立体几何经典大题.docx
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立体几何经典大题
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立体几何经典大题
（1）立体几何大题训练1．如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点．
（1）FD∥平面ABC；
（2）AF⊥平面EDB．
2．已知线段PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点。
（1）求证：
MN//平面PAD；
（2）当∠PDA＝45°时，求证：
MN⊥平面PCD；
立体几何经典大题
（2）立体几何大题训练求证：
的xx点．点E，F分别是AB,BDCB=CD,3．如图，在四面体ABCDxx，，．）平面面BCDEF//）直线面ACD；（2（1
B
F
E
D
C
A
BB1C1C⊥侧面AB=AC，，．在斜三棱柱A1B1C1—ABCxx底面是等腰三角形，4ABC底面AD⊥CC1；是BC的中点，求证D
（1）若，AM=MA1BC1的对角线的平面交侧棱于M，若BB1C1C2（）过侧面；MBC1⊥侧面求证截面BB1C1C
立体几何经典大题
（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？
请你叙述判断理由
]
（3）立体几何大题训练5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1xx，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的xx点．
求证：
（1）MN//平面ABCD；
（2）MN⊥平面B1BG．
立体几何经典大题
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1xx，E、F为棱AD、AB的xx点．
（1）求证：
EF∥平面CB1D1；
（2）求证：
平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（4）立体几何大题训练7、如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1xx，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的xx点
（1）设F是棱AB的中点，证明：
直线EE1∥面FCC1；
（2）证明：
平面D1AC⊥面BB1C1C。
立体几何经典大题
8．如图，在四棱锥P—ABCDxx，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E，F分别在PD，BCxx，且PE：
ED=BF：
FC。
（1）求证：
PA⊥平面ABCD；
（2）求证：
EF//平面PAB。
（5）立体几何大题训练
立体几何经典大题
9．如图，在三棱锥P-ABCxx，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的xx点，F为PC上的一点，且PF:
FC=3:
1．
（1）求证：
PA⊥BC；
（2）试在PCxx确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．
10、直三棱柱中，，．
（1）求证：
平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
立体几何经典大题
（6）立体几何大题训练、分别为CC1，D、E－11、如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2A1B1的中点．；）求证1C1E∥平面A1BD（；）求证AB1⊥平面A1BD（2
AA1
ECC1D
BB1
立体几何经典大题
12.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1xx，AB=2，AA1=1，D是BC的xx点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=
（I）求证：
PA1⊥BC；（II）求证：
PB1//平面AC1D；
（7）立体几何大题训练13.如图，平行四边形中，，将沿折起到的位置，使平面平面
（Ⅱ）求三棱锥的侧面积。
）求证：
（I
立体几何经典大题
14.如图,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一点.
（Ⅰ）若,试指出点的位置；
（Ⅱ）求证:
.
（8）立体几何大题训练15、如图所示：
四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，
E为PC的中点.
（1）证明：
EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：
BE⊥平面PDC；
立体几何经典大题
16．如图，在xx棱柱ABC—A1B1C1xx，AC=BC，点D是AB的xx点。
（I）求证：
CD⊥平面A1ABB1；
（II）求证：
AC1//平面CDB1。
（9）立体几何大题训练
立体几何经典大题上的一CE，F为ABE，BE＝BC为矩形，平面17．如图，四边形ABCDABCD⊥平面．BF⊥平面ACE点，且）求证：
AE⊥BE；（1BFD）求证：
AE∥平面．（2
棱柱中，，平面为的中点．18．如图所示，在xx）求证：
平面；）求证：
平面；（2
（1）设是上一点，试确定的位置使平面平面，并说明理由．（3
B1C1
A1
BC
DA
立体几何经典大题
（10）立体几何大题训练19．如图，在xx棱柱中，，、分别为、的中点，
（1）求证：
；
（2）求证：
20．如图，、分别为直角三角形的直角边和斜边的中点，沿将折起到的位置，连结、，为的中点．
（1）求证：
平面；
2）求证：
平面平面；（
立体几何经典大题
（11）立体几何大题训练21．如图，四棱锥P—ABCDxx，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且E、O分别为PC、BD的xx点．
求证：
（1）EO∥平面PAD；
（2）平面PDC⊥平面PAD．
立体几何经典大题
22．在四棱锥P－ABCDxx，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的xx点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．
（12）立体几何大题训练23.在四棱锥中，底面为菱形，,E为OA的中点，F为BC的中点，连接EF，求证：
（2）
）（1
立体几何经典大题
得如图所示、已知：
等边的边长为，分别是的中点，沿将折起，使，xx,24的四棱锥（Ⅰ）求证：
平面（Ⅱ）求四棱锥的体积
A
ED
C
B
（13）立体几何大题训练
立体几何经典大题
25、如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCDxx，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E是PD的xx点
（1）求证：
PB∥平面AEC
（2）求证：
平面PDC⊥平面AEC
26．如图，在xx棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。
.
2）平面平面；1）EF∥平面ABCw.（求证：
（
立体几何经典大题
（14）立体几何大题训练2的正方体中，、分别为、的中点．27、如图所示，在棱长为）求三棱锥的体积．3平面；
（2）求证：
；（
（1）求证：
//D1C1
AB11
E
DCFBA
.2，分别是的中点28.正三棱柱的底面边长与侧棱长都是（Ⅰ）求三棱柱的全面积；;（Ⅱ）求证：
∥平面.
（Ⅲ）求证：
平面⊥平面
立体几何经典大题
（15）立体几何大题训练29.已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为的中点，
（1）求证：
//平面；
（2）求证：
平面；
（3）求三棱锥E-ABF的体积。
30．已知矩形ABCDxx，AB＝2AD＝4，E为CD的xx点，沿AE将AED折起，使DB＝2，O、H分别为AE、AB的xx点．
立体几何经典大题
（1）求证：
直线OH//面BDE；
（2）求证：
面ADE面ABCE.
（16）立体几何大题训练31．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD-A1B1D1，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，ABAD，CD=DD1=4，AD=AB=2，E、F分别为BC、CD1中点．
（I）求证：
EF∥平面BB1D1D；
（Ⅱ）求证：
BC平面BB1D1D；
（Ⅲ）求四棱锥F-BB1D1D的体积.
立体几何经典大题
32、如图，已知平面是正三角形，，且是的中点。
（I）求证：
平面；
（II）求证：
平面平面；[来源:
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（17）立体几何大题训练33.如图已知平面，且是垂足．
（Ⅰ）求证：
平面；
立体几何经典大题
（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．
?
P
BC?
D
A
，为中点．34．如图，四棱柱的底面边长和侧棱长均为1（）求证：
；III（）求证：
；ks5u
）求四棱柱的体积．III（
立体几何经典大题
（18）立体几何大题训练35.如图，正三棱柱中，已知，为的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）试在棱上确定一点，使得平面．
36．正三棱柱中，点是的中点，．设．
（Ⅰ）求证:
∥平面;（Ⅱ）求证:
⊥平面．
立体几何经典大题
答案与评分标准1.证明
（1）取AB的中点M，xxFM，MC，
∵F、M分别是BE、BA的中点，
∴FM∥EA，FM=EA．
∵EA、CD都垂直于平面ABC，
∴CD∥EA，∴CD∥FM．………………3分
又DC=a，∴FM=DC．
∴四边形FMCD是平行四边形，
∴FD∥MC．即FD∥平面ABC．……………7分
（2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB，又CM⊥AE，
∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF，………………………………11分
又F是BE的中点，EA=AB，∴AF⊥EB．
即由AF⊥FD，AF⊥EB，FD∩EB＝F，
可得AF⊥平面EDB．……………………………………………………14分
2.
（1）取PD的中点E，连接AE、EN
∵EN平行且等于DC，而DC平行且等于AM
∴AMNE为平行四边形MN∥AE
立体几何经典大题
∴MN∥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD∴CD⊥PA又
∵ABCD为矩形∴CD⊥AD,∴CD⊥AE，AE∥MN，MN⊥CD
∵AD⊥DC，PD⊥DC∴∠ADP=45°,又E是斜边的PD的中点∴AE⊥PD，
∴MN⊥PD∴MN⊥CD，∴MH⊥平面PCD.
3、证明：
（1）∵E,F分别是的中点．
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD；
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，
∵BD面BCD，∴面面
4、
（1）证明∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C
∴AD⊥CC1
（2）证明延长B1A1与BM交于N，连结C1N
∵AM=MA1，∴NA1=A1B1
∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C
（3）解结论是肯定的，充分性已由
（2）证明，下面证必要性
立体几何经典大题
过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C
∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C
∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面
∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE
∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1
∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点
∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1
5.证明：
（1）取CD的中点记为E，xxNE，AE．
由N，E分别为CD1与CD的中点可得
NE∥D1D且NE=D1D，………………………………2分
又AM∥D1D且AM=D1D………………………………4分
所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形
所以MN∥AE，………………………………6分
又AE面ABCD,所以MN∥面ABCD……8分
（２）由AG＝DE，，DA＝AB
可得与全等……………………………10分
所以，……………………………………………………………11分
又，所以
所以，………………………………………………12分
又,所以，……………………………………………………13分
又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG……………………………………………15分
6.
（1）证明:
连结BD.
立体几何经典大题
在长方体中，对角线.
又E、F为棱AD、AB的中点，..
又B1D1平面，平面，EF∥平面CB1D1.
（2）在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，AA1⊥B1D1.
又在正方形A1B1C1D1xx，A1C1⊥B1D1，B1D1⊥平面CAA1C1.
又B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
7、证明:
（1）在直四棱柱ABCD-ABCDxx，取A1B1的xx点F1，
连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，
所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，
所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，
所以直线EE//平面FCC.
（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4,BC=2,
F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，
△ACF为等腰三角形，且
所以AC⊥BC,又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,
所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,
立体几何经典大题
所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
8．
（1）证明：
∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=a.在△PABxx，
∵PA2+AB2=2a2=PB2,
∴PA⊥AB，同时PA⊥AD，又ABAD=A，
∴PA⊥平面ABCD.……………………4分
（2）作EG//PA交AD于G，连接GF.
………………6分
则
∴GF//AB.……………………8分
又PAAB=A，EGGF=G，
∴平面EFG//平面PAB，……………………9分
又EF平面EFG，
∴EF//平面PAB.……………………10分
9．
（1）在△PACxx，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PABxx，
立体几何经典大题
同理可得
∵，∴
∵平面ABC，∴PA⊥BC.
（2）如图所示取PC的中点G，
连结AG，BG，∵PF:
FC=3:
1,∴F为GC的中点
又D、E分别为BC、AC的中点，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F
∴面ABG∥面DEF
即PC上的中点G为所求的点。
（3）
10、
（1）直三棱柱ABC—A1B1C1xx，BB1⊥底面ABC，
则BB1⊥AB，BB1⊥BC，
又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=，
则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，
又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，
所以有平面AB1C⊥平面B1CB；-----------------------------------8分
立体几何经典大题
（2）三棱锥A1—AB1C的体积．----------14分
11、
（1）设AB1与A1B相交于F，xxEF，DF．则EF为△AA1B1的中位线，∴EFA1A．……2分
∵C1DA1A，∴EFC1D，则四边形EFDC1为平行四边形，∴DF∥C1E．……4分
∵C1E平面A1BD，DF平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD．……6分
（2）取BC的中点H，连结AH，B1H，
由正三棱柱ABC－A1B1C1，知AH⊥BC，……8分
∵B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AH．∵B1B∩BC＝B，∴AH⊥平面B1BCC1．∴AH⊥BD．……10分
在正方形B1BCC1xx，∵tan∠BB1H＝tan∠CBD＝，∴∠BB1H＝∠CBD．则B1H
⊥BD．……12分
∵AH⊥∩B1H＝H，∴BD⊥平面AHB1．∴BD⊥AB1．
在正方形A1ABB1xx，∵A1B⊥AB1．而A1B∩BD＝B，∴AB1⊥平面A1BD．……14分
12.解：
（I）证明：
取B1C1的中点Q，连结A1Q，PQ，
∴△PB1C1和△A1B1C1是等腰三角形，
∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ，…………2分
∴B1C1⊥平面AP1Q，…………4分
立体几何经典大题
∴B1C1⊥PA1，…………6分
∵BC∥B1C1，∴BC⊥PA1.…………7分
（II）连结BQ，在△PB1C1xx，PB1=PC1=，B1C1=2，Q为xx点，
∴PQ=1，∴BB1=PQ，…………9分
∴BB1∥PQ，∴四边形BB1PQ为平行四边形，
∴PB1∥BQ.…………11分
∴BQ∥DC1，
∴PB1∥DC1，…………12分
又∵PB1面AC1D，
∴PB1∥平面AC1D.…………14分
13.证：
（I）证明：
在xx，
2232?
2ADcos?
DABBD?
?
AB?
AD2?
AB?
222DEADBDAB?
?
?
?
?
AB又平面平面
平面平面平面
平面
立体几何经典大题
平面
（Ⅱ）解：
由（I）知从而
在xx，
1DB?
DE3?
SABE?
2又平面平面
1AB?
BE?
?
S?
44,BE?
BC?
AD?
ABE?
2平面平面，平面
而平面
综上，三棱锥的侧面积，
14.（Ⅰ）解:
因为,,且,
所以……………………………………………………………………………………………（4分）
又,所以四边形为平行四边形,则……………………………………（6分）
而,故点的位置满足………………………………………………………（8分）
（Ⅱ）证:
因为侧面底面,,且,
所以,则…………………………………………………………………（10分）
又,且,所以…………（14分）
而,所以…………………………………………………（16分）
立体几何经典大题
15、
（1）取PD中点Q，xxEQ、AQ，则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，
又∥AQ
又∥平面PAD
（2）PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA，又CD⊥AD∴CD⊥平面PAD∴AQ⊥CD若PA=AD，∴Q为PD中点，
∴AQ⊥PD∴AQ⊥平面PCD∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD
16．证明：
（I）证明：
∵ABC—A1B1C1是三直棱柱，
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