运筹学试题及答案.docx

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运筹学试题及答案

一、填空题：

（每空格2分，共16分）

1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。

2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加4。

3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错错

4、如果某一整数规划：

MaxZ=X1+X2

X1+9/14X2≤51/14

-2X1+X2≤1/3

X1,X2≥0且均为整数

所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X1进行分枝，应该分为X1≤1和X1≥2。

5、在用逆向解法求动态规划时，fk（sk）的含义是：

从第k个阶段到第n个阶段的最优解。

6.假设某线性规划的可行解的集合为D，而其所对应的整数规划的可行解集合为B，那么D和B的关系为D包含B

7.已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X3,X4,X5为松驰变量。

XB

b

X1

X2

X3

X4

X5

X4

3

0

0

-2

1

3

X1

4/3

1

0

-1/3

0

2/3

X2

1

0

1

0

0

-1

Cj-Zj

0

0

-5

0

-23

问：

（1）写出B-1=

（2）对偶问题的最优解：

Y＝（5，0，23，0，0）T

8.线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；

9.极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；

10.若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设Xi=bi不符合整数要求，INT（bi）是不超过bi的最大整数，则构造两个约束条件：

Xi≥INT（bi）＋1和Xi≤INT（bi），分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。

11.知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中X4,X5,X6为松驰变量。

XB

b

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X1

2

1

1

0

2

0

1

X3

2/3

0

0

1

1

0

4

X5

1

0

-2

0

1

1

6

Cj-Zj

0

0

0

-4

0

-9

问：

（1）对偶问题的最优解：

Y＝（4,0,9,0,0,0）T

（2）写出B-1=

二、计算题（60分）

1、已知线性规划（20分）

MaxZ=3X1+4X2

X1+X2≤5

2X1+4X2≤12

3X1+2X2≤8

X1,X2≥0

其最优解为：

基变量

X1

X2

X3

X4

X5

X3

3/2

0

0

1

-1/8

-1/4

X2

5/2

0

1

0

3/8

-1/4

X1

1

1

0

0

-1/4

1/2

σj

0

0

0

-3/4

-1/2

1）写出该线性规划的对偶问题。

2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么

3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么

4）如果增加一种产品X6，其P6=（2,3,1）T，C6=4该产品是否应该投产为什么

解：

1）对偶问题为

Minw=5y1+12y2+8y3

y1+2y2+3y3≥3

y1+4y2+2y3≥4

y1,y2≥0

2）当C2从4变成5时，

σ4=-9/8

σ5=-1/4

由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。

3）当若b2的量从12上升到15

X＝9/8

29/8

1/4

由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。

4）如果增加一种新的产品，则

P6’=（11/8,7/8，－1/4）T

σ6=3/8>0

所以对最优解有影响,该种产品应该生产

2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。

（共15分）。

销地

产地

B1

B2

B3

产量

A1

5

9

2

15

A2

3

1

7

11

A3

6

2

8

20

销量

18

12

16

解：

初始解为

B1

B2

B3

产量/t

A1

15

15

A2

11

11

A3

18

1

1

20

销量/t

18

12

16

计算检验数

B1

B2

B3

产量/t

A1

5

13

0

15

A2

－2

0

0

11

A3

0

0

0

20

销量/t

18

12

16

由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整

调整为：

B1

B2

B3

产量/t

A1

15

15

A2

11

11

A3

7

12

1

20

销量/t

18

12

16

重新计算检验数

B1

B2

B3

产量/t

A1

5

13

0

15

A2

0

2

2

11

A3

0

0

0

20

销量/t

18

12

16

所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解

3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少各承包商对工程的报价如表2所示：

（15分）

项目

投标者

A

B

C

D

甲

15

18

21

24

乙

19

23

22

18

丙

26

17

16

19

丁

19

21

23

17

答最优解为：

X=0100

1000

0010

0001

总费用为50

4.考虑如下线性规划问题（24分）

Maxz=-5x1+5x2+13x3

.-x1+x2+3x3≤20

12x1+4x2+10x3≤90

x1，x2，x3≥0

回答以下问题：

1）求最优解

2）求对偶问题的最优解

3）当b1由20变为45，最优解是否发生变化。

4）求新解增加一个变量x6，c6=10，a16=3，a26=5，对最优解是否有影响

5）c2有5变为6，是否影响最优解。

答：

最优解为

1）

Cj

-5

5

13

0

0

θ

CB

XB

b

X1

X2

X3

X4

X5

0

X4

20

-1

1

3

1

0

20/3

0

X5

90

12

4

10

0

1

9

Cj-Zj

-5

5

13

0

0

13

X3

20/3

-1/3

1/3

1

1/3

0

20

0

X5

70/3

46/3

22/3

0

-10/3

1

70/22

Cj-Zj

-2/3

2/3

0

-13/3

0

13

X3

185/33

-34/33

0

1

2/11

-1/22

5

X2

35/11

23/11

1

0

-5/11

3/22

-68/33

0

0

-1/11

-1/11

最优解为X1=185/33,X3=35/11

2）对偶问题最优解为

Y＝（1/22,1/11,68/33,0,0）T

3）

当b1=45时

X=45/11

-11/90

由于X2的值小于0，所以最优解将发生变化

4）P6’=（3/11,-3/4）T

σ6=217/20>0

所以对最优解有影响。

5）当C2=6

σ1=-137/33

σ4=4/11

σ5=-17/22

由于σ4大于0所以对最优解有影响

5.求如图所示的网络的最大流和最小截集（割集），每弧旁的数字是（cij,fij）。

（15分）

V1

（5,0）（3,3）

（3,3）

VS（4,1）V2

（4,0）

（9,3）（8,4）

V3

Vt

（6,0）

最大流为：

14

V1

（5,3）（3,3）

（3,0）

V2

Vs（4,4）

（4,1）

（9,7）（8,8）

Vt

V3（6,6）

6.考虑如下线性规划问题（20分）

Maxz=3x1+x2+4x3

.6x1+3x2+5x3≤9

3x1+4x2+5x3≤8

x1，x2，x3≥0

回答以下问题：

1）求最优解；

2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；

3）若问题中x2列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化；

4）c2由1变为2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。

Cj

3

1

4

0

0

CB

XB

b

X1

X2

X3

X4

X5

0

X4

9

6

3

5

1

0

0

X5

8

3

4

5

0

1

Cj-Zj

3

1

4

0

0

0

X4

1

3

-1

0

1

-1

4

X3

8/5

3/5

4/5

1

0

1/5

Cj-Zj

3/5

-11/5

0

0

-4/5

3

X1

1/3

1

-1/3

0

1/3

-1/3

4

X3

7/5

0

1

1

-1/5

2/5

Cj-Zj

0

-2

0

-1/5

-3/5

最优解为X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5

2）对偶问题为

Minw=9y1+8y2

6y1+3y2≥3

3y1+4y2≥1

5y1+5y2≥4

y1,y2≥0

对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/5

3）若问题中x2列的系数变为（3，2）T

则P2’=（1/3,1/5）T

σ2=-4/5＜0

所以对最优解没有影响

4）c2由1变为2

σ2=-1＜0

所以对最优解没有影响

7.求如图所示的网络的最大流和最小截集（割集），每弧旁的数字是（cij,fij）。

（10分）

V1（4,4）V3

（9,5）（6,3）

VS（3,1）（3,0）（4,1）Vt

（5,3）（7,5）

V2（5,4）V4

解：

V1（4,4）V3

（9,7）（6,4）

（3,2）（4,0）

VsVt

（5,4）（7,7）

V2（5,5）V4

最大流＝11

8.某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过A、B、C三种设备加工。

已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：

ⅠⅡⅢ

设备能力（台.h）

A

B

C

111

1045

226

100

600

300

单位产品利润（元）

1064

1）建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。

（15分）

2）产品Ⅲ每件的利润到多大时才值得安排生产如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。

（4分）

3）产品Ⅰ的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。

（2分）

4）设备A的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。

（3分）

5）如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h，预期每件为8元，是否值得生产。

（3分）

6）如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优计划的变化。

（3分）

解：

1）建立线性规划模型为：

MaxZ=10x1+6x2+4x3

x1+x2+x3≤100

10x1+4x2+5x3≤600

2x1+2x2+6x3≤300

xj≥0,j=1,2,3

获利最大的产品生产计划为：

X*=（x1,x2,x3,x4,x5,x6）’=（100/3,200/3,0,0,0,100）’Z*=2200/3

2）产品Ⅲ每件利润到20/3才值得生产。

如果产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，最优计划的变化为：

X*=（x1,x2,x3,x4,x5,x6）’=（175/6,275/6,25,0,0,0）’Z*=775

3）产品Ⅰ的利润在[6,15]变化时，原最优计划保持不变。

4）设备A的能力在[60,150]变化时，最优基变量不变。

5）新产品值得生产。

6）最优计划的变化为：

X*=（x1,x2,x3,x4,x5,x6）’=（190/6,350/6,10,0,0,60）’Z*=

9.给出成性规划问题：

（15分）

Minz=2x1+3x2+6x3

x1+2x2+x3≥2

-2x1+x2+3x3≤-3

xj≥0j=1,…，4

要求：

（1）写出其对偶问题。

（5分）

（2）利用图解法求解对偶问题。

（5分）

（3）利用

（2）的结果，根据对偶问题性质写出原问题最优解。

（5分）

解：

1）该问题的LD为：

MaxW=2y1-3y2

y1-2y2≤2

2y1+y2≤3

y1+3y2≤6

y1≥0,y2≤0

2）用图解法求得LD的最优解为：

Y*=（y1,y2）’=（8/5,-1/5）’W*=19/5

3）由互补松弛定理：

原问题的最优解为：

X*=（x1,x2,x3）’=（8/5,1/5,0）’

10.

某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量，各销售点的销售量（单位.t）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/t）示于下表中，要求研究产品如何调运才能使总运量最小（10分）

B1

B2

B3

B4

产量

A1

4

12

4

11

32

A2

2

10

3

9

20

A3

8

5

11

6

44

销量

16

28

28

24

96╲96

解：

最优调运方案为：

A1-B3和B428t和4t

A2-B1和B416t和4t

A3-B2和B428t和16t

最小总运费为：

460元

11.求解下列0-1规划问题

maxz=3x1+2x2-5x3-2x4+3x5

x1+x2+x3+2x4+x5≤4

7x1+3x3-4x4+3x5≤8

11x1-6x2+3x4-3x5≥3

xj=0或1（j=1,…，5）

解：

最优解为：

x1=x2=1，其他为0，最优目标函数值为5