圆锥曲线题型总结.docx
《圆锥曲线题型总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线题型总结.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
圆锥曲线题型总结
圆锥曲线题型总结
高考圆锥曲线的七种题型；题型一：
定义的应用；1、圆锥曲线的定义：
；
（1）椭圆；
（2）椭圆；（3）椭圆；2、定义的应用；
（1）寻找符合条件的等量关系；
（2）等价转换，数形结合；3、定义的适用条件：
；典型例题；例1、动圆M与圆C1:
（x+1）+y=36内切,；例2、方程；题型二：
圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程；1、椭圆：
由2、双曲线：
由,,分母的大小决
高考圆锥曲线的七种题型
题型一：
定义的应用
1、圆锥曲线的定义：
（1）椭圆
（2）椭圆
（3）椭圆
2、定义的应用
（1）寻找符合条件的等量关系
（2）等价转换，数形结合
3、定义的适用条件：
典型例题
例1、动圆M与圆C1:
（x+1）+y=36内切,与圆C2:
（x-1）+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。
例2、方程
题型二：
圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
1、椭圆：
由2、双曲线：
由,,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；表示的曲线是2222
3、抛物线：
焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
典型例题
x2y2
例1、已知方程?
?
1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是m?
12?
m
x2y2
?
?
1的曲线：
例2、k为何值时,方程9?
k5?
k
（1）是椭圆;
（2）是双曲线.
题型三：
圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题
1、椭圆焦点三角形面积S?
btan2?
2；双曲线焦点三角形面积S?
bcot2?
2
2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解
3、m?
n,m?
n,mn,m2?
n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；
典型例题
22xy例1、椭圆22?
，求1（a?
b?
0）上一点P与两个焦点FFPF?
1，2的张角∠F12?
ab
证：
△F1PF2的面积为btan2?
。
2
例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且
．求该双曲线的标准方程
题型四：
圆锥曲线中离心率，渐近线的求法
1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；，
2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；
3、注重数形结合思想不等式解法
典型例题
x2y2
例1、已知F1、F2是双曲线2?
2?
1（a?
0,b?
0）的两焦点，以线段F1F2为边作正ab
三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.4?
2B.?
1C.
?
1D.?
1
2
x2y2
例2、双曲线2?
2?
1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,ab
则双曲线离心率的取值范围为
A.（1,3）
B.?
1,3?
C.（3,+?
）D.?
3,?
?
?
x2y2
例3、椭圆G：
2?
2?
1（a?
b?
0）的两焦点为F1（?
c,0）,F2（c,0），椭圆上存在ab
点M使F1M?
F2M?
0.求椭圆离心率e的取值范围；
例4、已知双曲线2?
2?
1（a?
0,b?
0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60?
的直线ab
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A）（1,2]（B）（1,2）（C）[2,?
?
）（D）（2,?
?
）
题型五：
点、直线与圆锥的位置关系判断
1、点与椭圆的位置关系
x2y2
点在椭圆内?
2?
2?
1ab
x2y2
点在椭圆上?
2?
2?
1ab
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：
?
>0?
相交
?
=0?
相切（需要注意二次项系数为0的情况）
?
<0?
相离
3、弦长公式：
AB?
?
k2x1?
x2?
?
k2（x1?
x2）?
?
k2?
a
AB?
?
111?
y?
y?
?
（y?
y）?
?
1212222kkka
4、圆锥曲线的中点弦问题：
1、伟达定理：
2、点差法：
（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简
（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系
典型例题
例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M（3,-1）平分,求直线AB的方程.
例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:
x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=22，O为坐标原点，OC的斜率为2/2，求椭圆的方程。
题型六：
动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：
建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
2、求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：
直接利用条件建立之间的关系；
例1、如已知动点P到定点F（1,0）和直线
的距离之和等于4，求P的轨迹方程．
（2）待定系数法：
已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为
（3）定义法：
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点0P的轨迹方程为
例4、点M与点F（4,0）的距离比它到直线
例5、一动圆与两圆⊙M：
的轨迹为
（4）代入转移法：
动点
在某已知曲线上，则可先用迹方程:
例6、如动点P是抛物线则M的轨迹方程为__________
（5）
参数法：
当动点
虑将
例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考上任一点，定点为,点M分所成的比为2，依赖于另一动点
的代数式表示的变化而变化，并且，再将又和⊙N：
都外切，则动圆圆心的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______代入已知曲线得要求的轨均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
程是
题型七：
（直线与圆锥曲线常规解题方法）
一、设直线与方程；（提醒：
①设直线时分斜率存在与；二、设交点坐标；（提醒:
之所以要设是因为不去求出；三、联立方程组；；四、消元韦达定理；（提醒：
抛物线时经常是把抛物线；五、根据条件重转化；常有以下类型：
；①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：
需讨论K是；?
?
?
?
?
?
?
?
?
OA?
OB?
K1?
K2?
?
1?
；②“点在圆内、圆上、圆外问题”；?
“直角、锐角、钝角问题
一、设直线与方程；（提醒：
①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）
二、设交点坐标；（提醒:
之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
三、联立方程组；
四、消元韦达定理；（提醒：
抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
五、根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：
需讨论K是否存在）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
OA?
OB?
K1?
K2?
?
1?
OA?
OB?
0?
x1x2?
y1y2?
0
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
?
“直角、锐角、钝角问题”?
“向量的数量积大于、等于、小于0问题”?
x1x2?
y1y2>0；
③“等角、角平分、角互补问题”?
斜率关系（K1?
K2?
0或K1?
K2）；④“共线问题”
?
?
?
?
?
?
?
?
（如：
AQ?
?
QB?
数的角度：
坐标表示法；形的角度：
距离转化法）；
（如：
A、O、B三点共线?
直线OA与OB斜率相等）；
⑤“点、线对称问题”?
坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”
?
转化为坐标与弦长公式问题（提醒：
注意两个面积公式的合理选择）；
六、化简与计算；
七、细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.
基本解题思想：
1、“常规求值”问题：
需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：
当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：
⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无
关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：
⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明
5、求最值问题时：
将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：
有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
7、思路问题：
大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
典型例题：
例1、已知点F?
0,1?
，直线l：
y?
?
1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP?
QF?
FP?
FQ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D?
0,2?
，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DA?
l1，DB?
l2，求
例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为
线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上
运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
l1l2?
的最大值．l2l1
（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设
求λ的取值范围.
DM=λ，DN
x2y2
例3、设F1、F2分别是椭圆C：
2?
2?
1（a?
b?
0）的左右焦点。
ab
（1）设椭圆C
上点到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设K是
（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线
PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM?
KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l:
y?
kx?
m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：
直线l过定点，并求出该定点的坐标．
例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y
轴上，短轴长为
，P是椭圆在第一2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
象限弧上一点，且PF1?
PF2?
1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆
于A、B两点。
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
升级会员 