1718版 第2章 231 直线与平面垂直的判定.docx

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1718版第2章231直线与平面垂直的判定

2.3　直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1　直线与平面垂直的判定

1．了解直线与平面垂直的定义．（重点）

2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．（难点）

3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．（易错点）

[基础·初探]

教材整理1　直线与平面垂直的定义

阅读教材P64倒数第1行以上的内容，完成下列问题．

文字语言

图形语言

符号

语言

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足

l⊥α

直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（　　）

A．平行　B．相交

C．异面D．垂直

【解析】　由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．

【答案】　A

教材整理2　直线与平面垂直的判定定理

阅读教材P65“例1”以上的内容，完成下列问题．

文字语言

图形语言

符号语言

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α

一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（　　）

A．平行　B．垂直

C．相交不垂直D．不确定

【解析】　直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边．

【答案】　B

教材整理3　直线与平面所成的角

阅读教材P66“探究”以下至“例2”以上的内容，完成下列问题．

1．定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．

2．范围：

设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.

3．画法：

如图231所示，斜线AP与平面α所成的角是∠PAO.

图231

若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为（　　）

A．60°B．45°

C．30°D．90°

【解析】　斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．

如图所示，∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角．

又AB＝2BO，

所以cos∠ABO＝

＝

，

所以∠ABO＝60°.

【答案】　A

[小组合作型]

线面垂直的定义及判定定理的理解

　下列说法中正确的个数是（　　）

①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0B．1

C．2D．3

【精彩点拨】　利用线面垂直的定义及判定定理准确判断．

【自主解答】　由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．

【答案】　D

1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内．

2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．

[再练一题]

1．下列说法中，正确的是（　　）

A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α

B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行

C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b

D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α

C　[当l与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故A错；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．]

线面垂直判定定理的应用

　如图232，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.

图232

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC，求证：

BD⊥平面SAC.

【精彩点拨】　题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证

（1）需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证

（2），需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而

（1）的结论可利用．

【自主解答】　

（1）∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.

连接BD.

在Rt△ABC中，

有AD＝DC＝DB，

∴△SDB≌△SDA，

∴∠SDB＝∠SDA＝90°，

∴SD⊥BD.

又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.

（2）∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.

又由

（1）知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，

∴BD⊥平面SAC.

证线面垂直的方法

1．线线垂直证明线面垂直：

①定义法（不常用，但由线面垂直可得出线线垂直）；②判定定理最常用：

要着力寻找平面内哪两条相交直线（有时作辅助线）；结合平面图形的性质（如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等）及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．

2．平行转化法（利用推论）

（1）a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

（2）α∥β，a⊥α⇒a⊥β.

[再练一题]

2．如图233所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．

求证：

AD⊥平面A1DC1.

图233

【证明】　∵AA1⊥底面ABC，

平面A1B1C1∥平面ABC，

∴AA1⊥平面A1B1C1，

∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，

∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，

∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD⊂平面AA1B1B，

∴A1C1⊥AD.

由已知计算得AD＝

，A1D＝

，AA1＝2.

∴AD2＋A1D2＝AA

，

∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.

[探究共研型]

直线与平面所成的角

探究1　若图234中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？

图234

【提示】　需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．

探究2　根据线面角的定义，我们可以如何求线面角的大小？

【提示】　作（或找）出斜线在平面内的射影，将空间角转化为平面角，放在三角形内求解．

探究3　求线面角的关键是什么？

【提示】　确定斜线在平面内的射影．

　在正方体ABCDA1B1C1D1中，

（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；

（2）求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．

【精彩点拨】　解答本题关键是结合正方体的性质．

【自主解答】　

（1）∵直线A1A⊥平面ABCD，

∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，

设A1A＝1，则AC＝

，

∴tan∠A1CA＝

.

（2）连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，

A1C1⊥B1D1，

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，

A1C1⊂平面A1B1C1D1，

∴BB1⊥A1C1，

又BB1∩B1D1＝B1，

∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.

∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，

在Rt△A1BO中，A1O＝

A1C1＝

A1B，

∴∠A1BO＝30°.

即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.

求直线和平面所成角的步骤

1．寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．

2．连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．

3．把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

[再练一题]

3．如图235所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值.

图235

【解】　取AA1的中点M，连接EM，BM，

因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，

所以EM∥AD.

又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，

所以EM⊥平面ABB1A1，

从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．

设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝

＝3，

于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝

＝

，

即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为

.

1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是（　　）

A．垂直　　B．相交但不垂直

C．平行D．不确定

【解析】　梯形的两腰所在直线相交，由线面垂直的判定定理知，垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面垂直，故选A.

【答案】　A

2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（　　）

A．平行　B．相交

C．异面D．以上皆有可能

D　[在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D.]

3．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.

【解析】　如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC＝12，∴ED＝

＝13.

【答案】　13

4．正四棱锥的侧棱长为2

，侧棱与底面所成角为60°，则该四棱锥的高为________.

【解析】　如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，

∴SO＝sin60°·SC＝

×2

＝3.

【答案】　3

5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：

A1C⊥平面BC1D.

【证明】　如图，连接AC，

∴AC⊥BD

又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，

AC，A1A⊂平面A1AC，

∴BD⊥平面A1AC

∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.

同理可证BC1⊥A1C.

又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，

∴A1C⊥平面BC1D.