结论.
B级
1.（1999年北京市初二竟赛题）△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M、N为斜边AB上两点，满足AM2＋BN2＝MN2，则∠MCN的度数是（）
A.30°B.45°C.60°D.75°
2.（2003年四川巴中中考）如图13－17在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，DF⊥AC，则△DEF是三角形.
3.（2001年津初中竞赛）已知一个三角形的一边长为2，这条边上的中线为1，另两边之和为
，则这两边之积为.
4.（上海市竞赛题）如图13－18，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：
EF＝FD.
5.如图13－19，△ABC三边长分别是BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内的点P向△ABC的三边分别作垂线PD，PE，PF（D，E，F为垂足），且BD＋CE＋AF＝27，求BD＋BF的长.
6.（2002年黑龙江省）如图13－20，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h.
“若点P在一边BC上（如图①），此时h3＝0，可得结论“h1＋h2＋h3＝h”请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内（如图②）、点P在△ABC外（如图③）这两种情况时，上述结论是否还成立？
若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？
请写出你的猜想，不需证明
7.（1996年北京市初二竞赛题）如图13－21，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，证明：
BD2＝AB2＋BC2.
升级会员 