北京四中高中数学高考综合复习二项式定理.docx
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北京四中高中数学高考综合复习二项式定理
高中数学高考综合复习专题三十一 二项式定理
一、知识网络
二、高考考点
1、对二项式定理的掌握与应用：
以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；
2、对二项展开式的性质的掌握与应用：
二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题。
三、知识要点
1、定义
，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中
（1）公式右边的多项式叫做的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数叫做二项式系数，第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；
（2）叫做二项展开式的通项公式。
2.认知
（1）二项展开式的特点与功能
（Ⅰ）二项展开式的特点
①项数：
二项展开式共n+1（二项式的指数+1）项；
②指数：
二项展开式各项的第一字母a依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n；
③系数：
各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b的幂指数；
（Ⅱ）二项展开式的功能
注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式。
因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据。
又注意到在的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列。
因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据。
（2）二项式系数的性质
（Ⅰ）对称性：
在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。
（Ⅱ）单调性：
二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值。
其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大。
（Ⅲ）组合总数公式：
即二项展开式中各项的二项式系数之和等于
（Ⅳ）“一分为二”的考察：
二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即
四、典型例题
例1、已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。
解：
二项展开式的通项公式为
由此得二项展开式中末三项的系数分别为，，
依题意得
注意到这里，故得n=8
∴
设第r+1项为有理项，则有x的幂指数为整数，
∴r=0，4，8，
∴这里T1，T5，T9为有理项，
又由通项公式得：
，
，
∴所求二项展开式中的有理项分别为，，
点评：
二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。
若（λ为相对常数，x为变量），则当g（n,r）为自然数时为整式项；当g（n,r）为整数时为有理项。
例2、已知的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项；
（3）系数最大的项。
解：
由题意得
∴n=10
∴二项展开式的通项公式为
（1）
∵n=10，
∴二项展开式共11项
∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大
又
∴所求二项式系数最大的项为
（2）设第r+1项系数的绝对值最大，
则有
解之得，注意到，
故得r=3
∴第4项系数的绝对值最大
∴所求系数绝对值最大的项为
（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，
即在r取偶数的各项内
又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为
，，，，，
即分别为1，，，，
由此可知，系数最大的项为第5项（r=4），
即
点评：
（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：
一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。
二者在特殊情况下方为同一数值。
（2）这里展开式中系数绝对值最大的项，实际上是展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。
（3）本题解法“一题两制”：
对于
（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。
当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。
例3、已知a>0，b>0，2m+n=0，，且在的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围。
解：
设二项展开式中为常数项，
∴依题意令 ①
则将已知式代入①得 ②
注意到这里，由②得r=4
∴展开式中系数最大的项是
于是有
因此可知，所求的取值范围为
例4、求证：
（1）能被整除；
（2）
证明：
（1）为利用二项式定理，对中的底数n变形为两数之和（或差）。
∵，且，∴
于是有
（※）
注意到，且，故，
因此由（※）式知能被整除；
（2）
证法一（倒序相加法）：
设 ①
注意到二项式系数的性质：
将①式右边各项倒序排列：
②
①+②得
=
∴
即
证法二（分项求和法）：
注意到左边各项的相同结构，且各项的通项：
据此变形左边各项得
右边
=
=
=
=右边
∴原等式成立
点评：
证明组合恒等式，除去利用二项公式这一组合的母函数外，上述两种方法（特别是证法二）是基本证明方法。
例5、设，求
①展开式中各二项式系数的和；
②展开式中各项系数的和；
③的值
④的值
⑤的值
解：
令
①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和
②展开式中各项系数的和
③注意到
∴
∴
④仿③得
又
∴
⑤
解法一（直面原式）：
∴
又
∴
再由二项式的展开式知，
∴
点评：
对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。
例6、化简下列各式
（1）；
（2）
分析：
注意到二项展开式中各项的特征：
，其中b的方幂与组合数上标相同。
为利用二项式公式求解，依次对原式实施凑因子和凑项，即使各项中有关因子的方幂等于组合数上标，又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征。
解：
（1）令x=，
则
∴
，
即
故得
（2）令x=，
则
由
得
∴
故得
即
点评：
对于组合数系数成等比数列的组合式求和，一般是在适当作以凑因子或凑项的构造之后，运用二项式公式本身化简或求值。
例7、试求下列二项展开式中指定项的系数：
（1）的展开式中项的系数；
（2）的展开式中项的系数；
（3）的展开式中项的系数；
（4）的展开式中x项的系数；
（5）的展开式中项的系数；
解：
（1）借助“配方转化”：
原式
∴原展开式中项的系数，即展开式中项的系数
又展开式的通项公式为
令得r=3
∴展开式中
∴所求原展开式中项的系数为-960；
（2）注意到的幂指数3较小，借助“局部展开”：
原式
∴展开式中的系数为
=-590
（3）解法一（求和转化）：
原式
∴所求原展开式中项的系数即为展开式中项的系数，
∴所求展开式中项的系数为
解法二（集零为整）：
考察左式各部，展开式中项的系数为
（4）
解法一（两次利用二项式定理）：
设展开式中第r+1项为含有x的项，
又
∴要使x的幂指数为1，必须且只需r=1
即
而展开式中的常数项为，故得
原展开式中x的系数为
解法二（利用求解组合应用题的思路）：
注意到
∴欲求展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。
∴原展开式中x的一次项为
∴所求原展开式中x的系数为240；
（5）
解法一（两次利用二项展开式的通项公式）：
注意到
其展开式的通项 ①
又的展开式的通项 ②
依题意，
由此解得，，
∴由①、②得所求展开式中项的系数为
解法二（利用因式分解转化）：
∴所求即为展开式中的系数，
于是利用“局部展开”可得其展开式中的系数为
=-168
小结：
多项展开式中某一项系数的主要求法
（1）等价转化：
配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。
（2）局部展开；
（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式；
（4）借助求解组合应用题的思想
例8、已知数列的通项是二项式与的展开式中所有x的次数相同的各项的系数之和，求数列的通项公式及前n项和公式。
解：
将与的展开式按升幂形式写出
①
②
由②可知，只有的展开式中出现的偶数次幂时，才能与的展开式中x的次数相同。
∴由①、②得
∴
∴所求数列的通项公式为；
其前n项和公式为
五、高考真题
（一）选择题
1.（2005·全国卷III）在的展开式中的系数是（ ）
A.–14 B.14 C.–28 D.28
分析：
对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一，，又的展开式中的系数为，的系数为
∴原展开式中的系数为，应选B。
2.（2005·江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是（ ）
A.10 B.40 C.50 D.80
分析：
立足于二项展开式的通项公式：
∴当k=1时，r=4，的系数为；
当k=2时，r=3，的系数为；
当k=3时，r
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