C.如果vM=vN,则>
D.如果tM=tN,则>
答案 A
解析 由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,=,由它们在磁场中的轨迹可知,两个带电粒子M和N轨迹的半径关系为rM>rN,如果=,则vM>vN,选项A正确;两个带电粒子M和N在匀强磁场中轨迹均为半个圆周,运动时间均为半个周期,由T=可知,如果=,则两个带电粒子M和N在匀强磁场中运动周期相等,tM=tN,选项B错误,同理,选项D错误;由qvB=m,可解得v=.如果vM=vN,则<,选项C错误.
3.如图3所示,有一个正方形的匀强磁场区域abcd,e是ad的中点,f是cd的中点,如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的粒子(带电粒子重力不计),恰好从e点射出,则( )
图3
A.如果粒子的速度增大为原来的2倍,将从d点射出
B.如果粒子的速度增大为原来的3倍,将从f点射出
C.如果粒子的速度不变,磁场的磁感应强度变为原来的2倍,将从d点射出
D.只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时,从e点射出所用时间最短
答案 A
解析 如果粒子的速度增大为原来的2倍,磁场的磁感应强度不变,由半径公式R=可知,半径将增大为原来的2倍,根据几何关系可知,粒子正好从d点射出,故A项正确;设正方形边长为2a,则粒子从e点射出,轨迹半径为a.磁感应强度不变,粒子的速度变为原来的3倍,则轨迹半径变为原来的3倍,即轨迹半径为a,则由几何关系可知,粒子从fd之间射出磁场,B项错;如果粒子速度不变,磁感应强度变为原来的2倍,粒子轨迹半径减小为原来的一半,因此不可能从d点射出,C项错;只改变粒子速度使其分别从e、d、f三点射出时,从f点射出时轨迹的圆心角最小,运动时间最短,D项错.
4.如图4,匀强磁场垂直于纸面,磁感应强度大小为B,某种比荷为、速度大小为v的一群离子以一定发散角α由原点O出射,y轴正好平分该发散角,离子束偏转后打在x轴上长度为L的区域MN内,则cos为( )
图4
A.-B.1-
C.1-D.1-
答案 B
解析 由洛伦兹力提供向心力得
qvB=m,
解得r=.
根据题述,当离子速度方向沿y轴正方向时打在N点,当离子速度方向与y轴正方向夹角为时打在M点,画出三种情况下离子的运动轨迹如图所示,
设OM之间的距离为x,则有
2rcos=x,2r=x+L,
联立解得cos=1-,选项B正确.
二、多项选择题
5.如图5所示,磁流体发电机的长方体发电导管的前后两个侧面是绝缘体,上下两个侧面是电阻可忽略的导电电极,两极间距为d,极板长和宽分别为a和b,这两个电极与可变电阻R相连.在垂直前后侧面的方向上有一匀强磁场,磁感应强度大小为B.发电导管内有电阻率为ρ的高温电离气体——等离子体,等离子体以速度v向右流动,并通过专用通道导出.不计等离子体流动时的阻力,调节可变电阻的阻值,则( )
图5
A.运动的等离子体产生的感应电动势为E=Bav
B.可变电阻R中的感应电流方向是从Q到P
C.若可变电阻的阻值为R=ρ,则其中的电流为I=
D.若可变电阻的阻值为R=ρ,则可变电阻消耗的电功率为P=
答案 CD
解析 根据左手定则,等离子体中的带正电粒子受到的洛伦兹力向上,带正电粒子累积在上极板,可变电阻R中电流方向从P到Q,B错误;当带电粒子受到的电场力与洛伦兹力平衡时,两极板间电压稳定,设产生的电动势为E,则有qvB=q,E=Bdv,A错误;发电导管内等离子体的电阻r=ρ,若可变电阻的阻值为R=ρ,由闭合电路欧姆定律有I==,可变电阻消耗的电功率P=I2R=,C、D正确.
6.如图6所示,空间中有垂直纸面向里的匀强磁场,垂直磁场方向的平面内有一长方形区域abcd,其bc边长为L,ab边长为L.两同种带电粒子(重力不计)以相同的速度v0分别从a点和ab边上的P点垂直射入磁场,速度方向垂直于ab边,两粒子都恰好经过c点,则下列说法中正确的是( )
图6
A.粒子在磁场中运动的轨道半径为L
B.粒子从a点到c点的运动时间为
C.粒子的比荷为
D.P点与a点的距离为
答案 ACD
解析 如图,
连接ac,ac=2L,即为轨迹圆弧对应的弦,作弦ac的垂直平分线交ab于点O1,即为粒子从a点到c点运动轨迹的圆心,半径R==L,A正确;粒子从a点到c点的运动时间t==,B错误;由于R=,则比荷==,C正确;从P点射入的粒子的轨迹半径也等于R,根据几何关系,可以求出轨迹圆心O2点到b点的距离为=L,P点与a点的距离为L+L-L=L,P点与O1点重合,D正确.
7.如图7所示,在光滑绝缘的水平面上叠放着两个物块A和B,A带负电、质量为m、电荷量为q,B质量为2m、不带电,A和B间动摩擦因数为0.5.初始时A、B处于静止状态,现将大小为F=mg的水平恒力作用在B上,g为重力加速度.A、B处于水平向里的磁场之中,磁感应强度大小为B0.若A、B间最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则下列说法正确的是( )
图7
A.水平力作用瞬间,A的加速度大小为
B.A做匀加速运动的时间为
C.A的最大速度为
D.B的最大加速度为g
答案 BC
解析 F作用在B上瞬间,假设A、B一起加速,则对A、B整体有F=3ma=mg,对A有FfA=ma=mg<μmg=mg,假设成立,因此A、B共同做加速运动,加速度为,A选项错误;A、B开始运动后,整体在水平方向上只受到F作用,做匀加速直线运动,对A分析,B对A有水平向左的静摩擦力FfA静作用,由FfA静=知,FfA静保持不变,但A受到向上的洛伦兹力,支持力FNA=mg-qvB0逐渐减小,最大静摩擦力μFNA减小,当FfA静=μFNA时,A、B开始相对滑动,此时有=μ(mg-qv1B0),v1=,由v1=at得t=,B正确;A、B相对滑动后,A仍受到滑动摩擦力作用,继续加速,有FfA滑=μ(mg-qvAB0),速度增大,滑动摩擦力减小,当滑动摩擦力减小到零时,A做匀速运动,有mg=qv2B0,得最大速度v2=,C选项正确;A、B相对滑动后,对B有F-FfA滑=2maB,FfA滑减小,则aB增大,当FfA滑减小到零时,aB最大,有aB==,D选项错误.
三、非选择题
8.aa′、bb′、cc′为足够长的匀强磁场分界线,相邻两分界线间距均为d,磁场方向如图8所示,Ⅰ、Ⅱ区域磁感应强度分别为B和2B,边界aa′上有一粒子源P,平行于纸面向各个方向发射速率为的带正电粒子,Q为边界bb′上一点,PQ连线与磁场边界垂直,已知粒子质量为m,电荷量为q,不计粒子重力和粒子间相互作用力,求:
图8
(1)沿PQ方向发射的粒子飞出Ⅰ区时经过bb′的位置;
(2)粒子第一次通过边界bb′的位置范围;
(3)进入Ⅱ区的粒子第一次在磁场Ⅱ区中运动的最长时间和最短时间.
答案 见解析
解析
(1)由洛伦兹力充当向心力得
Bqv=
r1=
把v=代入得
r1=2d
如图甲所示sinθ==,θ=30°
PM=QN=2d-2dcosθ=(2-)d
则经过bb′的位置为Q下方(2-)d处
(2)当带正电粒子速度竖直向上进入磁场Ⅰ,距离Q点上方最远,如图乙所示,由几何关系得
cosα1==,
α1=60°
QH1=2dsinα1=d
当带正电粒子进入磁场Ⅰ后与bb′相切时,距离Q点下方最远,如图丙所示,由几何关系得
cosα2==,
α2=60°
QH2=2dsinα2=d
粒子通过的范围长度为L=2d
(3)r2==d
T==
轨迹圆所对应的弦越长,在磁场Ⅱ中运动的时间越长.如图丁所示,当轨迹圆的弦长为直径时,所对应的时间最长为tmax==
当轨迹圆的弦长为磁场Ⅱ的宽度时,从cc′飞出,所对应的时间最短为tmin==
当粒子从Q最上方进入Ⅱ区时,如图戊所示,从bb′飞出所对应的时间最短为tmin==
所以粒子第一次在磁场Ⅱ中运动的最短时间为tmin=.
9.如图9所示,在平面直角坐标系xOy内,第Ⅰ象限的等腰直角三角形MNP区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场,y<0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场.一质量为m、电荷量为q的带电粒子从电场中Q(-2h,-h)点以速度v0水平向右射出,经坐标原点O处射入第Ⅰ象限,最后以垂直于PN的方向射出磁场.已知MN平行于x轴,N点的坐标为(2h,2h),不计粒子的重力,求:
图9
(1)电场强度的大小E;
(2)磁感应强度的大小B;
(3)粒子在磁场中运动的时间t.
答案
(1)
(2) (3)
解析
(1)粒子运动轨迹如图所示,
粒子在电场中运动的过程中,由平抛运动规律及牛顿运动定律得:
2h=v0t
h=at2
qE=ma
解得E=
(2)粒子到达O点时,沿y轴正方向的分速度
vy=at=·=v0
则速度方向与x轴正方向的夹角α满足:
tanα==1
即α=45°
粒子从MP的中点垂直于MP进入磁场,垂直于NP射出磁场,粒子在磁场中的速度为:
v=v0
轨道半径R=h
又由qvB=m得B=
(3)由T=,且由几何关系可知小粒子在磁场中运动的圆心角为45°,
故粒子在磁场中的运动时间
t=·=.