差分方程模型.docx
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差分方程模型
差分方程模型
一.引言
数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1.确定性连续模型
1）微分法建模（静态优化模型），如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2）微分方程建模（动态模型），如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3）稳定性方法建模（平衡与稳定状态模型），如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4）变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2.确定性离散模型
1）逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2）层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方
程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变
量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型（其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型），又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
差分方程简介
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是
离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是,往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。
关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
1.差分方程的定义
给定一个数列把数列中的前n，1项洛（i=0,1,2,…，n）关联起来得到的
方程，则称这个方程为差分方程。
2.常系数线性齐次差分方程
常系数线性齐次差分方程的一般形式为
XnaiXn」a2Xn,akXn上=0，
（1）
或者表示为
F（n,Xn,Xn1,,Xnk）（1'）
其中k为差分方程的阶数，其中a「a2,…，ak为差分方程的系数，且a^^0（^n）。
对应的代数方程
汕+耳汕丄+a2沾二+…+ak=0
（2）
称为差分方程
（1）的对应的特征方程。
⑵式中的k个根■1,-2/',5称为⑴式的特征根。
2.1差分方程的解
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。
下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。
2.1.1特征根为单根（互不相同的根）
设差分方程
（1）有k个单特征根（互不相同的根）‘1,‘2,…，’k，则
nnn
Xn*C2J亠•亠Clk
为该差分方程
（1）的通解。
其中G,Q,…,Ck为任意常数，且当给定初始条件
X^x（0），（i=1,2,,k）（3）
时，可以确定一个特解。
例1在信道上传输三个字母a,b,c且长度为n的词，规定有两个a连续出现的词不能传输，试确定这个信道允许传输的词的个数。
解：
令Xn表示允许传输且长度为为n的词的个数，n=1,2,3,…，通过简单计算可得=3，（a,b,c）,x2=8（即ab,ac,bc,bb,cc,ba,ca,cb）。
当n一3时，若词的第一个字母是b或c，则词可按禺」种方式完成；若词的第一个字母是a，贝U第二个字母是b或c，该词剩下的部分可按Xn,种方式完成。
于是得差分方程
Xn=2xn』'2xn_2（n=3,4「…）
其特征方程为
_2，_2=0，
特征根为
1=1.3，2=1-3
则通解为
Xn=C1（1、3）nC2（1-、•3）n，（n=3,4/）
利用条件疋=3，X2=8求参数C1，C2，即由
3（1+V3）+c2（1-V3）=3
J
w（1+V3）2+c2（1—』3）2=8’
解得
23-23
C1，Q
2U32J3
故得到原差分方程的通解为
2-芒3—n—23—n
Xn（13）n（1-..3）n，（n=1,2,34）
232、3
2.1.2
特征根为重根
设■仆’2,…’I是k阶差分方程xn^Xn」-a2Xn,………akxn上=0的
I
1（1乞丨乞k）个根，重数分别为m1,m2/,ml，且m^k，则该差分方程的通解i=1
为
mim2m|
i_!
in-i_lin-i_li.n
xn八5nc2in匕…"clin■l
i=1i4i=1
同样的，有给定的初始条件（3）可以唯一确定一个特解。
例2设初始值为xo=1,xi=0,X2=1,X3=2，解差分方程
XnXn」-3人上-5Xn」-2Xn/=0，（n=4,5,）
解：
该差分方程的特征方程为
432
■■3…5，_2二0，
解得其根为-1,-1,-1,2，故通解为
Xn=G（-1）nC2n（-1）nC3n2（-1）nC42n
代入初始条件x0=1,x1=0,x2=1,x3=2，得
42/«l、n29/«|\n+72/八n+10
Xn（T）n（-1）n（-1）2
52525252
2.1.3
特征根为复根
故该差分方程的满足初始条件的解为
设k阶差分方程Xn®Xn4■a2Xn,akXn*=0的一对共轭复根
二〉和相异的k-2个单根'3,'4^'k，则该差分方程的通解为
xn=C|ncosn丁c2：
nsinn丁Cs'3c4‘；ck'：
B
其中_:
2，二-arctan_。
ot
同样由给定的初始条件（3）可以唯一确定一个特解。
另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可类似的给出差分方程解的形式。
3.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式为
XnaiXn」a2Xn工akXn上二f（n）（4）
其中k为差分方程的阶数，其中ai,a2,…，ak为差分方程的系数，且a^=0（^n），f（n）为已知函数。
在差分方程（4）中，令f（n）=0，所得方程
XnaiXn」a2X2亠亠akXn“=0（5）
称为非齐次差分方程⑷对应的齐次差分方程，即与差分方程
（1）的形式相同。
求解非齐次差分方程通解的一般方法：
首先求对应的齐次差分方程（5）的通解X；，然后求非齐次差分方程（4）的一个特解x；0），则
X^x；-x；0）
为非齐次差分方程（4）的通解。
关于求x；的方法同求差分方程
（1）的方法相同。
对于求非齐次方程（4）的特解x；0）的方法，可以用观察法确定，也可以根据f（n）的特性用待定系数法确定，
具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。
4.差分方程的平衡点及其稳定性
在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但常常需要讨论解的稳定性。
对于差分方程F（n,Xn，Xn・i,…，XnQ=0，若有常数a是其解，即有
F（n,a,a,,a）=0
则称a是差分方程F（n,Xn,Xn・1,…，Xn・k）=0的平衡点，又对该差分方程的任意由
初始条件确定的解Xn=x（n），均有
limxn=a
n_.
则称这个平衡点a是稳定的；否则是不稳定的。
下面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性。
4.1一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
Xn1aXn二b，（6）
其中a,b为常数，且a-1,0。
它的通解为
Xn二C（-a）n丄（7）
a+1
易知丄是方程（6）的平衡点，由（7）式知，当且仅当
a+1
a<1
时，b是方程（6）的稳定的平衡点。
a+1
4.2二阶常系数线性差分方程
二阶常系数线性差分方程的一般形式为
Xn2aXn1bXn二r，（8）
其中a,b,r为常数，当r=0时，它有一特解
*
X=0，
当r=0，且ab•1=0时，它有一特解
*r
x
a+b+1
不管是哪种情形，x*是方程（8）的平衡点。
设方程（8）的特征方程为
2a儿-「b=0
的两个根分别为，二、，'='2，贝U
1当1,2是两个不同的实根时，方程（8）的通解为
Xn=X*G（'1）n。
2（-2）"；
2当r=，2二，是两个相同实根时，方程（8）的通解为
Xn=（G亠C2n）■n
3当^,2=P（cos日+isin日）是一对共轭复根时，方程（8）的通解为
Xn=x「（Cicosn：
C2sinnR
易知，当且仅当特征方程的任一特征根R<1时，平衡点x*是稳定的。
4.3—阶非线性差分方程
一阶非线性差分方程的一般形式为
Xni二f（Xn）（9）
其平衡点X由代数方程X=f（x）解出。
为了分析平衡点X*的稳定性，将方程（9）的右端f（Xn）在X*点作泰勒展开,只取一次项，得到
'***
Xni：
f（X）（Xn-X）f（X）（10）
（10）是（9）的近似线性方程，X*是（10）的平衡点，根据一阶常系数线性差分方
程⑹xn1ax^b的稳定性判定的相关结论，得：
1当f'（x*）|£1时，方程（9）的平衡点是稳定的；
2当f'（x*）|"时，方程（9）的平衡点是不稳定的。
三.差分方程建模实例
1.贷款买房问题
某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：
1）问该居民每月应定额偿还多少钱？
2）假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房？
1.1确定参变量：
用n表示月份，An表示第n个月欠银行的钱，r表示月
利率，x表示每月还钱数，A0表示贷款额。
1.2模型的建立与求解
1）模型的建立
时间
欠银行款
初始
Ao
一个月后
A=A。
（1r）—x
二个月后
A2=A（1r）—x
三个月后
a
A^=A2（1r）「x
a
n个月后
An=An_1（1r）—X
由上表可得相邻两个月的递推关系式
An二An』（1r）-x
1.3模型的求解：
（1）差分方程求解方法
先求其特解。
令An二代』二y，则y二y（1•r）-X，得特解为y二上
r
再求对应齐次方程人=代丄（1•r）的通解。
对应的特征方程为
■-（1r）=0，
得'=（1-r）。
齐次方程的通解为：
c（Vr）n
因此原方程的通解为：
An二c（1r）nr
又因为n=0时入=A，得c=A。
-X
r
故
代讥1rn-x丄」
r
⑵递推法:
,n二1.,n
1rj亠亠［1rA01r
A0=60000,A300=o,n=300,r=0.01
001
因此，该居民每月应偿还632元。
又632<700,所以该居民可以去买房
2•借贷问题
中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年“月均还款金额表”（自
1998年3月25日起执行）的一部分如下：
（借款额为一万元）单位：
元
贷款期限
年利率
还款总额
利息负担总和
月均还款额
（年）
（%）
（元）
（元）
（元）
15
10.206
19569.60
9569.60
108.72
20
10.206
23488.80
13488.80
97.87
试问他们是怎样算出来的?
借贷问题的数学模型
符号说明
以贷款期限20年为例：
借贷额A=10,000;
贷款期限为N年；
月利率r"0.206/12=0.008505;
“月均还款额”——表示每月还款额是相同的，记为X；
还款总额记为S.
建立模型
一开始借款A=10,000，一个月后欠银行本利为a=A°（1•r），但为了减少
欠款，还了x元，因而A=民（1r）-x，第k个月情况也是这样的，即
Ak二人二（1r）-x,k=1,2,,N
注意到了第N个月已经不欠银行的钱了，即An=0，因此，我们得到以下的数学模型:
A=Ak」（1+r）_xk=1,2，…N
A0,x,NKnown
FindoutsuchthatAN
三.数学模型的求解
首先求出用已知量表出的表达式。
由
2
A,=A（1r）—x=[代（1r）—x]（1r）—x=代（1r）-x[1（1r）]
可以猜想，并用数学归纳法证明：
Ak=民（1r）k—x[1（1r）（1r）「（1r）kJ]
由等比数列前k-1项的求和公式知：
kxk
Ak=A°（1r）-[（1r）-1],k=1,2/N
r
再由An=0，得到：
时（1r）N
[（1r）N-1]
把已知量带入，就得到表中的x
3.生物种群数量问题
一.问题的提出
种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。
要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。
由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，
种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为Xm，称为最
大种群容量。
又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量X的比记为：
r（x）二r-sx,r、s0，其中r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率，记当前（即t=0时）种群数量为Xo，时刻t种群数量为x（t）。
若利用统计数据可知Xm，r，Xo，贝U
1）设X（t）为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。
2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。
请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。
二•问题分析与模型建立
1.由于r（X）为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以t到
t•氏时间内种群数量的增量为
x（t.：
t）—x（t）二r（x）x（t）：
t
（1）
r
r（x）=rx，
xm
把它代入方程⑴得:
r
x（t：
t）_x（t）=（r）x（t）：
t
（2）
Xm
此方程两边同除-：
t,并令.■:
t>0,加上初始条件x（0）=x0可得未来任意时刻t种
群数量所满足的数学模型为：
dx；x]
—=r1_—!
x
*dtiXm丿⑶
x（0）=xo
2.由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群增长状况，则令
r
氏=1，t视为整数及r（x）x代入方程⑴得:
Xm
r
x（t1）-x（t）=（r）x（t）
Xm
加上初始条件x（0）=Xo得任意时刻t种群数量所满足的离散型数学模型为
x（t1）=（r1-r）x（t）
{Xm
x（0）=Xo
通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻t种群的数量。
三.模型求解
Xm
1.利用Mathematica求解方程
（1），可得任意时刻t种群数量为
x（t）二
1+皿-1e
Mathematica源程序为:
DSolvgx（t）_r*（1_x[t]/xm）*x[t]==0,x[t],t]
2.根据方程
（2），只要给出初值x。
就可以很容易进行递推而得到任意时刻t种群的数量。
四.结果分析
1•上面方程（3）有时称为阻滞增长模型或Logistic模型，它有着广泛的应用例如传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限的市场上的销售等现象，都可以合理的、简化的用这个模型来进行描述。
但它存在不足，因为随着环境的变迁，最大种群容量可能会发生变化，而且最大种群容量也不容易准确得到。
2.一方面，用离散化的时间来研究问题有时是很方便的，尤其出现了计算机以后，人们可以很方便的对问题进行求解；另一方面，对这个种群数量问题，由于许多种群实际上是由单一世代构成的，在相继的世代之间几乎没有重叠，所以种群的增长是分步进行的。
这种情况下，为了准确的描述种群的数量动态就不能用微分方程，而应利用离散的模型来描述。
4.人口的控制与预测模型
一•问题的提出
常见的两个常微分方程模型（马尔萨斯（Malthus）模型和洛杰斯蒂克（Logistic）模型）没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。
完全忽略了这些差异显然是不合理的。
但我们不可能对每一个人的情况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口的变动的影响，即假设同一年龄的人具有相同的死亡率和生育能力，这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息•
下面来建立离散的差分数学模型来表现人口数量的变化规律。
二.模型的建立与求解
设xk（t）为第t年年龄为k的人口数量，k=0,1,2,-TOO，即忽略百岁以上的人口。
如果知道了第t年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展变化规律推得第t1年各年龄组的人口数。
首先引入k岁人口的死亡率和k岁育龄妇女的年生育率这两个概念，他们的
含义和记号如下:
k岁人口的年死亡率:
k岁妇女的年生育率:
第t1年k1岁的人口数就是第t年k岁人口数扣除它在该年的死亡人数,即
Xki（t1）=（1-dk）Xk（t），
令pk=1-dk称为k岁人口的存活率，故各年龄组人口随时间的变化规律可用递
推公式
Xki（t1）=PkXk（t）,（k=0,1,,99）
来表示。
再考虑到零岁的人数
100
Xo（t1）=為bkUk（t）Xk（t），
k=0
其中Uk（t）Xk（t）为第t年k岁的妇女人数，Uk（t）为第t年k岁人口的女性比（占全部k岁人口数），bkUk（t）Xk（t）就是第t年k岁妇女所生育的婴儿数.由此得到的人口模型是：
100
Xo（t1）-為bkUk（t）Xk（t）
*心
（1）
和住+1）=PkXk（t）,k=0,1，…,99
根据人的生理特征和人口学中的习惯，妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁之
间，即当k<15和k49时，bk=0，令
x（t）=（X0（t）,X1（t）,,Xk（t）,,X100（t））T
'u0（t）bo
ui（t）bi
比佻
U99（t）b99
ui00（t）b100
Po
0
0
0
0
L=
0
Pi
0
0
0
■・-
………
—
0
0
0
p99
0」
则人口模型
（1）
的矩阵形式为
x（t1）=Lx（t）⑵
其中L称为莱斯利（Lwslie）矩阵.当第t0年的人口状况已知时，从式⑵就可以
推得第t年的人口为
x（t1）=LtJ°x（to）.
5.市场经济中的蛛网模型
在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。
另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。
反之,价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。
在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此反复下去。
这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。
这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人民群众的正常生活。
（1）商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定？
（2）当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定？
下面用差分方程理论建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。
3.1模型的假设和符号说明
1记第n时段商品数量为xn，价格为yn，n=1,2/0
这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉类可以是一个饲养周期。
2在门时段商品的价格yn取决于数量Xn。
设yn二f（Xn）。
它反映消费者对这种商品的需求关系，称为需求函数。
因为商品的数量越多，价格越低。
需求函数在图1中用一条下降的曲线f表示，f称为需求曲线。
3在n1时段商品的数量Xn1由上一时段的价格yn决定，用Xn・1=g（yn）表示。
它反映生产者的供应关系，称为供应函数。
因为价格越高，生产量越大。
供应函数在图1中用一条上升的曲线g表示，g称为供应曲线
xo
图1商品供求关系曲线
3.2模型的建立与求解
设需求曲线f和供应曲线g相交于点P0（x0,y0），在F0附近取函数f和g的
线性近似，即
需求曲线f:
yn-y0-八（xn-X0）,?
0（11）
供应曲线g:
Xn1-X。
£（yn-y。
）,10（12）
由式（11）（12）消去yn，得到一阶线性差分方程
Xn.1-%（1；一:
片）x0，n=1,2,（13）
因此Xo是其平衡点，即P0是平衡点。
对式（13）进行递推，得
Xn1-^^■）X1■[1—■（-「-）]x。
，n-1,2,
由此可得，平衡点稳定的条件是：
厂＜1;不稳定的条件是：
门.1。
下面用图形解释此模型。
若对某一个k有xk=x0，则由（11）式得，当n—k时xn=x0，从而yn=y。
，即商品的数量和价格将永远保持在Po（Xo，yo）点。
但是实际生活中的种种干扰使
得Xn,yn不可能停止在Po（Xo,y。
）上。
不妨设X1偏离Xo（见图2，图3），我们来分析随着n的增加，Xn,yn的变化情况。
图2Po点是稳定的
数量X1给定后，价格y1由曲线f上的P点决定，下一时段的数量X2由曲线g
上的P2点决定，这样得到一序列的点R（xi,yj,P2（x2,y2）,P3（xa,ya）,
P4（X4,y4），…,在图2上，这些点将按照箭头所示方向趋向Po（xo,yo），表明
Po
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