资源分配如资金安排数学建模.docx

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资源分配如资金安排数学建模

公司的投资问题

摘要

本文解决的主要问题是:

公司如何利用自己有限的金融资金20亿，分别在不考虑投资风险和考虑投资风险的情况下进行高效合理的投资，使投资利润最大化风险最小化。

针对问题一，我们建立起单目标线性规划模型，利用ling。

软件进行最优化求解（附录二）考虑投资风险的情况下5年末最大利润为17.41405亿元，具体投资方案见5.2中表一。

针对问题二，我们用时间序列模型和灰色预测模型分别对表2、表3的未来五年利润率进行了预测和比较。

用最小二乘法在matlab中编程求解（见附录三、四、五）得到时间序列的结果（见6.2中表二、表三）和灰色预测的结果（见见6.2中表四、表五）。

再建立起方差分析模型对两组结果进行了分析比较，时间序列模型的方差小于灰色预测模型，因此选用时间序列模型得到的风险损失率作为最终结果（见6.42中表六、表七）。

针对问题三，建立的是单目标线性规划模型，在问题一的基础上考虑了项目1的捐赠和项目5的固定可重复投资以与各项目之间的投资对利润率也会产生影响。

利用lingo求解（附录六）得第五年末最大利润为32.5375亿元，具体投资方案见7.2中表八。

针对问题四，我们在问题三的基础上考虑了投资的风险。

将风险和利润的双目标线性规划转变为单目标线性规划模型，ling。

求解（见附录七）得5年末的利润31.46908亿元，具体投资方案见8.2中表九。

针对问题五，由于在问题四的条件下考虑到了银行的存贷款，我们上网查到当年银行的利率，建立单目标最优化模型ling。

求解（见附录八）得5年末的利润为3.190736亿元，具体投资方案见9.2表十。

关键词：

单目标最优化灰色预测时间序列投资决策NPV

1问题重述

1.1问题背景

某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。

其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。

1.2需要解决的问题

一、公司财务分析人员给出一组实验数据（见附录一的表1）。

试根据实验数据确定5年内如何安排投资？

使得第五年末所得利润最大？

二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：

在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。

8个项目独立投资的往年数据见表2。

同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见附录1表3。

（注：

同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目）

试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。

三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。

对投资项目1,公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。

项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。

各投资项目的投资上限见附录1表4。

在此情况下,根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？

使得第五年末所得利润最大？

四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。

如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？

五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策？

2模型的假设与符号说明

2.1模型假设

假设1：

题目所给的数据都是真实可靠的

假设2:

未来5年市场的投资环境稳定，没有突发事件

假设3:

前一年的利润可以用于下一年的投资

假设4:

银行年率不变，贷款和存款是逐年进行

假设5：

每个项目的投资上限为当年的上限而不是在同一项目上累计投资

的上限

2.2符号说明

符号

说明

X巧

紛表示第i年投资丿项目上的资金

（丫二1,2,3,4,5;户1,2,3,4,5,6,7）

Ps

投资丿项目的利润率（＞1,2,3,4,5,6,7）

Px

f项目在与丿项目同时投资时的利润率

P皿

f项目在与丿、W项目同时投资时的利润率

R

中第5年年末的利润

S

项目丿的投资上限

FJ

项目丿的风险损失率

a

方差

c

每年的存款利率

2

每年的贷款率

每年向银行存款量（亿元）

Hi

每年向银行贷款量（亿元）

3问题分析

本文研究的是投资决策问题。

要求对资金合理安排投资，获得最大的

收益。

针对问题一：

这是一个单目标多约束的最优化问题，我们可以通过建立单目标线性规划模型解决该问题。

由于不考虑各项投资的风险，且总资金为20亿元，要使得第五年年末的利润最大，我们设定目标函数的思路为：

用第四年末收回的本利作为投资资金，结合各项目的利率表示出第五年年末收回的本利，最后减去20亿元的总成本就得到了目标函数。

对于每年各项投资资金的安排，则要符合下述两个方面的约束条件。

约束条件一为每个项目每年的投资额不能超过规定上限。

约束条件二为每年年初的投资总额不能超过上一年年末收回的本利总和。

针对问题二：

问题二根据公司财务人员收集的8个项目近20年的投资额与到期利润数据，预测未来五年各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率和风险损失率。

对于预测问题，我们运用灰色预测与时间序列模型进行预测，再结合实际分析求解结果，选择更为优化合理的时间序列模型。

针对问题三，与问题一相同也是一个单目标多约束的最优化问题。

其目标函数仍旧为问题一的目标函数。

而各个项目的利润率和每年的投资上限都发生了变化。

项目5的单笔投资额己经固定为500万且同一年可重复投资。

同时，在考虑利润率时要注意问题二中两个项目之间相互影响的情况。

所以，问题三的约束条件只是在问题一的条件上做了上述增加和改变。

针对问题四：

问题四实质是在问题三的基础引入风险，在考虑风险的基础上获取最大收益。

实质上考虑双目标规划的问题，即：

风险最小，利润最大。

为了便于求解我们在第三问的基础上减去一个风险值，化为单目

标规划。

针对问题五：

问题五考虑可以贷款或存款。

贷款可以加大投资，存款可以减小风险，最总目标最求收益最大化。

在问题四基础上我们通过修正,得到问题五的单目标规划。

4数据处理与分析

4.1投资时各项目的利润率

我们Excel中的统计工具计算出独立投资和共同投资的到期利润率制

成表格（见附录九）通过Excel中的绘图工具将最近20年的利润率绘制

成图如下

图一独立投资时的利润率

项目1

项目2

项目3

项目4

项目5

项目6

项目7

项目8

分析图一，独立投资时项目7的利润波动最大，利润高，风险也最大,其次是项目8。

项目3和4利润率波动最小。

图二联合投资时的利润率

分析图二，联合投资时项目6和8的波动较大，项目3和4的波动较小图一和图二对比分析，对比相同的项目，总体上联合投资利润率较髙，波动也较大。

这与实际情况是相符的，分开投资风险较小，联合投资利润较高，风险也大。

5问题一的解答

5.1单目标线性规划模型的建立

5.1.1确定目标函数

该模型是为了解决资金投资问题，要求我们合理安排手中的资金，以

5年为一个周期，使得第5年末所得的利润最大化。

据此，我们建立目标函数如下：

目标函数：

246

maxR=》x»Pj+工x4jPj+Xx3jPj+x2iP7+心R一20j-lJ-3jd

5.1.2确定约束条件

由于项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利，而且投资没有考虑风险，想要第五年末利润达到最大，只要在项目能在第五年年末前收回成本就可资。

如是有：

⑴项目1和2的每年投资金额限制：

勺

⑵项目3和4的每年投资金额限制：

由于项目3和4年初投资到第二年末才能收回本利，所以第5年不能再投资

X,?

（3）项目5和6的每年投资金额的限制：

由于项目3和4年初投资到第三年末才能收回本利，所以第4、5年不能再投资

坞VS川=1,2,3J=5,6）

（4）项目7的每年投资金额限制：

由于项目7要在第2年初才能投资，第5年才能收回本利，所以只能投资一次

心<»

（5）项目8的每年投资金额限制:

由于项目8要第3年初投资，第5年才能收回本利，所以项目8只能投资一

次

兀38—Sg

（6）每年年初的投资总额应不大于前一年年末收回的本利。

第一年：

6

工仆20

7-1

第二年：

72

丿・1J-1

第三年：

624

E勺+心§工X2jPj+工®Pj

第四年：

4246

工勺•S工•丫3必+1>2必+工・勺匕

>1J-37-5

第五年：

2246

工勺§门⑴广工"+XX2jPj+X21Pl+心几>17-1TJ-5

5.1.3综上所述，得到问题一的单目标最优化模型

目标函数：

246

max尺=工勺匕+工x4jpt+工x3jp.+x27/?

7+心几一20

j・】J-3J-5

©5Sj（7=1,2,3,4,5・J=1,2）

Xjj5Sj（i=1,2,3,4.j=3,4）<5//=1,2,3.j=5,6）

兀27§S?

fgo

J-l

"j辽"j

J-lJ-l

624

工勺+心生工X2jPj+工"jPjJ-l7-1T

为05工X、jPj+工X^jPj+W'jPj

J-lj-lJ-3J-5

2246

工勺《工・—jPj+工乜卩）+XX2iPj+X21P7+心几

J-lJ-lJ-37-5

5.2单目标线性规划模型的求解

利用ling。

软件对建立起的模型编程求解（见附录二）得

由上表可知

第一年：

项目1投资5亿，项目2、3、4、5投资3亿，项目6投资2亿,项目7、8不投资。

第二年：

项目1、2、3、4、8均不投资，项目5投资3亿，项目6投资2亿，项目7投资4亿。

第三年：

项目1、2、3、7均不投资，项目4投资0.6168亿，项目5和8投资3亿，项目6投资2亿。

第四年：

项目1、5、6、7、8均不投资，项目2投资0.35亿，项目3投资4亿，项目4投资3亿。

第五年：

项目1投资5.5218亿，

5.3单目标线性规划模型的结果分析

在不考虑风险的情况下，决策时应尽量把资金投入到利润率高的项目上，从表中投资决策来看，这与实际是相符的，说明我们的建模是合理、准确的。

6问题二的解答

A利润率的预测

6.1时间序列模型、灰色模型的建立

我们运用时间序列模型和灰色模型对未来5年的利润率和风险率进行预测。

6.1.1时间序列模型的建立

移动平均法是根据时间序列逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的变化的方法。

当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析，预测较短的时间范围之内表现为一个相当平稳的时间序列。

分析最近20年数据可知，预测目标的变化趋势变化不大，可以运用简单的移动平均法进行预测。

移动平均法是在算术平均法的基础上加以改进的。

其基本思想是，每次取一定数量周期的数据平均，按时间顺序逐次推进。

每推进一个周期时，舍去前一个周期的数据，增加一个新周期的数据，再进行平均。

设％为t周期的实际值取WT,—次移动平均值

={（x+x_i+x_2+…X-N+i）=M<+£（xd）（6.1）

其中」V为计算移动平均值所选定的数据个数。

当预测目标在某一水平上下波动时，可用一次简单移动平均方法建立预测模型，则有十+1期的预测值取为

（6.2）

其预测标准差为：

I£（y,-y,）2

\T-N

（6.3）

最近N期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。

一般N的取值范围为：

5<^<200,当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N的取值要大一些，否则，N的取值要小一些。

选择最佳N的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差，预测标准差越小越好。

A

如果将〉人作为第t+l期的实际值，于是就可用（6.2）式计算第t+2A

期的预测值儿2,—般地，可相应地求得以后各期的预测值。

但由于误差的积累，使得对越远时期的预测，误差越大，因此一次移动平均法一般只应用于一个时期后的预测（即预测第t+1期）。

6.1.2灰色模型的建立

1、GM（1,1）模型

令X⑹为GM（1,1）建模序列，

X（o）=（?

o）（l）,?

o>

（2），…,X%））,

（6.4）

X⑴为X⑹的1-AGO（—次累加生成）序列，

X⑴=（x⑴

（1）,⑴⑵,...,*匕）），

（6.5）

k

x⑴伙）=》少（为k=…/

j-i

（6.6）

令Z⑴为X⑴的紧邻均值（MEAN）生成序列

Z⑴=（z⑴⑵,z⑴⑶，…,z⑴（〃））

z⑴伙）二0.5（）伙）+0.5x⑴伙一1）

（6.7）

即定义：

GM（1,1）的灰微分方程模型为

x⑼伙）+血⑴⑹=b

式中d称为发展系数，b为灰色作用量。

设&为待估参数向量，即

力=W,则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足

a=（B'B）-lBrYn

其中

「-z⑴⑵

1'

'x（o）

（2）_

B=

-z⑴⑶

1

，Y”二

x⑹⑶

1

?

O）（77）

定义：

纟―=b

dt

为灰色微分方程汕伙）+血⑴伙）"的白化方程，也叫影子方程。

如上所述，则有

1）白化方程—+6/A-U）=/7的解也称时间响应函数为

dt

左⑴⑴=（X⑴（0）--）e~a,+-（6.8）

aa

2）GM（1,1）灰色微分方程x（o\k）+az（l）（k）=b的时间响应序列为

x

+r）=[x（,）（0）--]^+-,k=l,2,...,n（6.9）

aa

3）取x（l）（0）=x（0）

（1）,则

xa\k+1）=[x（o>（l）一£]严丈+£,k=12・・・,〃（6.1.0）

aa

4）还原值

左⑼伙+l）=x（,）（Ar+l）一対伙）（6.1.1）

上式即为预测方程。

6.2时间序列模型、灰色模型的求解

我们知道N值得选取对预测结果的求解尤为重要。

N越大，修匀的程度越强，波动也越小，但是在这种情况下，对利润率的变化趋势反应也越迟钝。

反之，如果N值取得越小，对利润率的变化趋势反应灵敏，但修匀性越差，容易把随机干扰作为趋势反映出来。

N应该取多大，应根据具体情况做出抉择。

当N等于周期变动的周期时，则可消除周期变化的影响。

在实用上，一般用对过去数据预测的均方误差S来作为选取N的准则

我们先用matlab求解不同N值情况下的标准差，找出使标准差最小的N值，按照下面流程图再用一次平均移动法，预测未来5年的利润率。

具体程序见附录四

时间序列模拟结果

独立投资项目未来五年的利润率（表二）

0.1508

0.1950

0.3569

0.3416

1.1132

0.9046

1.9675

1.3197

0.1447

0.1924

0.3737

0.3579

1.1391

0.9633

1.8929

1.3582

0.1442

0.1835

0.3495

0.3653

1.2416

0.9646

2.8460

1.2163

0.1522

0.1812

0.3217

0.3701

1.1968

1.0751

2.6150

1.5181

0.1445

0.1812

0.3307

0.3702

1.0563

1.1392

3.3147

1.8793

2007

2008

2009

2010

平均

0.14730.18670.34650.36101.14941.00942.52721.4583

投资项目同时投资时未来五年的利润率（表三）

灰色预测模拟结果

我们运用灰色模型对未来5年的利润率进行模拟求解如下（具体程序见

附录三）

灰色预测独立投资项目未来五年的利润率（表四）

项

年份

0.144

1

0.1081

0.3653

0.2284

9.2578

0.4209

1.0735

0.0623

0.1744

0.0975

0.5288

0.2371

2.7541

0.0481

0.0274

-0.0600

0.1456

0.1368

0.4093

0.1705

1.2618

0.0474

-140.3396

13.7205

0.2034

0.2232

0.2953

0.3247

0.6645

0.1520

-0.5946

8.9684

0.1182

0.1943

0.3844

0.2986

1.9005

-0.0123

-4.9993

3.4628

0.15714

0.15198

0.39662

0.25186

3.16774

0.13122

-28.9665

5.2308

2006

2007

2008

2009

2010

平均

灰色预测投资项目同时投资时未来五年的利润率（表五）

项同时投资项目3、

同时投资项目5、6同时投资项目5、6、8

I4

年份\

3

4

5

6

5

6

8

2006

0.2659

0.4464

0.0149

0.4419

0.4392

0.0044

0.1972

2007

0.3399

0.5123

6.3671

0.0092

6.2767

0.4430

1.3632

2008

0.8862

0.4852

0.7368

0.5860

2.0160

0.1471

1.5669

2009

0.6881

0.4640

0.9198

0.1485

1.2212

0.1025

8.5685

2010

0.3834

0.4535

0.0527

0.0005

0.3139

11.5693

3.9093

平均

0.5127

0.47228

1.61826

0.23722

2.0534

2.45326

3.12102

6.3结果分析

仔细分析时间丿子列模拟的结果和灰色预测模拟的结果，我们发现时间序列的模拟结果受个别数据的影响较小，波动不大，并且预测值均为正，总体上反映了利润率的变化趋势；灰色模拟的结果受个别数据的影响较大，个别数据波动很大，个别数据出现负值如-140.3396,并且预测值独立投资时项目7利润率为-28.9665,这与实际情况是不相符的，利润率为负，就不会投资该项目。

综上所述，时间序列模型在时间序列较为平稳的情况下更能反映总体的变化趋势，因而，本题中运用时间序列模型由于灰色预测模型。

下面计算将采用时间序列模型的预测值。

B风险损失率

6.4方差分析模型的建立

6.4.1对于风险损失率我们建立方差分析模型

风险是指投资中未來收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。

由于投资的风险是在投资之后发生的，而投资者又希望投资前或投资时能够了解到投资的风险，因此，人们通常用投资后收益的各种可能情况与各种可能情况出现的概率来描述风险的程度，即用概率分布来测度风险的程度。

我们用收益的标准差。

来测度风险。

标准差是方差的平方根，而方差是各种可能值相对于期望值离散程度的指标，收益率的方差。

'是各种可能收益率相对于期望收益率离散程度的指标。

由于各种可能收益的波动程度越大，方差的均值就越大，所以，方差

和标准差可用来测度风险，方差和标准差越大，就意味着风险越大。

根据统计学原理，样本的个数越大，对变动率的预测就越准确。

所以我们把上面预测出来的到期利润率放到样本中，再进行风险的预测与求解。

巧=°7=+（仓-為）2

6.4.2方差分析模型的求解

根据前面定义的风险预测的表达式，运用matlab求解结果如下（具体程仔见附录五）

独立投资时的风险损失率（表六）

1

2

3

4

5

6

7

8

0.000001

0.00003

0.00034

0.00011

0.004

0.007

0.289

0.053

2

4

4

4

2

3

0

7

一些项目同时投资时的风险损失率（表七）

同时投资项目3、4

34

同时投资项目5、6

56

同时投资项目5、6、8

568

0.00800.00900.0286

0.0003160.0000300.00160.0119

6.4.3方差分析模型结果分析

分析可知同时总体平均风险率明显降低，组合投资下项目8的风险率下降最快，这说明组合投资有利于合理的规避风险。

不难发现项目7的风险损失率明显高于其它项目，如果想减小风险，项目7投入的资金要尽可能少。

7问题三的解答

5.1单目标线性规划模型的建立

5.1・1确定目标函数

该模型是为了解决资金投资问题，要求我们合理安排手中的资金，以5年为一个周期，使得第5年末所得的利润最大化。

据此，我们建立目标函数如下：

目标函数：

246

max尺=工勺匕+工x4jpt+工x3jp.+x27/?

7+心几一20

j・】J-3

5.1.2确定约束条件

由于项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资,到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利，而且投资没有考虑风险，想要第五年末利润达到最大，只要在项目能在第五年年末前收回成本就可资。

⑴项目1和2的每年投资金额限制：

®

⑵项目3和4的每年投资金额限制：

由于项目3和4年初