全国高考理科数学试题及答案.docx
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全国高考理科数学试题及答案
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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合Ax|x1,B{x|3x1},则
A.A
B
{x|x
0}
B.
C.A
B
{x|x
1}
D.
ABR
AB
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切
圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方
形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A.1
B.
4
8
C.1
D.
2
4
3.设有下面四个命题
p1:
若复数z满足1R,则zR;p2:
若复数z满足z2R,则zR;
z
p3:
若复数z1,z2满足z1z2R,则z1z2;p4:
若复数zR,则zR.
其中的真命题为
A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4
.
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4.记Sn为等差数列
{an}的前n项和.若a4
a5
24,S6
48,则{an}的公差为
A.1
B.2
C.4
D.8
5.函数f(x)在(
)单调递减,且为奇函数.若
f
(1)
1,则满足1f(x2)1
的x的取值范围是
A.[
2,2]
B.[1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
6.(1
1)(1x)6
展开式中x2的系数为
x2
A.15
B.20
C.30
D.35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰
直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多
面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10
B.12
C.14
D.16
8.右面程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶
数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入
A.
B.
C.
D.
A
1000n
n
1
和
A
1000和n
n
2
A1000和nn1A1000和nn2
2
9.已知曲线C1:
ycosx,C2:
ysin(2x),则下
3
面结论正确的是
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π个
6
单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
12
个单位长度,得到曲线C2
C.把C上各点的横坐标缩短到原来的
1倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π个
1
2
6
单位长度,得到曲线C2
.
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D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
2
12
个单位长度,得到曲线
C2
10.已知F为抛物线C:
y2
4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线
l1,l2,直线l1与C交
于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16
B.14
C.12
D.10
11.设xyz为正数,且2x
3y
5z,则
A.2x
3y
5z
B.
C.3y
5z
2x
D.
5z
2x
3y
3y
2x
5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。
为激发大家学习数学的兴趣,
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的
答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项
是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推。
求满足如下条件的最小整数N:
N100且该数列的前N项和为2的整数幂。
那么该款软件的激活码是
A.440B.330C.220D.110
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.
x
2y
1
14.设x,y满足约束条件
2x
y
1,则z
3x2y的最小值为.
x
y
0
15.已知双曲线
C:
x2
y2
1(a
0,b
0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,
a
2
b
2
圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
、
两点。
若
MAN
60
,则
C
的离心率为
MN
________。
16.如图,圆形纸片的圆心为
O,半径为
5cm,该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O。
D、
、
为圆
O
上的点,△
,△
,△
分别是以
,,
为底边的等腰三角形。
EF
DBC
ECA
FAB
BCCAAB
沿虚线剪开后,分别以
BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F
重合,得到三棱锥。
当△
ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为
_______。
.
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三、解答题:
共70
分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第
22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共
60分。
17.(12分)△
的内角
,,
的对边分别为
,
,
,已知△
的面积为
a2
ABC
AB
C
ab
c
ABC
3sinA
(1)求sinBsinC;
(2)若
6cosBcosC1,a3
,求△
的周长.
ABC
18.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且BAPCDP90.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,APD90,求二面角A-PB-C的余弦值.19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个
零件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的尺寸服从正态分布
N(,2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的
16个零件中其尺寸在(3,
3
)
之外的零件数,求
P(X1)
及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在
(
3,3)之外的零件,就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
.
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10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
1
16
1
16
x)2
1
16
xi216x2)2
经计算得x
xi
9.97,s
(xi
(
0.212,
16i1
16i1
16
i1
其中xi
为抽取的第i个零件的尺寸,i
1,2,
16.
用样本平均数
x作为
的估计值
?
,用样本标准差
s作为
的估计值?
,利用估计值
判断是否需对当天的生产过程进行检查?
剔除
(
?
3
?
?
3
?
)之外的数据,用剩下的数据
估计
和(精确到
0.01).
附:
若随机变量
Z服从正态分布N(,
2),则P(
3
Z
3)0.9974,
0.997416
0.9592,
0.008
0.09.
20.(12分)
已知椭圆
:
x
2
y2
=1
1
2
3
3),4(1,
C
a
2
2
(a>b>0),四点P(1,1
),P(0,1
),P(–1,
P
b
2
3)中恰有三点在椭圆C上.
2
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。
若直线P2A与直线P2B的斜率的和为
–1,证明:
l过定点.
21.(12分)
已知函数f(x)ae2x(a2)exx
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
x
3cos,(θ为参数),直线l的参数方
y
sin
x
a
4t,
程为
1
(t为参数).
y
t,
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为
17,求a.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)x2
ax4,g(x)
|x
1|
|x
1|
.
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(1)当a1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
.
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.D
10.A11.D12.A
二、填空题:
本题共
4小题,每小题5分,共20分。
13.2
3
14.-5
15.23
16.415cm3
3
三、解答题:
共70
分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第
22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共
60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
a2
3sinA
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
解:
(1)
由题设得1acsinB
a2
,即
1
csinB
a
2
3sinA
2
3sinA
由正弦定理得1
sinCsinB
sinA
2
2
3sinA
故sinBsinC
。
3
(2)
由题设及
(1)得cosBcosC
sinBsinC
1
,即cos(B
1
2
C)
2
2
,故A
所以BC
3
3
由题设得1bcsinA
a2
,即bc
8
2
3sinA
由余弦定理得b2
c2
bc9,即(b
c)2
3bc
9,得b
c33
故ABC的周长为333
18.(12分)解:
.
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(1)由已知BAPCDP
90,得AB
AP,CDPD
由于AB//CD,故AB
PD,从而AB平面PAD
又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD
(2)在平面PAD内作PFAD,垂足为F
由
(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,
可得PF平面ABCD
以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,|AB|为单
位长,建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz
由
(1)及已知可得A(
2,0,0),
P(0,0,
2),B(
2,1,0),C(
2,1,0)
2
2
2
2
所以PC(
2,1,
2),CB
(2,0,0),PA
(2,0,
2),AB(0,1,0)
2
2
2
2
设n(x,y,z)是平面PCB的法向量,则
nPC
0,
即
2xy
2z0,
nCB
0
2
2
y
0
可取n
(0,1,2)
设m
(x,y,z)是平面PAB的法向量,则
mPA
0,
2x
2z0,
mAB
即
2
2
0
y0
可取m(1,0,1)
则cosn,m
nm
3
|n||m|
3
所以二面角A
PBC的余弦值为
3
3
19.(12分)解:
(1)抽取的一个零件的尺寸在(
3,3)之内的概率为
0.9974,从而零件的尺寸在
.
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(3,3)之外的概率为0.0026
,故X~B(16,0.0026),因此
P(X1)1P(X
0)10.997416
0.0408
X的数学期望为EX160.0026
0.0416
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在
(
3,
3)之外的概率只有0.0026,
一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(
3,
3)之外的零件的概率只有
0.0408,发生的概率很小。
因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在
这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上
述监控生产过程的方法是合理的。
(ii)由x9.97,s0.212,得的估计值为?
9.97,的估计值为?
0.212,
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(?
3?
?
3?
)之外,因此需对当天
的生产过程进行检查。
剔除(?
3?
?
3?
)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为
1
(169.979.22)10.02
15
因此的估计值为10.02
16
xi2160.2122169.9721591.134
i1
剔除(?
3?
?
3?
)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为
1(1591.1349.2221510.022)0.008
15
因此的估计值为0.0080.09
20.(12分)解:
(1)由于P3,P4两点关于
y轴对称,故由题设知
C经过P3,P4两点
又由
1
1
1
3
知,C不经过点P1,所以点P2在C上
a
2
b
2
a
2
4b
2
1
1,
a2
4
因此
b2
解得
1
3
b2
1
1
a2
4b2
故C的方程为x2
y2
1
4
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2
如果l与x轴垂直,设l:
x
t,由题设知t
0,且|t|2,可得A,B的坐标分别为
.
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(t,
4
t2
),(t,
4
t2
)
2
2
则k1
k2
4
t2
2
4
t2
2
1,得t
2,不符合题设
2t
2t
从而可设l:
y
kx
m(m
1),将y
kx
m代入x2
y2
1得
4
(4k21)x2
8kmx
4m2
4
0
由题设可知
16(4k2
m2
1)
0
设
A(x1,y1),B(x2,y2),则x1
x2
8km
1,x1x2
4m2
4
4k2
4k2
1
而
k1
k2
y1
1
y2
1
x1
x2
kx1
m
1
kx2
m
1
x1
x2
2kx1x2
(m
1)(x1
x2)
x1x2