最新北师版小学六年级数学下册第四单元教学设计.docx
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最新北师版小学六年级数学下册第四单元教学设计
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本单元在学生具有比和比例的知识、认识常见数量关系的基础上编排的,通过对两个数量保持商一定或积一定的变化,理解正、反比例关系,渗透初步的函数思想。
正比例和反比例是刻画变量之间关系的两个重要模型,是小学阶段学习的两个重要的“关系”（即函数）,是以后学习函数的相关知识的基础。
在回顾和反思的教学过程中,鼓励学生独立进行整理。
教材编排了寻找实例、列表、画图等丰富的学习活动,帮助学生体会两个变量之间的相互关系,加深学生对正、反比例关系的认识。
学生在之前已经对比和比例有了较深的认识,为本单元内容的学习奠定了基础,所以在教学上要十分重视从旧知识引申出新知识,在这个过程中,蕴含了抽象概括的方法,运用这个概括对新的实际问题进行判断,是数学学习所特有的能力。
1.通过具体问题使同学们加深对正、反比例意义的理解,初步建立函数思想。
2.能找出生活中成正比例和反比例量的实例,并进行交流。
培养学生的讨论意识和合作能力,使学生在合作学习中获得学习乐趣。
3.能根据有关正比例关系的数据在方格纸上的坐标系中画图,并根据其中一个变量的值得出另一个变量。
1.创设情境,培养数学情感。
本单元的教学内容是正比例和反比例,教学中通过丰富的情境,让学生从具体情境中抽象出正、反比例这一数学模型。
2.联系生活实际创设数学活动。
让学生通过寻找生活中成正、反比例的量,并运用表格、图、关系式等方式来描述正、反比例关系,使学生进一步感知正、反比例在生活中的广泛应用,并让学生学习用多种形式来理解变量之间的关系。
1 变化的量1课时
2 正比例1课时
3 画一画1课时
4 反比例1课时
5 练习四1课时
变化的量。
（教材第39~40页）
1.结合具体情境,体会生活中存在着大量相关联的变量。
鼓励学生观察表格、图像、关系式,尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。
2.提高学生的识图能力和分析问题的能力。
3.培养学生认真观察的良好习惯,感受生活中处处有数学。
重点:
充分感受相关联的变量,根据图表说明两种量的变化情况。
难点:
体会变量之间的关系,并能用自己的语言描述两个变量之间的关系。
课件。
引导学生用手势表示出自己从出生到现在身高和体重的变化。
师:
同学们,在我们的生活中有很多事物都在不断地发生变化。
例如,人的年龄、身高、体重在变化,我国的人均收入、生产总值等也都在变化,像这样会变化的量,我们都称为变量。
而且往往一些量的改变会引起另外一些量的改变。
例如,购物时,单价或数量的改变,会引起总价的改变。
这节课就让我们一起来学习“变化的量”。
（板书课题:
变化的量）
观察表格,感知变量。
1.出示淘气用表格表示妙想的体重变化情况表。
年龄
出生时
2岁
4岁
6岁
体重/千克
3.5
14.0
18.0
21.0
师:
这是妙想的体重变化情况表,从表中你知道了什么信息?
生:
妙想在不同年龄时的体重情况。
师:
上表中哪些量在发生变化?
生:
年龄增长,体重也在增加。
师:
说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。
生:
随着年龄的增长,体重也在增加。
2.出示教材第39页妙想的体重变化情况折线统计图。
师:
人的年龄和体重是相关联的两个量,人的体重随着年龄的变化而变化。
通过读图,感受变量。
3.出示教材第39页主题图。
师:
骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而发生较大的变化。
读懂统计图。
师:
从图中你知道了什么信息?
生:
骆驼一天中的体温是在不断变化的。
师:
一天中,骆驼体温最高是多少?
最低是多少?
生1:
骆驼体温最高是40℃。
生2:
最低是35℃。
感受量的周期变化。
师:
一天中,什么时间范围内骆驼的体温在上升?
生:
从4时到16时骆驼的体温在上升。
师:
什么时间范围内骆驼的体温在下降?
生:
从0时到4时、从16时到24时骆驼的体温在下降。
师:
第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系?
生:
体温相同,都是37℃。
师:
每天骆驼的体温总是怎样变化的?
生:
每天都是从前一天的16时开始下降、4时开始上升、16时开始下降、第二天的4时开始上升。
学生谈体会,教师小结。
师:
在大自然和日常生活中有很多像这样相关联的两个变量,一个量随着另一个量的变化而变化。
谁还能举出这样的例子?
与同伴交流。
生1:
购买铅笔的支数与总价。
生2:
时间与路程。
……
师:
通过举例我们可以发现一个量随另一个量变化而变化,这些量就是变化的量。
师:
通过本节课的学习你都掌握了哪些知识?
生1:
明确了两个量之间的关系。
生2:
我知道什么是变量。
生3:
一个量随着另一个量的变化而发生变化。
变化的量
两个变量
其中一个量随着另一个量的变化而变化
读懂图很重要,应引导学生从整体的视角观察图中所反映出来的变化情况。
尽量引导学生自己去思考,鼓励学生利用自己所学的知识和生活经验,举出一个量随另一个量的变化而变化的例子。
教师应引导学生从生活中寻找相关联的变量的例子,教学时,只要学生说得合理,教师就应给予肯定,让学生有机会表达自己的想法,提高学生的表达能力。
A类
1.根据下表回答问题。
已看的页数/页
100
110
120
……
200
250
未看的页数/页
200
190
180
……
100
50
（1）上表中哪些量在发生变化?
（2）说一说已看的页数和未看的页数是如何变化的。
2.下图反映的是小明骑车行驶的路程和所用时间的情况。
图中两种量是不是相关联的量?
它们是如何变化的?
（考查知识点:
感受相关联的变量,根据图表说明两种量的变化情况;能力要求:
能用自己的语言描述两个变量之间关系）
B类
小明乘车去旅游,汽车行驶的里程和票价如下表。
里程/千米
1~20
21~30
31~40
41~50
51~60
61~70
票价/元
10
15
20
25
30
35
（1）上表中哪些量在发生变化?
（2）说一说票价是如何随里程的变化而变化的。
（考查知识点:
提高学生读表的能力和分析问题的能力;能力要求:
能用自己的语言描述两个变量之间的关系）
课堂作业新设计
A类:
1.
（1）已看的页数和未看的页数在发生变化。
（2）随着已看的页数的增加,未看的页数逐渐减少,总页数不变。
2.图中两种量是相关联的量。
随着时间的增加,行驶的路程也在增加,且行驶的路程与时间的比值是一定的。
B类:
（1）里程和票价在发生变化。
（2）从20千米开始,每增加10千米就增加5元。
教材第40页“练一练”
1.圆柱的高增加,它的体积也增加,体积与高的比值一定,都是10。
2.
（1）18米 3米
（2）0~6分 6~12分 （3）12分
3.n÷7+3=t
正比例。
（教材第41~43页）
1.结合丰富的实例认识正比例。
能根据正比例的含义,判断两个相关联的量是不是成正比例。
2.通过观察、比较、分析、归纳等数学活动,发现成正比例的量的特征,并尝试概括出正比例的含义。
提高分析比较、归纳概括、判断推理的能力,同时渗透初步的函数思想。
3.在参与数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,并乐于与人交流。
重点:
能初步运用正比例的意义判断两个相关联的量是否成正比例。
难点:
通过实例认识成正比例的量,掌握成正比例的量的变化规律及其特征。
课件、弹簧秤、钩码。
教师做实验,向弹簧秤上加钩码。
（1）这其中有哪两种变化的量?
（2）弹簧的长度为什么会发生变化?
师:
弹簧的长度是随着钩码数量的变化而变化的,像这样的两种量叫作相关联的量。
追问:
现在知道什么叫作相关联的量了吗?
你能举例说明吗?
两种相关联的量还有什么特殊的关系呢?
今天我们就一起来研究一下。
1.学习成正比例的量。
课件出示教材第41页第一个问题及表格。
边长/厘米
1
2
3
周长/厘米
4
边长/厘米
1
2
3
面积/平方厘米
1
根据正方形的周长与边长、面积与边长之间的变化情况,把表格填完整,并根据问题观察表中填好的数据,思考应该怎样解答?
学生填表,相互交流、讨论。
师:
表中有哪两种量?
生1:
周长和边长。
生2:
面积和边长。
师:
你发现它们是怎样变化的?
生1:
正方形的周长随着边长的增加而增加。
生2:
正方形的面积也是随着边长的增加而增加。
生1:
周长总是边长的4倍,而面积与边长的商在发生变化。
生2:
=4,
=4,周长与边长的比值不变。
生3:
=1,
=2,面积与边长的比值不相等。
生4:
可用
=4表示,也就是说在变化过程中,周长与边长的比值是一个定值4,是不变的。
师:
周长和边长、面积和边长之间的变化规律相同吗?
什么不变?
生:
在变化过程中,正方形的周长总是边长的4倍,也就是说比值一定;而正方形的面积与边长的比值不同,与正方形的周长与边长的变化规律不同。
小组讨论交流汇报。
【设计意图:
通过观察、比较、讨论使学生进一步感知两种变化的量的关系,为认识正比例的意义奠定基础】
2.课件出示教材第41页第二个问题及表格。
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
路程/千米
90
180
270
360
师:
你能把表格填写完整吗?
学生独立完成。
师:
说一说你是根据什么来填的?
（小组交流）
生:
路程÷时间=90。
师:
观察路程与时间这两种量,你发现了什么规律?
（小组讨论、交流）
生1:
路程随着时间的变化而变化。
生2:
路程÷时间=90（一定）,即路程与时间的比值（也就是速度）一定。
师:
从上面两个例题中,你发现它们有什么共同特征?
生:
它们都是两个相关联的量,一个量随着另一个量的变化而变化。
师:
好!
像路程和时间这两个量,时间变化,所行驶的路程也随着变化,且路程与时间的比值（速度）一定,我们就可以说路程和时间成正比例。
（板书:
正比例）
师:
第一个问题中,正方形的周长与边长成正比例吗?
生1:
正方形的周长随边长的变化而变化,并且周长与边长的比值都是4,所以正方形的周长与边长成正比例。
生2:
正方形的面积虽然也随边长的变化而变化,但面积与边长的比值是一个变化的值,所以正方形的面积和边长不成正比例。
师:
很好,接下来大家在小组内说一说生活中还有哪些量成正比例。
学生交流、讨论。
师:
如果两个量成正比例,那么它们需要符合哪些条件呢?
生1:
两种量必须是相关联的量。
生2:
一种量变化另一种量也要随着变化,并且这两个量的比值（商）一定。
正 比 例
正方形的周长和边长的比值一定
正方形的面积和边长的比值不一定
路程和时间的比值一定
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量的比值一定,我们就说这两种量成正比例。
1.学生理解正比例的意义往往比较困难,引导学生了解正比例在生活中的广泛存在十分重要。
2.正比例关系是非常重要的一种数量关系,学好正比例关系,不仅可以加深对比例知识的理解,解决一些实际问题,而且还渗透了函数思想,为学生今后的学习奠定了基础。
A类
填空。
（填“成”或“不成”）
（1）工作效率一定,工作时间和工作总量（ ）正比例。
（2）三角形的底一定,它的面积和高（ ）正比例。
（3）食堂买回150吨煤,烧了的煤与剩下的煤（ ）正比例。
（4）出勤率一定,出勤的人数与应出勤的人数（ ）正比例。
（考查知识点:
理解正比例的含义;能力要求:
能正确判断两个相关联的量是否成正比例）
B类
下面是一些有关圆的数据,你能说出哪两种量成正比例吗?
说明理由。
半径/米
1
2
3
4
直径/米
2
4
6
8
周长/米
6.28
12.56
18.84
25.12
面积/平方米
3.14
12.56
28.26
50.24
（考查知识点:
成正比例的量的变化规律及其特征;能力要求:
会根据正比例的意义解决实际问题）
课堂作业新设计
A类:
（1）成
（2）成 （3）不成 （4）成
B类:
在同一个圆中,直径和半径成正比例,周长和直径成正比例,周长和半径成正比例。
教材第42页“练一练”
1.
（1）竿影的长随着竹竿的高的增加而增长。
（2）0.4∶1=0.8∶2=1.2∶3=2.4∶6=3.2∶8=0.4 比值都相等。
（3）成正比例 因为竿影的长与竹竿的高度的比值都是0.4（一定）,所以成正比例。
2.平行四边形的面积和高成正比例,因为面积与高的比值是6（一定）。
3.原因略
（1）成正比例
（2）不成正比例 （3）不成正比例
4.2.4 3.2 4.0 4.8 5.6 6.4 发现邮票的数量增加,应付的钱数也随着增加。
应付金额与所买邮票的数量成正比例。
画一画。
（教材第44~45页）
1.在具体情境中,通过“画一画”的活动初步认识正比例图像。
2.会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值得到它所对应另一个变量的值,提高学生分析问题的能力。
3.利用正比例关系解决生活中的一些简单问题,培养学生善于思考和积极参与的良好习惯。
重点:
会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,理解用图像认识正比例关系,并能根据其中一个量的值得出另一个变量的值。
难点:
能在图中根据一个变量的值得出它所对应的另一个变量的值。
课件。
师:
前面我们已经学习了有关正比例的知识,请同学们判断下面各题中的两个量是否成正比例?
（1）每行人数一定,总人数和行数。
（2）长方形的长一定,宽和面积。
（3）长方体的底面积一定,体积和高。
（4）分子一定,分母和分数值。
（5）长方形的周长一定,长和宽。
（6）一个自然数和它的倒数。
师:
今天老师要带你们去看一场电影,你们高兴吗?
（生齐:
高兴）那我来问你,假设每人的票价是2元,我们全班45人,一共需要带多少元钱呢?
师:
请同学们打开教材第44页,填写表格。
（课件出示教材第44页第1个问题）
学生填写,教师巡视,帮助有困难的学生。
师:
观察表中的数据,你有什么发现?
生1:
所付票费随着看电影人数的增加而增加,且人数扩大2倍,票费也扩大2倍。
生2:
所付票费与看电影的人数的比值是2,所以它们成正比例。
师:
你们说得很好,那么能不能用图来表示这种关系呢?
（课件出示教材第44页第2个问题）你准备怎样观察?
发现了什么?
生1:
看看横轴表示什么,纵轴表示什么?
生2:
横轴表示看电影的人数,纵轴表示所付的票费。
生3:
我发现横轴上1格表示1人,纵轴上1格表示1元。
生4:
每一个点都有对应的一组数。
师:
下面我们分小组来观察,完成后面的问题。
（课件出示教材第44页第3个问题）
要求:
①学生先独立完成,再在小组内交流。
②有困难的学生可以举手寻求帮助。
③每组要提出一个问题,挑战其他组。
④连接各点,你有什么发现?
小组开始交流,教师巡视。
小组汇报。
小组1:
点A表示5人看电影所付票费是10元,也就是5的2倍是10。
师:
哪个小组能根据表格说说其他各点的意思?
小组2:
我们小组发现所描的点都在同一条直线上。
师:
为什么会在同一条直线上呢?
生:
因为纵轴上的数是横轴上的2倍,每次增加的都一样。
师:
如果有一个点是（100,200）,那么这个点是否也在这条直线上呢?
生:
因为这个点表示100人看电影的票费是200元,纵轴上的数也是横轴上的2倍,所以这个点也在这条直线上。
师:
当一个数按固定倍数随另一个数增长时,所绘出的图形是一条直线。
（课件出示:
按顺序连接个点）
师:
这节课你们学到了哪些知识?
生1:
用图的形式可以直观地表示两个成正比例的量的变化关系。
生2:
当两个变量成正比例时,所绘成的图像是一条直线。
生3:
利用图可以进行估算,利用估算可以解决一些实际问题。
画 一 画
正比例图像是一条通过原点的直线。
图像上任意一点都能在横轴和纵轴上找到相对应的点,以此来解决实际问题。
本节课的教学主要是在具体情境中,通过“画一画”的活动,使学生初步认识正比例图像,会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值得到它所对应的另一个变量的值,进而解决生活中的一些简单问题。
教学中,我主要让学生先读懂图的意思,如横轴、竖轴表示什么,各个点所表示的意义是什么,经过了解之后再让学生连接各点,谈谈自己的发现,学生会形象地看到所描的点都在同一条直线上。
在教学中给学生充分操作的空间,让学生谈谈自己的发现,鼓励学生利用图进行一些估计,进而解决一些实际问题。
A类
下图表示的是一根水管不停地向水箱注水,水箱内水的体积的变化情况。
（1）看图说关系。
观察上图,图中哪些量是变化的?
哪些量是不变的?
（2）根据图填写下表。
注水时间/分
5
8
13
……
水的体积/升
10
20
……
（考查知识点:
认识正比例图像;能力要求:
能在图中根据一个变量的值得出它所对应的另一个变量的值,利用正比例关系解决生活中的一些简单问题）
B类
下面是小丽和同学们用自制的皮筋秤（最多可称2千克的质量）称物体质量的情况变化图。
（1）根据上图完成下表。
所称质量/克
0
200
400
600
800
900
1000
皮筋伸长的长度/厘米
0
2
（2）你发现表中哪两个量成正比例?
（3）小丽用这个皮筋秤称一本书的质量,皮筋伸长18厘米,这本书的质量是多少?
（考查知识点:
综合运用正比例关系解决生活中的一些简单问题;能力要求:
能运用正比例关系解决实际问题）
课堂作业新设计
A类:
（1）注水时间和水箱内水的体积是变化的;水箱内水的体积与注水时间的比值是不变的。
（2）16 10 26
B类:
（1）4 6 8 9 10
（2）皮筋伸长的长度与所称物体的质量成正比例。
（3）1800克
教材第45页“练一练”
1.
（1）20 25 30 35
（2）成正比例 （3）（描点略）发现这些点在一条直线上。
（4）在这条直线上,表示8人要付船费40元。
2.成正比例,因为弹簧伸长的长度与所挂物体的质量的比值都是0.4（一定）。
3.
（1）成正比例,因为圆的周长和直径的比值是π（一定）。
（2）①16 15.7 ②47 47.1
反比例。
（教材第46~48页）
1.使学生认识反比例关系的意义,理解并掌握成反比例量的变化规律及其特征。
2.进一步培养学生的观察、分析、综合、概括能力,使学生掌握判断两种相关联的量是否成反比例的方法。
3.渗透数学源于生活的观点。
重点:
通过具体问题理解成反比例量的变化规律及其特征。
难点:
会判断两种相关联的量能否成反比例。
课件。
师:
我们已经学习了正比例,那么判断两种相关联量是否成正比例的关键是什么?
生:
看这两种量之间的比值是否一定,如果比值一定,那么就成正比例,否则不成正比例。
师:
下面哪两种量成正比例?
为什么?
（1）时间一定,行驶的速度和路程。
（2）数量一定,单价和总价。
生1:
因为
=时间（一定）,也就是速度和路程的比值一定,所以速度和路程成正比例。
生2:
因为
=数量（一定）,也就是单价和总价的比值一定,所以单价和总价成正比例。
师:
速度、时间和路程之间的数量关系,在什么条件下,其中两种量成正比例?
（学生回答后老师板书）
生1:
速度=
在速度一定的条件下,时间和路程成正比例。
生2:
时间=
在时间一定的条件下,速度和路程成正比例。
师:
如果路程一定,速度和时间之间会有怎样的关系呢?
这就是我们今天要学习的反比例关系。
（板书课题:
反比例）
1.出示教材第46页第1个问题。
表1
x
1
2
3
4
y
24
12
表2
x
1
2
3
4
y
11
10
把表格补充完整。
师:
同桌互相说一说上面两个表中各有哪两种量。
一行一行地看,发现了什么?
一列一列地看,又发现了什么?
生:
长方形一条边的边长都随着邻边边长的增长而减少。
师:
表1和表2中,长方形相邻两边边长之间变化规律相同吗?
用表中提供的数据说明一下。
生1:
面积是24平方厘米的长方形,1×24=24=2×12=3×8……相邻两边的积都是24。
生2:
周长是24厘米的长方形,1×11=11,2×10=20……积不相等,1+11=2+10……和相等。
相邻两边的积不相等,但相邻两边的和相等。
师:
早上,爸爸妈妈都乘坐哪些交通工具去上班?
生1:
坐班车。
生2:
开私家车。
生3:
坐公交车。
生4:
骑自行车。
……
师:
无论上学还是上班,我们最担心的是迟到,所以很关注时间（教师用手指指手表）,同时,还关注交通工具的快慢,也就是车的速度。
那么,速度和时间是不是两种相关联的量?
生:
是。
2.课件出示下面的表格。
自行车
大巴车
小轿车
速度/（千米/时）
10
60
80
时间/时
12
2
1.5
师:
一行一行地看,发现了什么?
一列一列地看,又发现了什么?
生1:
速度不相同,时间也不相同。
生2:
时间随着速度的变化而变化。
生3:
10×12=60×2=80×1.5。
师:
虽然速度和时间都在变化,但路程是不变的,速度×时间=路程,路程都是120（一定）。
像这样,相关联的两个量（速度和时间）,一个量（速度）变化,另一种量（所用的时间）也随着变化,如果这两种量（速度与时间）的乘积（也就是路程）一定,我们就说这两种量（速度和时间）成反比例。
师:
第一个问题中,表1和表2中的长方形相邻两边的边长（长和宽）成反比例吗?
生1:
表1中长方形相邻两边的边长的积一定（都是24）,所以长和宽成反比例。
生2:
表2中长方形相邻两边的边长的积是变化的,不是定值,所以长和宽不成反比例。
师:
如果用x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的乘积,你能用关系式表示成反比例的两个量的关系吗?
生1:
xy=k。
生2:
不对,还要说明k是定值,即xy=k（一定）。
师:
说得真棒。
师:
通过本节课的学习,你掌握了哪些知识?
生1:
明确了成反比例两个量之间的关系,以及两个量能否成反比例的判断方法。
生2:
相关联的两种量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量的乘积一定,我们就说这两种量成反比例。
生3:
反比例关系式可表示为xy=k（一定）。
反 比 例
面积是24平方厘米的长方形:
1×24=24=2×12=3×8……积相等
周长是24厘米的长方形:
1×11=11,2×10=20……积不相等
1+11=2+10……和相等
速度×时间=路程（一定） 10×12=60×2=80×1.5=120
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量的积一定,这
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