二次函数与反比例函数初步总结.docx

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二次函数与反比例函数初步总结

题型7:

二次函数与二次方程与二次不等式的关系

1.直线与抛物线的交点

（1）轴与抛物线得交点为（0,）.

（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（,）.

（3）抛物线与轴的交点

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.

（4）平行于轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

（6）抛物线与轴两交点之间的距离：

若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

例1,画出y=2x2+3x-2与y＇=-2x+1的图象并解答下列问题：

①试写出方程2x2+3x-2=0的解：

②试写出不等式2x2+3x-2＞0的解：

③试写出不等式2x2+3x-2＜0的解：

④试根据图象写出方程2x2+3x-2=-2x+1的解：

⑤试写出不等式2x2+3x-2＞-2x+1的解：

⑥试写出不等式2x2+3x-2＜-2x+1的解：

例2.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图

（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图

（2）．

（1）求出图

（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：

，计算结果精确到1米）．

解：

（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

　　．

　　因为点A（，0）（或B（，0））在抛物线上，所以，得．

　　因此所求函数解析式为．

（2）因为点D、E的纵坐标为，所以，得．

　　所以点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）．

　　所以．

　　因此卢浦大桥拱内实际桥长为（米）．

题型8:

二次函数对称轴的应用

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

，∴顶点是，对称轴是直线.

（2）配方法：

运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为（,），对称轴是直线.

（3）运用抛物线的对称性：

设A（x1，ya），B（x2，yb）是抛物线上的两点，且ya=yb，则抛物线的对称轴为直线

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

例1（2010年浙江省金华）若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程:

的一个解，另一个解-1；

（2010年日照市）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.

答案：

－1＜x＜3;

题型9:

二次函数与平面几何的构建与再创造

15.如图，在△ABC中，，，，动点P从点A开始沿边AB向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒，四边形的面积最小．

3.（2010年山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

【关键词】二次函数

【答案】⑴设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx＋c，则有：

解得：

，所以抛物线的解析式为y ＝x2－2x－3.

⑵令x2－2x－3＝0，解得x1＝－１，x2＝3,所以B点坐标为（3，0）.

设直线BC的解析式为y ＝kx2＋b,

则，解得，所以直线解析式是y ＝x－3.

当x＝1时，y＝－2.所以M点的坐标为（1，－2）.

⑶方法一：

要使∠PBC＝90°，则直线PC过点C，且与BC垂直，

又直线BC的解析式为y ＝x－3，

所以直线PC的解析式为y ＝－x－3，当x＝1时，y＝－4，

所以P点坐标为（1，－4）.

方法二：

设P点坐标为（1，y），则PC2＝12＋（－3－y）2,BC2＝32＋32；PB2＝22＋y2

由∠PBC＝90°可知△PBC是直角三角形，且PB为斜边，则有PC2＋BC2＝PB2.

所以：

[12＋（－3－y）2]＋[32＋32]＝22＋y2；解得y ＝－4，

所以P点坐标为（1，－4）.

题型10:

反比例函数的应用

物理学中，电压一定时，电阻R与电流强度I成反比例函数，

当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：

kg/m3）是体积的反比例函数，解析式可以表达为

收音机刻度盘的波长与频率关系式:

压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例关系，即

当汽车输出功率P一定时，汽车行驶速度与汽车所受的负载即阻力F成反比例关系，反比例函数在日常生活中的应用：

路程问题、工程问题等。

注：

实际问题中一定要注意自变量x的取值范围。

补充:

题型1:

二次函数定义

例1.若y＝（2－m）是二次函数，且开口向上，则m的值为__________．

例6.已知是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大。

（1）求k的值

（2）求顶点坐标和对称轴。

（3）当x为何值时，y随x的增大而减小。

练习：

淘金：

拓展P6第7题补充：

已知是二次函数.

（1）求满足条件的m值。

（2）m为何值时，抛物线有最低点？

求出这个最低点。

这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

（3）m为何值时，抛物线有最大值？

最大值是多少？

这时当x为何值时，y随x的增大而减小？

补充:

题型2:

二次函数中常数的意义

3.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，试根据图象，填出下列式子的符号:

代数式

a

b

c

a+b+c

a-b+c

4a+2b+c

9a-3b+c

2a+b

b2-4ac

符号

补充:

题型6:

次函数中有关最大值问题

1、自变量x取全体实数时二次函数的最值

例1：

求二次函数的最小值。

2、自变量x在一定范围内取值时求二次函数的最值

例2：

分别在写列范围内求函数的最大值或最小值。

（1）0

（2）2≤x≤3。

3、最大值的应用

函数图像的移动规律:

若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，

二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，

则用下面后的口诀：

“左右平移在括号,上下平移在末稍,

左加右减须牢记,上加下减错不了”。

二次函数图像与性质口诀:

二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

二次函数抛物线，图象对称是关键；两边单调正相反,增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点坐标最重要,横标即为对称轴,纵标函数最值现。

开口、大小由a断,c与y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；，y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；△的符号最简便，x轴上数交点.一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

反比例函数图像与性质口诀:

反比例函数双曲线，待定只需一个点，k为正,图在一、三（象）限；k为负,图在二、四（象）限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别增;线越长越近轴,永远与轴不沾边.图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线.

26．（2008年漳州市）（满分14分）如图，二次函数y=ax2－5ax＋4a（a≠0）的图象与x轴交于Ａ、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D，连结BD．

（1）求A、Ｂ两点的坐标；

（2）若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；

　（3）在

（2）的条件下，若直线x=m把△ABD的面积分为1∶2的两部分，求m的值．

（第26题）

26．解：

（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点∴ax2－5ax＋4a＝0……………………………………………1分

∵a≠0

∴x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4……………3分

∴A（1,0），B（4，0）…………………………………4分

（2）（方法一）连结AC、CD，由对称性知：

四边形ABDC

是等腰梯形

∴∠CAB＝∠DBA

在△ABC与△BAD中，AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA

∴△ABC≌△BAD

∴∠1＝∠2……6分

∵AD⊥BC

（第26题图1）

∴∠1＝∠2＝45°

∵∠BOC＝90°

∴∠OCB＝∠1＝45°

∴OC＝OB＝4∴C（0，4）…………………8分

　　把C（0，4）的坐标代入y=ax2－5ax＋4a得4a＝4

∴a＝1

∴二次函数的表达式为y=x2－5x＋4………10分

（方法二）∵A、C两点关于抛物线对称轴的对称点分别为B、D

∴AD、BC的交点P在抛物线对称轴上∴PA＝PB………………………………………………6分

∵AD⊥BC

∴∠1＝∠2＝45°

∵∠BOC＝90°

∴∠OCB＝∠1＝45°

∴OC＝OB＝4

∴C（0，4）……………………8分

把C（0，4）的坐标代入y＝ax2－5ax＋4a得

4a＝4∴a＝1

∴二次函数的表达式为y=x2－5x＋4…………10分

（3）（方法一）S△ABD＝×3×4＝6

设直线x＝m与AD、AB分别交于M、N，则AN＝m－1由

（2）得∠1＝45°，∠2＝90°∴MN＝AN＝m－1

∴S△AMN＝（m－1）2…11分

当S△AMN＝S△ABD时，（m－1）2＝×6

　　解得m＝3（负值舍去）……………………………12分

当S△AMN＝S△ABD时，（m－1）2＝×6

解得m＝＋1（负值舍去）……………………13分

　　过B作BE⊥AB交AD于E，则S△ABE＝4．5，

S△ABD=4，∵4．5＞4

∴点N在线段AB上　∴m＜4

综上所述，m的值为3或＋1………………14分

（方法二）S△ABD＝×3×4＝6

设直线x＝m与AD、AB分别交于M、N

　　由

（2）得∠1＝45°，∠2＝90°∴MN＝AN

∴S△AMN＝AN·MN＝AN2………………11分

　　当S△AMN＝S△ABD时，AN2＝2，解得AN＝2．

∴ON＝3即m=3………………………………12分

当S△AMN＝S△ABD时，AN2＝4，解得AN＝

∴ON＝＋1即m＝＋1………………13分

过B作BE⊥AB交AD于E，则S△ABE＝4．5，

S△ABD＝4，∵4．5＞4

∴点N在线段AB上∴m＜4

综上所述，m的值为3或＋1………………