自编实际问题极值与二次函数.docx

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自编实际问题极值与二次函数

自编实际问题极值与二次函数

22.3实际问题与二次函数第2课时商品利润最大问题

学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）

2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）

导入新课情境引入

在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？

讲授新课

一、利润问题中的数量关系

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是18000元，销售利润6000元.

数量关系：

（1）销售额=售价×销售量;

（2）利润=销售额－总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价－进价.

二、如何定价利润最大

例1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

◆

（1）涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：

单件利润（元）

销售量（件）

每星期利润（元）

正常销售

20

300

6000

涨价x元销售

20+x

300－10x

y=（20+x）（300－10x）

建立函数关系式：

y=（20+x）（300－10x）,配方得：

y=－10x2+100x+6000=－10（x－5）2+6250，.

②自变量x的取值范围如何确定？

营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300－10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.

③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？

当x=5时,y最大=－10×52+100×5+6000=6250.即定价60+5=65元时，最大利润是6250元.

◆

（2）降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填表:

单件利润（元）

销售量（件）

每星期利润（元）

正常销售

20

300

6000

降价x元销售

20－x

300+20x

y=（20+x）（300+20x）

建立函数关系式：

y=（20－x）（300+20x），配方得：

y=－20x2+100x+6000=－10（x－2.5）2+6125，.

②自变量x的取值范围如何确定？

由

（1）

（2）的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?

营销规律是价格下降，销量上升，利润减小。

因此只要考虑单件利润就可以，故20－x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.

③降价多少元时，利润最大，是多少？

当x=2.5时,y最大=6125.即定价60－2.5=57.5元时，最大利润是6250元.

综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.

知识要点求解最大利润问题的一般步骤：

（1）建立利润与价格之间的函数关系式：

运用“总利润=单件利润×销售量”或“总利润=总售价－总成本”

（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：

可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.

课堂练习：

1.某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？

①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：

单件利润（元）

销售量（件）

每星期利润（元）

正常销售

10

180

1800

涨价x元销售

10+x

180－10x

y=（10+x）（180－10x）

建立函数关系式：

y=（10+x）（180－10x）,配方得：

y=－10x2+80x+1800=－10（x－4）2+1960..

②自变量x的取值范围如何确定？

营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180－10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤18.

③降价多少元时，利润最大，是多少？

当x=4时，即销售单价为30+4=34元时，y取最大值1960元.

答：

当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.

2.（2018江苏淮安，25，10分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．

（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为180件；

（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？

并求出最大利润．

【分析】

（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可答案；

（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可答案．

单件利润（元）

销售量（件）

每星期利润（元）

正常销售

50-40=10

200

2000

涨价后销售为x元

x－40

200﹣10（x﹣50）

y=（x－40）[200﹣10（x﹣50）]

【答案】解：

（1）由题意得：

200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），故答案为：

180；

（2）由题意得：

y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2＋1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2＋2250

∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．

课堂小结：

22.3实际问题与二次函数第2课时商品利润最大问题学案

学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）

2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）

新课学习

一、利润问题中的数量关系

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.

数量关系：

（1）销售额=售价×销售量;

（2）利润=销售额－总成本=单件利润×销售量;

（3）单件利润=售价－进价.

二、如何定价利润最大

例1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

◆

（1）涨价销售

①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：

单件利润（元）

销售量（件）

每星期利润（元）

正常销售

涨价x元销售

建立函数关系式：

__________________，配方得：

________________________.

②自变量x的取值范围如何确定？

营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300－10x≥0，且x≥0,因此自变量x的取值范围是_______________.

③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？

当x=_____时,y最大=___________.即定价为_________元时，最大利润是_________元.

◆

（2）降价销售

①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空:

单件利润（元）

销售量（件）

每星期利润（元）

正常销售

降价x元销售

建立函数关系式：

______________，配方得：

____________________.

②自变量x的取值范围如何确定？

由

（1）

（2）的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?

营销规律是价格下降，销量上升，利润减小。

因此只要考虑单件利润就可以，故20－x≥0，且x≥0,因此自变量x的取值范围是_____________.

③降价多少元时，利润最大，是多少？

当x=_____时,y最大=________.即定价为______元时，最大利润是_____元.

综上可知，应定价________元时，才能使利润最大.

知识要点求解最大利润问题的一般步骤：

1）建立利润与价格之间的函数关系式：

运用“总利润=单件利润×销售量”或“总利润=总售价－总成本”

（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：

可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.

课堂练习：

1.某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？

①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：

单件利润（元）

销售量（件）

每星期利润（元）

正常销售

涨价x元销售

建立函数关系式：

__________________，配方得：

________________________.

②自变量x的取值范围如何确定？

营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180－10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是________________.

③降价多少元时，利润最大，是多少？

当x=_____时,y最大=___________.即定价为_________元时，最大利润是_________元.

2.（2018江苏淮安，25，10分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．

（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；

（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？

并求出最大利润．

【分析】

（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可答案；

（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可答案．

单件利润（元）

销售量（件）

每星期利润（元）

正常销售

涨价后销售为x元

解：

课堂小结：

作业：

练习册（优佳学案）50页对应的习题。

课后练习：

1.（2018山东省烟台,11,3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：

①2a﹣b=0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣2）2﹣2．其中正确的是（）

A．①③B．②③C．②④D．③④

2.（2018四川巴中，7，3分）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A．此抛物线的解析式是y=﹣

x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）

C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m

3.（2018江苏连云港，7，3分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（　　）

A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面

C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m

4.（2018广西贺州17，3分）某种商品每件进价为20元，调查表明：

在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为____元．

5.（2018辽宁抚顺，24，12分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？

最大利润是多少元？

6.（2018山东滨州，23，12分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：

m）与飞行时间x（单位：

s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？

最大高度是多少？

7．（2018湖南衡阳，24，8分）一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少？

8.（2018福建A卷，23，10分）如图，在足够大的空地上有一段长为A米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若A=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

9.（2018四川眉山,24,9分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：

（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？

（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？

最大利润是多少元？

（利润=出厂价﹣成本）