新苏教版六年级数学上册知识点总结.docx

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新苏教版六年级数学上册知识点总结

新苏教版六年级数学上册知识点总结

（一）长方体和正方体长方体和正方体的特征:

长方体和正方体的表面积:

概念：

长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积　计算公式：

长方体表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2或S表＝（ａＸb+ａＸc+bｘc）x２　正方体表面积=棱长×棱长×6或Ｓ表=ａxax6=6a2

注：

不足６个面的实际问题根据具体情况计算,例如鱼缸、无盖纸盒等等。

体积（容积）单位进率换算:

1立方米=１000立方分米１立方分米=１０00立方厘米

1ｍ3=1000dm3１dm3=1000cｍ3

1升=１000毫升1立方分米=１升　1立方厘米=1毫升１L＝10０0mＬ1ｄm3=1L1ｃm3=1mL长方体和正方体的体积（容积）：

概念:

物体所占空间的大小叫做它们的体积（容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积）。

计算公式:

长方体体积公式=长×宽×高或V=ａｘbxh　正方体体积公式=棱长×棱长×棱长或V=ａxaｘa=a３长方体和正方体的体积=底面积×高或VS底×ｈ

（二）分数乘法

分数与整数相乘及实际问题：

1.分数与整数相乘：

用整数与分数的分子相乘的积作为分子，分数的分母作为分母，最后约分成最简分数。

或者先将整数与分数的分母进行约分,再应用前面计算法则。

注：

【任何整数都可以看作为分母是1的分数】2.求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算。

3.解题时可以根据表示几分之几的条件，确定单位1的量，想单位1的几分之几是哪个数量，找出数量关系式,再根据数量关系式列式解答。

分数与分数相乘及连乘：

１．分数与分数相乘：

用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母,最后约分成最简分数。

2．分数连乘:

通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算

３.一个数与比1小的数相乘,积小于原数;一个数与比１大的数相乘，积大于原数。

（一）分数乘法的意义:

ﻫ１、分数乘整数与整数乘法的意义相同。

都是求几个相同加数的和的简便运算。

ﻫ例如：

６5×5表示求5个65的和是多少?

1/3×５表示求5个1/３的和是多少?

2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。

　ﻫ例如：

1/3×4/7表示求1／３的4／7是多少。

ﻫ４×3/８表示求4的３/8是多少.

（二）、分数乘法的计算法则:

ﻫ1、分数与整数相乘:

分子与整数相乘的积做分子，分母不变。

（整数和分母约分）

2、分数与分数相乘：

用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

注意：

当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。

ﻫ３、为了计算简便，能约分的要先约分,再计算。

（尽量约分,不会约分的就不约，常考的质因数有1１×1１=１21;１3×１３=169；17×17＝289;1９×19=361）

４、小数乘分数，可以先把小数化为分数,也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）

（三）、乘法中比较大小的规律

一个数（０除外）乘大于１的数，积大于这个数。

ﻫ一个数（0除外）乘小于1的数（0除外）,积小于这个数。

　一个数（0除外）乘１，积等于这个数。

　（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

乘法交换律:

a×b　＝　b×aﻫ　乘法结合律：

　（a×b）×c　=a　×（ｂ×c）ﻫ乘法分配律：

（ａ　+　b）×c＝ac+　bcﻫ　二、分数乘法的解决问题（已知单位“1”的量（用乘法），即求单位“１”的几分之几是多少）

１、画线段图:

（1）两个量的关系：

画两条线段图,先画单位一的量，注意两条线段的左边要对齐。

（2）部分和整体的关系:

画一条线段图。

2、找单位“1”:

单位“1”在分率句中分率的前面;

 或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。

3、写数量关系式的技巧：

（1）“的”　相当于　“×”,“占”、“相当于”“是”、“比”是“=　”  

（2）分率前是“的”字:

用单位“1”的量×分率=具体量 ﻫ例如:

甲数是20,甲数的1/３是多少?

列式是:

２0×1/3

4、看分率前有没有多或少的问题;分率前是“多或少”的关系式：

 ﻫ（比少）：

单位“1”的量×（１－分率）=具体量；ﻫ例如：

甲数是５０，乙数比甲数少１／2,乙数是多少?

列式是:

50×（1-1／2）

（比多）：

单位“1”的量×（１+分率）=具体量ﻫ例如:

小红有30元钱，小明比小红多3/5，小红有多少钱？

列式是：

50×（1＋3/5）

3、求一个数的几倍是多少：

用一个数×几倍； 

4、求一个数的几分之几是多少:

用一个数×几分之几。

ﻫ5、求几个几分之几是多少：

用几分之几×个数

6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法:

（1）、单位“1”的量×（1-分率）=另一个部分量（建议用）ﻫ（２）、单位“1”的量－已知占单位“１”的几分之几的部分量=要求的部分量

三、倒数ﻫ１、倒数的意义:

乘积是１的两个数互为倒数。

ﻫ强调：

互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存，倒数不能单独存在。

　（要说清谁是谁的倒数）。

ﻫ2、求倒数的方法：

ﻫ

（1）、求分数的倒数:

交换分子分母的位置。

ﻫ

（2）、求整数的倒数：

把整数看做分母是１的分数,再交换分子分母的位置。

ﻫ（3）、求带分数的倒数：

把带分数化为假分数,再求倒数。

ﻫ（4）、求小数的倒数:

　把小数化为分数,再求倒数。

　3、  1的倒数是１；因为1×1＝１;0没有倒数,因为０乘任何数都得0，（分母不能为0）  ﻫ４、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于１;带分数的倒数小于1。

ﻫ5、运用，a×2／3=ｂ×1/4求ａ和b是多少。

把ａ×２/３＝ｂ×1/4看成等于1，也就是求２/3的倒数和求１／4的倒数。

ﻫ１、分数除法的意义:

ﻫ乘法:

因数×因数=　积    ﻫ除法:

积　÷一个因数=另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。

ﻫ例如:

1/2÷３/5意义是：

已知两个因数的积是1／2与其中一个因数３/5,求另一个因数的运算。

ﻫ２、分数除法的计算法则：

ﻫ除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

3、分数除法比较大小时的规律：

（１）当除数大于１，商小于被除数;

（２）当除数小于１（不等于0），商大于被除数;

（3）当除数等于1,商等于被除数。

ﻫ“［]”叫做中括号。

一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。

ﻫ　二、分数除法解决问题ﻫ1，解法:

（1）方程：

根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

解:

设未知量为X（一定要解设）,再列方程 　用X×分率＝具体量 

例如：

公鸡有２0只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。

（单位一是母鸡只数，单位一未知.）解:

设母鸡有Ｘ只。

列方程为：

X×1/3=２0

（2）算术（用除法）：

单位“１”的量未知用除法：

即已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。

分率对应量÷对应分率　=单位“１”的量

例如:

公鸡有２0只，是母鸡只数的1/3,母鸡有多少只。

（单位一是母鸡只数,单位一未知,）用除法，列式是:

２0÷1/3

２、看分率前有没有比多或比少的问题；

分率前是“多或少”的关系式:

 ﻫ（比少）:

具体量÷（１-分率）=单位“1”的量;ﻫ例如:

桃树有50棵,比苹果树少1/6，苹果树有多少棵。

ﻫ列式是:

50÷（１-1／６）ﻫ（比多）：

具体量÷（１+分率）＝单位“1”的量

例如:

一种商品现在是８０元，比原价增加了1/７，原价多少?

列式是:

80÷（１+１/７）

3、求一个数是另一个数的几分之几是多少:

用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。

ﻫ例如:

男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的几分之几。

列式是：

1５÷2０=1５／20=3/4　

4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：

 ﻫ用两个数的相差量÷单位“１”的量=分数ﻫ即①求一个数比另一个数多几分之几：

用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。

ﻫ例如：

5比３多几分之几?

（5-3）÷3=2/3ﻫ②求一个数比另一个数少几分之几:

用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数）,结果写为分数形式。

ﻫ例如:

3比５少几分之几?

（５－３）÷5＝2/５ﻫ说明：

多几分之几不等于少几分之几,因为单位一不同。

ﻫ5、工程问题：

把工作总量看作单位“１”,合做多长时间完成一项工程用1÷效率和,即1÷（1／时间＋1／时间），（工作效率＝1/时间）

例如:

一项工程甲单独做要5天完成,乙单独做要10天完成,甲单独做要３天完成，三人合做几天可以完成?

列式：

1÷（1／5+1/1０+１／3）

（三）分数除法　分数除法:

１．分数除法计算法则:

甲数除以乙数（不为0）等于甲数乘乙数的倒数。

2.分数连除或乘除混合计算:

可以从左向右依次计算，但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。

【转化成分数的连乘来计算】

3.除数大于1，商小于被除数;除数小于1,商大于被除数;除数等于1，商等于被除数。

4.分数除法的意义：

已知一个数的几分之几是多少，求这个数?

可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。

注：

在单位换算中，要弄清需要换算的单位之间的进率是多少比的认识:

１.比的意义：

比表示两个数相除的关系。

2.比与分数、除法的关系:

3.比值:

比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。

注:

比值是一个数，可以是整数、分数、小数，不带单位名称。

4.比的基本性质:

比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）,比值不变。

5.最简整数比:

比的前项和后项是互质数。

也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。

６.化简：

运用比的基本性质对比进行化简,方法：

先把比的前、后项变成整数，再除以它们的最大公因数。

注:

化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同，方法不同，结果不同】7.按比例分配问题:

将一个数量按照一定比例,分成几个部分，求每个部分是多少，这类问题称为按比例分配问题。

解决方法：

先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几，转化成分数乘法　来计算。

（四）解决问题的策略

用“替换”策略解决实际问题:

问题:

小明把7２０毫升果汁倒入６个小杯和1个大杯，正好都倒满,已知小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

如果把7２0毫升果汁全部倒入小杯，需要（６+３）个小杯。

如果把720毫升果汁全部倒入大杯,需要（1+２）个大杯。

用“假设”策略解决实际问题：

问题：

在1个大盒和5个同样的小盒中装满球,正好是80个，每个大盒比每个小盒多装8个，大盒里装了多少个球?

小盒呢？

分析:

假设6个全是小盒？

球的总数比80小，把1个大盒换成小盒球的总数比８０少8个?

小盒:

（80-8）÷６=12大盒:

12+8=20？

检验先假设?

再比较（与条件不符）?

进行调整?

得出结果?

检验

（五）分数四则混合运算分数四则混合运算的顺序:

分数四则混合运算的顺序与整数相同。

先算乘除法，后算加减法;有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。

分数四则混合运算的运算律:

加法的交换律：

axb=bｘa

加法的结合律:

（a+b）+c=a＋（ｂ+c）乘法的交换律：

a+b=ｂ+a乘法的结合律：

（axb）xc=ax（bＸc）乘法的分配律：

（a+b）xc=axc+bxｃ

稍复杂的分数乘法实际问题:

1．甲占（是）乙的几分之几

几分之几＝甲÷乙；甲=乙×几分之几;乙=甲÷几分之几;　2.甲占（是）总量的几分之几,求乙？

乙=总量-甲×几分之几

3.甲比乙多（增加、上升、提高）几分之几

几分之几=（甲-乙）÷乙；　甲=乙×（1+几分之几）；乙=甲÷（1+几分之几）4.乙比甲少（减少、下降、降低）几分之几

几分之几=（甲-乙）÷甲；甲=乙÷（1－几分之几）；　乙=甲×（1-几分之几）

（六）百分数

百分数的意义及读写：

1.百分数的意义：

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。

2.百分数的读写：

百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。

注:

百分数后面不带单位名称。

（常出现在判断题中）　百分数与小数的互化:

百分数与分数的互化:

求一个数是另一个数的百分之几的实际问题:

　公式:

（一个数÷另一个数）×100%生活中常见的一些百分率:

合格率=合格产品数÷产品总数×1０0％

出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×１０0%发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×1０0%成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%　出油率=油的重量÷油料重量×10０％命中率＝命中次数÷总次数×1０0%及格率=及格人数÷参加考试人数×100%

纳税问题:

求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。

利息问题：

利息=本金×利率×存期

折扣问题：

折扣＝实际售价÷原售价×１0０％

列方程解决稍复杂的百分数实际问题：

1．解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。

2．用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。

根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接解答。

3.“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。

4．灵活运用本单元所学知识,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。

一、百分数的意义和写法

（一）、百分数的意义:

表示一个数是另一个数的百分之几。

百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

（二）、百分数和分数的主要联系与区别:

ﻫ联系：

都可以表示两个量的倍比关系。

区别:

①、意义不同：

百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;

分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位。

ﻫ②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;

分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。

3、百分数的写法:

通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之。

二、百分数和分数、小数的互化

（一）百分数与小数的互化：

ﻫ1、小数化成百分数:

把小数点向右移动两位（数位不够用0补足）,同时在后面添上百分号。

２．　百分数化成小数:

把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。

ﻫ

（二）百分数的和分数的互化ﻫ１、百分数化成分数：

先把百分数改写成分母是100的分数,能约分要约成最简分数。

ﻫ2、分数化成百分数:

①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。

②先把分数化成小数（除不尽时,通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

（建议用这种方法）ﻫ（三）常见分数小数百分数之间的互化; ﻫ 

三、用百分数解决问题ﻫ

（一）一般应用题

1、常见的百分率的计算方法：

  一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到1０0%，出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过１00%。

2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。

例如：

例如:

男生有20人,女生有１5人，女生人数占男生人数的百分之几。

ﻫ列式是：

１5÷2０=１5／20=75﹪

3、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“１”的百分之几是多少的问题，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:

ﻫ

（1）百分率前是“的”：

单位“1”的量×百分率=百分率对应量ﻫ（2百分率前是“多或少”的数量关系：

单位“1”的量×（1±百分率）＝百分率对应量ﻫ４、未知单位“1”的量（用除法）,已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。

　方法与分数的方法相同。

ﻫ解法：

（1）方程：

　根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

ﻫ（２）算术（用除法）：

　百分率对应量÷对应百分率　=　单位“1”的量ﻫ5、求一个数比另一个数多（少）百分之几的方法与分数的方法相同。

只是结果要写为百分数形式。

看百分率前有没有比多或比少的问题；

百分率前是“多或少”的关系式：

（比少）:

具体量÷（１-百分率）＝单位“1”的量;

例如：

大米有50千克,比面粉树少50﹪,面粉有多少千克。

列式是：

50÷（1-50﹪）ﻫ（比多）:

具体量　÷（1+百分率）=单位“1”的量ﻫ例如:

工人做1１0个零件，比原计划多做了10﹪,原计划做多少个？

ﻫ列式是：

１10÷（1+１0﹪）ﻫ6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：

方法与分数的方法相同。

用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几

即①求一个数比另一个数多百分之几：

用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数）,结果写为百分数形式。

ﻫ甲比乙多几分之几的问题，方法A，（甲-乙）÷乙（建议用） 

方法B，甲÷乙－100﹪

例如:

老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？

列式是：

（50-40）÷40=0．25=25﹪ﻫ②求一个数比另一个数少几分之几：

用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。

ﻫ乙比甲少几分之几的问题,方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）    ﻫ方法B,100﹪-乙÷甲

例如:

张三家用了1０0度电,李四家用了9０度电,李四家比张三家少用百分之几?

ﻫ（100-90）÷100=0.1=10﹪ﻫ说明：

多百分之几不等于少百分之几,因为单位一不同。

７、如果甲比乙多或少ａ﹪,求乙比甲少或多百分之几,用a﹪÷（1±a﹪）

8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格：

1×（1-ａ﹪）×（1＋a﹪）（假设原来的价格为“1”。

求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后又上升的百分率。