直线与圆锥曲线综合性问题含答案.docx
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直线与圆锥曲线综合性问题含答案
直线与圆锥曲线综合性问题（含答案）
一.考点分析。
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
相交、相切、相离.
直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是A>0、
A=0、△<0.
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长
A（Xi,yi）,B（X2,y2）,则它的弦长
直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为
（1）1AB1=Jl+k'*1—梵21=Jl+Q•+黑2）2
或|AB|=Jl+p•Ivi-73!
=+*丁（珀+兀）'-幻吐・
，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已
上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的
（因为yi-y2=k（Xi-X2），运用韦达定理来进行计算
注:
1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：
一是韦达定理，二是点差法；
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：
一是建立函数，用求值域的方法求范围
二是建立不等式，通过解不等式求范围.
二.考试探究
圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体
上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何
性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等
1.（2006年北京卷，文科，19）
22
椭圆C:
务+^y2=1（aAbA0）的两个焦点为F1,F2，点P在椭圆C
ab
标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.
〖答案〗解法一：
（I）因为点p在椭圆C上，所以2a=PFi+PF2=6,a=3.
（n）设A,B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.
已知圆的方程为（x+2）2+（y—1）2=5,所以圆心M的坐标为（一2,1）.
从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1,
代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k—27=0.
因为A,B关于点M对称.
由①一②得
2
X1
2
X2
（X1-X2）（X1+x2）+（y1-y2）（y1+y2）_0
W5,
Xy
已知曲线G：
—+丄=1（aAb>0）所围成的封闭图形的面积为
ab
曲线Ci的内切圆半径为迹.记C2为以曲线Ci与坐标轴的交点为顶点的椭圆.
3
（I）求椭圆C2的标准方程;
（n）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，I是线段AB的垂直平分线.
M是I上异于椭圆中心的点.
（1）若MO=aOA（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时,
求点M的轨迹方程;
（2）若M是I与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值.
a,b的方程组，曲线Ci
1解析〗（I）由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于
与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然C2为焦点在X轴的椭圆;
（n）
（1）设出AB的方程y=kx（kHO）,A（Xa,g,M（x,y），联立直线与椭圆得到
方程组后，由M0=A0A（A工0）可得M的轨迹方程，注意k=0或不存在时所得方程仍
112
然成立；
（2）由直线I的方程：
y=-—X和椭圆方程联立后表示出S^amb=2AB[]OMI
由不等式放缩即可求出最小值.
2ab=475,
〖答案〗（I）由题意得《ab2/5又aAbA0，解得a2=5,b2=4.
Ja2+b23
22
因此所求椭圆的标准方程为0+£=1.
54
（n）
（1）假设
AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为
设M（X,y），由题意知MO=AOA仏丰0）,
2
又X2+y2H0，所以5x2+4y2=20几2，故—+乂
45
又当k=0或不存在时，上式仍然成立.
22
综上所述，M的轨迹方程为.七L='d（k丰0、.
45
当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=±1时等号成立,
40
此时△AMB面积的最小值是Saamb=40.
9
2后2=245.
9
当k不存在时，Saamb
J沢亦沢4=275>坐.
29
综上所述，△amb的面积的最小值为40
9
个不同的交点？
若存在，求出m的值；若不存在，说明理由•
〖解析〗
（1）所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应
的面积，计算时可以整体代入；
（2）证明抛物线的顶点在以线段AB为直径的圆C上，即证明0AQB=0，圆C的圆心
的
轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得;
（3）构造函数®（x）=g（x）-f（X）=x2-8x+6Inx+m，因为x^O，所以y=f（x）的图
问题，要对®（x）的单调性进行讨论，从而求出使得®（x）由两个正零点的m的取值范围
（1）当m=0时，直线L的方程为：
y+3x+1=0,故所求区域
2
对应的不等式组为[y+x乞0；
[y+3x+1>0
因为x>0,要使函数f（X）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数
®（x）=x2-8x+61nx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
x€（0,
当x=1或x=3时，cp'（X）=0
•••甲（x）极大值为申⑴=m-7;申（X）极小值为W（3）=m+6In3-15
又因为当X70时，W（X）T二当XTP时，申（X）T邑
所以要使W（x）=0有且仅有两个不同的正根，必须且只须
『⑴"或r⑶=0即或^十6"3-15=0
[◎（3）<0[护
（1）>0tm+61n3-15c0[m-7A0
•-m=7或m=15-61n3.
•••当m=7或m=15-61n3.时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点
4.（2008年广东卷，文科，20）
22
设b，椭圆方程为二+占=1，抛物线方程为X2=8（y-b）.如图所示，过点
2b2b2
F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切
线经过椭圆的右焦点Fi.
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
P,使得△ABP
（不必具体求出这些点的坐
（2）设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点为直角三角形？
若存在，请指出共有几个这样的点？
并说明理由标）.
Z
*
$
►X
以
P点的
A
〖解析〗
（1）由已知可求出G点的坐标，从而求出抛物线在点G
的切线方程，进而求出Fi点的坐标，由椭圆方程也可以求出Fi点
的坐标，从而求出b=1，得出椭圆方程和抛物线方程；
（2）以
NPAB为直角和以NPBA为直角的直角三角形显然各一个，
NAPB为直角的直角三角形是否存在可以转化成PA'PB=0
对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的个数.
1答案〗
（1）由x2=8（y-b）得y=1x2+b,
8
1
当y=b+2得x=±4，二G点的坐标为（4,b+2）,y'=—x,
4
过点G的切线方程为y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
Fi点的坐标为（b,0），
令y=0得x=2-b，二Fi点的坐标为（2-b,0），由椭圆方程得
2
二2—b=b即b=1，即椭圆和抛物线的方程分别为一+y2=1和x2=8（y-1）；
2
（2）•••过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点PA以nPAB为直角的RtAABP只有一
个，
同理二以NPBA为直角的RUABP只有一个。
若以NAPB为直角，设P点坐标为（x,lx2+1）,A、B两点的坐标分别为（―J2,0）和
8
h/2,0）,
值
范围；若不能，请说明理由.
〖答案〗（I）设M（x0,y0）
因此抛物线上存在四个点使得AABP为直角三角形。
高考预测
1.（2007年山东高考真题模拟试卷八，理科，22）
2
+耸=1（a>b：
>0）的两个焦点F1（-C,0）、F2（C,0）,b2
心[『）
3（i）当"耳时，设椭圆G方程为
设H（X,y）
为椭圆上一点，则
|HN|2=x2
+（y-3）2=_（y+3）2+2b2+18,其中-b若0cb<3,则当y=4时，IHN|2有最大值b2+6b+9
由b2+6b+9=50得b=—3±572（舍去）
若b>3，当y=—3时，|HN|2有最大值2b2+18由2b2+18=50得
由③④得Q（迈k-—）
3'3
II
寸94>/94
—亠4,0）^（0,亠4）时A、B两点关于点P、Q的直线对称.
22
2J3
（解2）.・.AB所在直线方程为y+=k（x—k）
33
f亠73一2凤\
|y+k（X-hk）
M2323得
IL+Z"
13216-
（1+2k2）x2+2k2）x+2（1+2k2）2-32=0显然1+2k2工0
33
而A=[—也心1+2k2）]2-4（1+2k2）[2（1+2k2）2-32]
33
^22
y=kx+b
由IX2V2/得
l3216
222
（1+2k2）x2+4kbx+2b2-32=0（*）
设A（x1,y1），B（x2,y2），Q（x0，y0），则
将③代入④b=（1+2k2）⑤
3
•••x1,x2是（*）的两根二卜=（4kb）2—4（l+2k2）（2b2-32）=8xi6（l+2k2）—8b2>0⑥
⑤代入⑥得k2V47,又k工0
2
I
•••当"（-苧O"
岂94）时，A、B两点关于点
2
P、Q的直线对称
2.（2008年山东卷，理科,
22）
如图，设抛物线方程为x2
=2py（P>0）,M为直线y
=—2P上
任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B.
（I）求证：
A,M,B三点的横坐标成等差数列;
（II）已知当M点的坐标为（2,—2P）时，A^=4/10,求此时
抛物线的方程；
（III）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线X2=2py（p>0）上，其中点C满足OC=OA+OB（O为
坐标原点）。
若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在,
请说明理由。
1答案〗（I）证明:
由题意设
22
X.x2
A（xi，亠）,B（X2,』）,Xi2p2p
M（Xo,-2P）.
2
x/
y
I+2-
"2Py，y=2p
MA:
y+2p/（x-xo）;
P
MB:
y+2p=X2（^x0）;
P
22
釘2p诗（Xf,釘2p=評-x。
）,
为2X2=X1+X2-X。
*+X2=2X0,
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列。
2222
Xi—4Xi—4p=0,卷—4x?
—4p=0,
（Ill）解：
设D（X3,y3）,由题意得C（xi+x2,yi+y2），则CD中点坐标为
Q（xi+x2+X3yi+y2中y3）设直线AB的方程为y-yj=—0（X-x1），
P
2）当XoHO时,
22
Xi+X2
222^2
（2）对于D（2xo,2Xo）,C（2xo,__），则CD与y轴平行，而kAB^O,直线CD,AB
P2p
不垂直矛盾。
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