全国高考理科数学试题及答案.docx

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全国高考理科数学试题及答案

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绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合Ax|x1，B{x|3x1}，则

A．A

B

{x|x

0}

B．

C．A

B

{x|x

1}

D．

ABR

AB

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切

圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方

形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．1

B．

4

8

C．1

D．

2

4

3．设有下面四个命题

p1：

若复数z满足1R，则zR；p2：

若复数z满足z2R，则zR；

z

p3：

若复数z1,z2满足z1z2R，则z1z2；p4：

若复数zR，则zR.

其中的真命题为

A．p1,p3B．p1,p4C．p2,p3D．p2,p4

.

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4．记Sn为等差数列

{an}的前n项和．若a4

a5

24，S6

48，则{an}的公差为

A．1

B．2

C．4

D．8

5．函数f（x）在（

）单调递减，且为奇函数．若

f

（1）

1，则满足1f（x2）1

的x的取值范围是

A．[

2,2]

B．[1,1]

C．[0,4]

D．[1,3]

6．（1

1）（1x）6

展开式中x2的系数为

x2

A．15

B．20

C．30

D．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰

直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多

面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10

B．12

C．14

D．16

8．右面程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶

数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入

A．

B．

C．

D．

A

1000n

n

1

和

A

1000和n

n

2

A1000和nn1A1000和nn2

2

9．已知曲线C1:

ycosx,C2:

ysin（2x），则下

3

面结论正确的是

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π个

6

单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，得到曲线C2

C．把C上各点的横坐标缩短到原来的

1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π个

1

2

6

单位长度，得到曲线C2

.

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D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的

1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

2

12

个单位长度，得到曲线

C2

10．已知F为抛物线C:

y2

4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线

l1,l2，直线l1与C交

于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16

B．14

C．12

D．10

11．设xyz为正数，且2x

3y

5z，则

A．2x

3y

5z

B．

C．3y

5z

2x

D．

5z

2x

3y

3y

2x

5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。

为激发大家学习数学的兴趣，

他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的

答案：

已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项

是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推。

求满足如下条件的最小整数N:

N100且该数列的前N项和为2的整数幂。

那么该款软件的激活码是

A．440B．330C．220D．110

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.

x

2y

1

14．设x,y满足约束条件

2x

y

1，则z

3x2y的最小值为.

x

y

0

15．已知双曲线

C:

x2

y2

1（a

0,b

0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，

a

2

b

2

圆

A

与双曲线

C

的一条渐近线交于

、

两点。

若

MAN

60

，则

C

的离心率为

MN

________。

16．如图，圆形纸片的圆心为

O，半径为

5cm，该纸片上的等边三角形

ABC的中心为O。

D、

、

为圆

O

上的点，△

，△

，△

分别是以

，，

为底边的等腰三角形。

EF

DBC

ECA

FAB

BCCAAB

沿虚线剪开后，分别以

BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F

重合，得到三棱锥。

当△

ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为

_______。

.

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三、解答题：

共70

分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第

17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。

第

22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共

60分。

17．（12分）△

的内角

，，

的对边分别为

，

，

，已知△

的面积为

a2

ABC

AB

C

ab

c

ABC

3sinA

（1）求sinBsinC;

（2）若

6cosBcosC1,a3

，求△

的周长.

ABC

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.

（1）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A-PB-C的余弦值.19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取

16

个

零件，并测量其尺寸（单位：

cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生

产的零件的尺寸服从正态分布

N（,2）．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的

16个零件中其尺寸在（3,

3

）

之外的零件数，求

P（X1）

及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在

（

3,3）之外的零件，就认为这

条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的

16

个零件的尺寸：

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

.

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10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

1

16

1

16

x）2

1

16

xi216x2）2

经计算得x

xi

9.97，s

（xi

（

0.212，

16i1

16i1

16

i1

其中xi

为抽取的第i个零件的尺寸，i

1,2,

16．

用样本平均数

x作为

的估计值

?

，用样本标准差

s作为

的估计值?

，利用估计值

判断是否需对当天的生产过程进行检查？

剔除

（

?

3

?

?

3

?

）之外的数据，用剩下的数据

估计

和（精确到

0.01）．

附：

若随机变量

Z服从正态分布N（,

2），则P（

3

Z

3）0.9974，

0.997416

0.9592，

0.008

0.09．

20.（12分）

已知椭圆

：

x

2

y2

=1

1

2

3

3），4（1，

C

a

2

2

（a>b>0），四点P（1,1

），P（0,1

），P（–1，

P

b

2

3）中恰有三点在椭圆C上.

2

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。

若直线P2A与直线P2B的斜率的和为

–1，证明：

l过定点.

21.（12分）

已知函数f（x）ae2x（a2）exx

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x

3cos,（θ为参数），直线l的参数方

y

sin

x

a

4t,

程为

1

（t为参数）.

y

t,

（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为

17，求a.

23．[选修4—5：

不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）x2

ax4,g（x）

|x

1|

|x

1|

.

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（1）当a1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

.

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.A

2．B

3．B

4．C

5．D

6．C

7．B

8．D

9．D

10．A11．D12．A

二、填空题：

本题共

4小题，每小题5分，共20分。

13．2

3

14．-5

15．23

16．415cm3

3

三、解答题：

共70

分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第

17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。

第

22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共

60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

a2

3sinA

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

解：

（1）

由题设得1acsinB

a2

，即

1

csinB

a

2

3sinA

2

3sinA

由正弦定理得1

sinCsinB

sinA

2

2

3sinA

故sinBsinC

。

3

（2）

由题设及

（1）得cosBcosC

sinBsinC

1

，即cos（B

1

2

C）

2

2

，故A

所以BC

3

3

由题设得1bcsinA

a2

，即bc

8

2

3sinA

由余弦定理得b2

c2

bc9，即（b

c）2

3bc

9，得b

c33

故ABC的周长为333

18.（12分）解：

.

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（1）由已知BAPCDP

90，得AB

AP，CDPD

由于AB//CD，故AB

PD，从而AB平面PAD

又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD

（2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F

由

（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，

可得PF平面ABCD

以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单

位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz

由

（1）及已知可得A（

2,0,0）,

P（0,0,

2）,B（

2,1,0）,C（

2,1,0）

2

2

2

2

所以PC（

2,1,

2）,CB

（2,0,0）,PA

（2,0,

2）,AB（0,1,0）

2

2

2

2

设n（x,y,z）是平面PCB的法向量，则

nPC

0,

即

2xy

2z0,

nCB

0

2

2

y

0

可取n

（0,1,2）

设m

（x,y,z）是平面PAB的法向量，则

mPA

0,

2x

2z0,

mAB

即

2

2

0

y0

可取m（1,0,1）

则cosn,m

nm

3

|n||m|

3

所以二面角A

PBC的余弦值为

3

3

19．（12分）解：

（1）抽取的一个零件的尺寸在（

3,3）之内的概率为

0.9974，从而零件的尺寸在

.

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（3,3）之外的概率为0.0026

，故X~B（16,0.0026），因此

P（X1）1P（X

0）10.997416

0.0408

X的数学期望为EX160.0026

0.0416

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在

（

3,

3）之外的概率只有0.0026，

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（

3,

3）之外的零件的概率只有

0.0408，发生的概率很小。

因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在

这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上

述监控生产过程的方法是合理的。

（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为?

9.97,的估计值为?

0.212，

由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（?

3?

?

3?

）之外，因此需对当天

的生产过程进行检查。

剔除（?

3?

?

3?

）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为

1

（169.979.22）10.02

15

因此的估计值为10.02

16

xi2160.2122169.9721591.134

i1

剔除（?

3?

?

3?

）之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为

1（1591.1349.2221510.022）0.008

15

因此的估计值为0.0080.09

20.（12分）解：

（1）由于P3,P4两点关于

y轴对称，故由题设知

C经过P3,P4两点

又由

1

1

1

3

知，C不经过点P1，所以点P2在C上

a

2

b

2

a

2

4b

2

1

1,

a2

4

因此

b2

解得

1

3

b2

1

1

a2

4b2

故C的方程为x2

y2

1

4

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2

如果l与x轴垂直，设l:

x

t，由题设知t

0，且|t|2，可得A,B的坐标分别为

.

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（t,

4

t2

）,（t,

4

t2

）

2

2

则k1

k2

4

t2

2

4

t2

2

1，得t

2，不符合题设

2t

2t

从而可设l:

y

kx

m（m

1），将y

kx

m代入x2

y2

1得

4

（4k21）x2

8kmx

4m2

4

0

由题设可知

16（4k2

m2

1）

0

设

A（x1,y1）,B（x2,y2），则x1

x2

8km

1,x1x2

4m2

4

4k2

4k2

1

而

k1

k2

y1

1

y2

1

x1

x2

kx1

m

1

kx2

m

1

x1

x2

2kx1x2

（m

1）（x1

x2）

x1x2