徐州数学 二次函数专题练习解析版.docx

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徐州数学二次函数专题练习解析版

徐州数学二次函数专题练习（解析版）

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：

y＝ax2﹣4ax（a0）与x轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线L的对称轴．

（2）抛物线L：

y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．

（3）在

（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）；

（2）；（3）存在，P点的坐标为或或或或

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．

（2）利用正方形的性质求出点M，M′的坐标即可解决问题．

（3）分OD是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．

【详解】

解：

（1）∵抛物线L：

y＝ax2﹣4ax（a＞0），

∴抛物线的对称轴x＝﹣＝2．

（2）如图1中，

对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，

解得x＝0或4，

∴A（4，0），

∵四边形OMAM′是正方形，

∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，

∴M（（2，﹣2），M′（2，2）

把M（2，﹣2）代入y＝ax2﹣4ax，

可得﹣2＝4a﹣8a，

∴a＝，

∴抛物线L′的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2＝﹣x2+2x．

（3）如图3中，由题意OD＝2．

当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P（m，m2﹣2m），则Q[m﹣2，﹣（m﹣2）2+2（m﹣2）]或[m+2，﹣（m+2）2+2（m+2）]，

∵PQ∥OD，

∴m2﹣2m＝﹣（m﹣2）2+2（m﹣2）或m2﹣2m＝﹣（m+2）2+2（m+2），

解得m＝3±或1±，

∴P（3+，）或（3﹣，﹣）或（1﹣，）和（1+，﹣），

当OD是平行四边形的对角线时，点P的横坐标为1，此时P（1，﹣），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（3+，）或（3﹣，﹣）或（1﹣，）和（1+，﹣）或（1，﹣）．

【点睛】

本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题

2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接，在抛物线上是否存在点P，使得？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接，交y轴于点E，点M是线段上的动点（不与点A，点D重合），将沿所在直线翻折，得到，当与重叠部分的面积是面积的时，请直接写出线段的长．

【答案】

（1）；

（2）存在，（，）或（，）；（3）或

【解析】

【分析】

（1）根据点A和点C的坐标，利用待定系数法求解；

（2）在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，构造出∠PBC=∠BDE，分点P在第三象限时，点P在x轴上方时，点P在第四象限时，共三种情况分别求解；

（3）设EF与AD交于点N，分点F在直线AC上方和点F在直线AC下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN，FN=NE，从而证明四边形FMEA为平行四边形，继而求解．

【详解】

解：

（1）∵抛物线经过点A（-2，-4）和点C（2，0），

则，解得：

，

∴抛物线的解析式为；

（2）存在，理由是：

在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，

在中，

令y=0，解得：

x=2或-1，

∴点B坐标为（-1，0），

∴点E坐标为（1，0），

可知：

点B和点E关于y轴对称，

∴∠BDO=∠EDO，即∠BDE=2∠BDO，

∵D（0，2），

∴DE==BD，

在△BDE中，有×BE×OD=×BD×EF，

即2×2=×EF，解得：

EF=，

∴DF==，

∴tan∠BDE===，

若∠PBC=2∠BDO，

则∠PBC=∠BDE，

∵BD=DE=，BE=2，

则BD2+DE2＞BE2，

∴∠BDE为锐角，

当点P在第三象限时，

∠PBC为钝角，不符合；

当点P在x轴上方时，

∵∠PBC=∠BDE，设点P坐标为（c，），

过点P作x轴的垂线，垂足为G，

则BG=c+1，PG=，

∴tan∠PBC===，

解得：

c=，

∴=，

∴点P的坐标为（，）；

当点P在第四象限时，

同理可得：

PG=，BG=c+1，

tan∠PBC===，

解得：

c=，

∴=，

∴点P的坐标为（，），

综上：

点P的坐标为（，）或（，）；

（3）设EF与AD交于点N，

∵A（-2，-4），D（0，2），设直线AD表达式为y=mx+n，

则，解得：

，

∴直线AD表达式为y=3x+2，

设点M的坐标为（s，3s+2），

∵A（-2，-4），C（2，0），设直线AC表达式为y=m1x+n1，

则，解得：

，

∴直线AC表达式为y=x-2，

令x=0，则y=-2，

∴点E坐标为（0，-2），

可得：

点E是线段AC中点，

∴△AME和△CME的面积相等，

由于折叠，

∴△CME≌△FME，即S△CME=S△FME，

由题意可得：

当点F在直线AC上方时，

∴S△MNE=S△AMC=S△AME=S△FME，

即S△MNE=S△ANE=S△MNF，

∴MN=AN，FN=NE，

∴四边形FMEA为平行四边形，

∴CM=FM=AE=AC==，

∵M（s，3s+2），

∴，

解得：

s=或0（舍），

∴M（，），

∴AM==，

当点F在直线AC下方时，如图，

同理可得：

四边形AFEM为平行四边形，

∴AM=EF，

由于折叠可得：

CE=EF，

∴AM=EF=CE=，

综上：

AM的长度为或．

【点睛】

本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．

3．已知函数（为常数）．

（1）若点在此函数图象上，求的值．

（2）当时，

①求此函数图象与轴的交点的横坐标．

②若此函数图象与直线有三个交点，求的取值范围．

（3）已知矩形的四个顶点分别为点，点，点，点，若此函数图象与矩形无交点，直接写出的取值范围．

【答案】

（1）或；

（2）①或；②或；（3）或或

【解析】

【分析】

（1）本题根据点横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得的取值．

（2）①本题将代入解析式，分别令两个函数解析式y值为零即可求得函数与x轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线观察其与图像交点，即可得到答案．

（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当，将函数值与2比大小，将与0比大小；第二种为当，函数值与0比大小，且该函数与y轴的交点和0比大小，函数值与2比大小，且该函数与y轴交点与2比大小；第三种为与y轴交点与2比大小，与y轴交点与0比大小．

【详解】

（1）将代入中，得，解得或．

（2）当时，函数为，

①令，解得或．（不合题意，舍去）

令，解得或．（不合题意，舍去）

综上，或．

②对于函数，其图象开口向上，顶点为；

对于函数，其图象开口向下，顶点为，与轴交于点．

综上，若此函数图象与直线有三个交点，则需满足或．

（3）对称轴为；对称轴为．

①当时，若使得图像与矩形ABCD无交点，需满足当时，，解不等式得或，在此基础上若使图像与矩形ABCD无交点，需满足当时，，

解得或，

综上可得：

．

②当时，若使得图像与矩形ABCD无交点，需满足时，；当时，；得，

在此基础上若使图像与矩形ABCD无交点，需满足时，；时，；

求得；

综上：

．

③当时，若使函数图像与矩形ABCD无交点，需满足时，且；

求解上述不等式并可得公共解集为：

．

综上：

若使得函数与矩形ABCD无交点，则或或．

【点睛】

本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．

4．已知抛物线过点．

（1）若点也在该抛物线上，请用含的关系式表示；

（2）若该抛物线上任意不同两点、都满足：

当时，；当时，；若以原点为圆心，为半径的圆与抛物线的另两个交点为、（点在点左侧），且有一个内角为，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，若点与点关于点对称，且、、三点共线，求证：

平分．

【答案】

（1）；

（2）；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）把点、代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．

（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为轴、开口向上，进而可得出，由抛物线的对称性可得出为等腰三角形，结合其有一个的内角可得出为等边三角形，设线段与轴交于点，根据等边三角形的性质可得出点的坐标，再利用待定系数法可求出值，此题得解；

（3）由

（1）的结论可得出点的坐标为，、点的坐标为，，由、、三点共线可得出，进而可得出点及点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点在直线上，进而即可证出平分．

【详解】

解：

（1）把点、分别代入，得

．

所以．

（2），如图1，

当时，，

，，

当时，随的增大而减小；

同理：

当时，随的增大而增大，

抛物线的对称轴为轴，开口向上，

．

为半径的圆与拋物线的另两个交点为、，

为等腰三角形，

又有一个内角为，

为等边三角形．

设线段与轴交于点，则，且，

又，

，．

不妨设点在轴右侧，则点的坐标为，．

点在抛物线上，且，，

，

，

抛物线的解析式为．

（3）证明：

由

（1）可知，点的坐标为，，点的坐标为，．

如图2，直线的解析式为．

、、三点共线，

，，且，

，

，

，即，

点的坐标为，．

设点关于轴的对称点为点，则点的坐标为，．

点是点关于点的对称点，

，

点的坐标为．

设直线的解析式为，

点的坐标为，，

，

，

直线的解析式为．

，

点在直线上，

平分．

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：

（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出、满足的关系式；

（2）①利用等边三角形的性质找出点的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点在直线上．

5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．

（1）若b＝1，a＝﹣c，求证：

二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；

（2）若a0，c＝0，且对于任意的实数x，都有y1，求4a+b2的取值范围；

（3）若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1•y2＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

【答案】

（1）见解析；

（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；

（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；

（3）将（0，y1）和（1，y2）分别代入函数解析式，由y1•y2＞0，及2a+3b+6c＝0，得不等式组，变形即可得出答案．

【详解】

解：

（1）证明：

∵y＝ax2+bx+c（a≠0），

∴令y＝0得：

ax2+bx+c＝0

∵b