高中数学解析几何总结非常全.docx

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高中数学解析几何总结非常全

高中数学解析几何

第一部分:

直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

（1）定义：

直线I向上的方向与X轴正向所成的角叫做直线的倾斜角

⑵范围：

O180

2•斜率：

直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率

ktan

（1）•倾斜角为90的直线没有斜率。

（2）

.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A（x1,yJ和B（X2,y2）两点的直线的斜率为k，

IXyy2CCo

则当X1X2时，ktan——;当X1X2时，90；斜率不存在;

二、直线的方程

1•点斜式：

已知直线上一点P（X0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式:

y-yo=k（x-x0）

注意：

当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为XX0；

2•斜截式：

若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b,斜率为k,则直线方程：

ykXb;特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：

ykX

注意：

正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3•两点式：

若已知直线经过（x1,y1）和（X2,丫2）两点，且（X1X2,丫1y2则直线的万程：

yyX%；

；

y2%χ2X1

注意：

①不能表示与X轴和y轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式（x2χJ（yyJ（y2yj（χχj0时，方程可以适应在

于任何一条直线。

4截距式：

若已知直线在X轴，y轴上的截距分别是a,b（a0,b0）则直线方程：

注意：

1）•

2）•横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直

线方程可设为x-y=a

AXByC0；（A,B不同时为零）；

5—般式：

任何一条直线方程均可写成一般式:

反之，任何一个二兀一次方程都表示一条直线。

但一般式不一定都能化为特

注意：

①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式,

殊形式，这要看系数代B,C是否为O才能确定。

②指出此时直线的方向向量：

（B,A），（B,A），22,A22（单

YABVAB

位向量）；直线的法向量：

（A,B）;（与直线垂直的向量）

't1t2'

点P,P2对应的参数为tι,t2,则IPPj-J=^=2

XX0tCOS

yy°tsin

（t为参数）其中方向向量为（CoS,sin）,t的几何意义为IPPol；斜

寸ab

率为tan；倾斜角为（0）。

三、两条直线的位置关系

宀护¥方位置大糸

Ii:

ykιXbiI2:

yk2Xb2

11:

AlXBiyCi0

12:

A2XB2yC20

平行

kik2,且bib2

AiBiCi

——（AiB2-A2Bi=0）

A2B2C2

重合

k1k2,且b1b2

ABiCi

A2B2C2

相交

kik2

AIBi

A2B2

垂直

k1k2i

AiA2BiB20

设两直线的方程分别为：

l；岭k；：

⅛2或∣2^A2XByyCC200；当k1k2或

A1B2a；bi时它们相交，交点坐标为方程组yk；XXb12或A；XBl2yyCC200

解；

注意：

①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：

（A∣,Bι）（A2,B2）

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如（A1,B1）（A2,B2）0

2若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为_0_,则两直线垂直。

3对于a1A2B1B2O来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。

因此，此公式使用起来更方便.

4斜率相等时，两直线平行（或重合）；但两直线平行（或重合）时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。

四、两直线的交角

（1）Il到∣2的角：

把直线Il依逆时针方向旋转到与∣2重合时所转的角；它是有向角，其范

围是O

注意：

①∣1到∣2的角与∣2到Il的角是不一样的：

②旋转的方向是逆时针方向：

③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线∣1与∣2的夹角：

是指由∣1与∣2相交所成的四个角的最小角（或不大于直角的角），

它的取值范围是0-

（3）设两直线方程分别为:

∣1:

yk1xb1或l1:

AXB1yC1OI2：

yk2xb2或∣2:

A2xB2yC2O

1•点P（x°,y°）到直线∣:

AXByCO的距离为:

|AxoByOC|

-A-B-

②直线∣1到∣2的角与∣1和∣2的夹角：

（■-）或（■-）；

五、点到直线的距离公式:

注意：

推广到过曲线

£（x,y）0与f2（χ,y）0的交点的方程为:

f√x）f（X2）0；

六、直线系:

的直线方程为AXEyG（A2χB?

yC2）O（除去∣2）；

的直线方程。

②直线I:

（m1）x（2m1）ym5恒过一个定点

（2）与I:

AXByC0平行的直线为AXByG0；

（3）与I:

AXByC0垂直的直线为BXAyG0；

七、对称问题：

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A（a,b）关于C（c,d）的对称点（2ca,2db）

②直线关于点的对称：

I、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再

由两点式求出直线方程；

n、求出一个对称点，在利用l1//I2由点斜式得出直线方程；

川、利用点到直线的距离相等。

求出直线方程。

如口：

求与已知直线l1:

2X3y60关于点P（1,1）对称的直线I2的方程。

（2）轴对称：

1点关于直线对称：

I、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如口：

求点A（3,5）关于直线I:

3x4y40对称的坐标。

2直线关于直线对称：

（设a,b关于I对称）

I、若a,b相交，则a到I的角等于b到I的角；若a//1,则b//l,且a,b与I的距

离相等。

n、求出a上两个点代B关于I的对称点，在由两点式求出直线的方程。

川、设P（x,y）为所求直线直线上的任意一点，则P关于I的对称点P'的坐标适合a

的方程。

女口：

求直线a:

2xy40关于I:

3X4y10对称的直线b的方程。

八、简单的线性规划：

（1）设点P（xo,yo）和直线I:

AXByC0,

①若点P在直线I上，则Ax0By0C0；②若点P在直线I的上方，则

B（AXOBy0C）0；

③若点P在直线I的下方，贝yB（Ax0By0C）0；

（2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式AXByC0（0）,

①当

0时,

则AXBy

0表示直线

AXByC

0上方的区域;

0表示直线I

ByC

0下方的区域：

②当

0时,

则AXBy

0表示直线

AXByC

0下方的区域;

0表示直线I

ByC

0上方的区域：

注意：

通常情况下将原点（0,0）代入直线AXByC中，根据0或0来表示二元一次

不等式表示平面区域。

（3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解（χ,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

生

产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意:

①当B

0时，将直线

立AX

0向上平移，则Z

AXBy的值越来越大;

直线

0向下平移，

则Z

By的值越来越小；

②当

0时,

将直线AX

0向上平移，贝UZAX

By的值越来越小：

直线

0向下平移，

则Z

By的值越来越大：

如：

在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数

ZXay取得最小值的最优解有无数个，则a为；

第二部分：

圆与方程

222

2.1圆的标准方程：

（Xa）（yb）r圆心C（a,b）,半径r

特例：

圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：

X2y2r2.

2.2点与圆的位置关系：

1.设点到圆心的距离为d,圆半径为r:

⑴点在圆上

d=r；⑵点在圆外d>r;（3）点在圆内

dvr.

222

2.给定点M（x°,yo）及圆C:

（Xa）（yb）r.

①M在圆C内

（Xoa）2（yob）2r2②M在圆C上（x°a）2（y°b）2r2

③M在圆C外

（X0a）2（yob）2r2

2.3圆的一般方程：

x2y2DXEyF0.

0时,

右千早丰宗一.√K[≡甘IZb崗」【、\C

E半径

D2E24F

丿J程表4、丨圆，丿、|圆心C

，半径r

当D2

0时,

方程表小/个点,

当D2

0时,

方程无图形（称虚圆）

注：

（

1）

方程

Ax2

BXyCyDXEyF

0表示圆的充要条件是：

0且AC0且

D2E24AF0.

圆的直径系方程：

已知AB是圆的直径

A（χι,yι）B（χ2,y2）（Xχι）（χX2）（yyι）（yy2）0

直线AXByC0与圆（Xa）2

（yb）2

r的位置关系有

2.4直线与圆的位置关系:

三种,

d是圆心到直线的距离，

（d

AaBbC

Ja2B2

（1）

dr相离

0；

⑵d

相切

r相交

0。

2.5两圆的位置关系

设两圆圆心分别为0ι,O2,半径分别为rι,r2,IO1O2∣d。

外离

（3）rιbd

（5）0d∣rι

外切3条公切线；

（1）drιr2外离4条公切线；

（2）dr1

2.6圆的切线方程

2•圆x12y2r2的斜率为k的切线方程是

kx,1k2r过圆x2y2DXEyF

0上一点

互为负倒数）

P（χo,y°）的切线方程为：

χoχy°yd冬卫F0.

一般方程若点（xo,yo））在圆上，则（X-a）（xo-a）+（y-b）（yo-b）=R.

特别地，过圆X2y2r2上一点P（xo,yo）的切线方程为XoX畑r2.

y1yok（x1Xo）

若点（xo,yo）不在圆上，圆心为（a,b）则by1k（aX1）,联立求出k切线方程•

2.7圆的弦长问题：

1.半弦—、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理:

LR2d2

AB√（X1X2）2（y1y2）2

2.弦长公式（设而不求）：

（1k2）[（X1X2）24X1X2]

第三部分：

椭圆

一•椭圆及其标准方程

（2aFiF22c时为线段FiF?

2aRF?

2c无轨迹）。

•椭圆的简单几何性质:

1.范围

4•

离心率

（

1）我

们

把椭圆的焦距

与长轴长的比

G,即C称为椭圆的离心率，

2aa

’R∖2

记作

e（0

1）,e

1（―）+

e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆；

e越接近于1（e越大），椭圆越扁；

注意：

离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

a2a

（2）线段A1A2,B1B分别叫做椭圆的长轴长等

短轴长等于2b,a和b分别叫做

2.对称性

称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

椭圆的长半轴长和短半轴长。

（2）椭圆的第二定义：

平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数

|PF|

e,（0Vev1）的点的轨迹为椭圆。

（e）

5•椭圆的的内外部

6.几何性质

F1MF2

（1）判断方法：

联立直线方程与椭圆方程消y（或X）得到关于X的一元

次方程,

根据判别式

7直线与椭圆的位置关系:

的符号判断位置关系:

0有两个交点相交

0相切有一个交点

0相离没有交点

丄LI

联立a2b21消y得:

AXByC0

a2A2

X1X2

bBX2aACXa2a2AC

2A2^^.2d2

aAbB

X1X2

C2b2B20

a2C2b2B2

^"2■2J

联立

AXByC

1消X得:

A2b2B2y2

yι

2b2BCyb2

y2b2BC

y2~222

aAbB

b2C2a2A2

y1y2

a2A20

a2A2b2B2

弦中点问题：

斜率为

k的直线I与椭圆—

1（m0,n0,mn）交于两点

A（xi,yj、B（x2,y2）

（X0,yo）是AB的中点，则:

nXo

-2

myo

⑶弦长公式：

.（X1X2）2（y1y2）2

.（1k2）[（X1X2）24住]

一■

一厂

Iyy/

；X

范围

Xa，yR

ya，XR

对称轴

X轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b

对称中心

原点0（0,0）

焦点坐标

Fι（c,0）F2（c,O）

F1（0,C）F2（0,c）

焦点在实轴上，CJa2b2；焦距：

F1F2

顶点坐标

（a,0）（a,0）

（0,a,）（0，a）

离心率

e-（e1）

重要结论

（1）焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）

（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）AB

（3）焦点三角形（双曲线上的任意

SMF1F2bCot2

tan—

aCMF

2b2

就一点与两焦点够成的三角形）：

准线方程

X—

2ay—

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：

渐近线

方程

y—x

X_y

共渐近线

的双曲线

系方程

PrbTk（k0）

∖X2k（k0）ab

（1）判断方法：

联立直线方程与双曲线方程消y（或X）得到关于X的一元二次方程，根据

判别式的符号判断位置关系：

0有两个交点相交

0相切有一个交点

0相离没有交点

XyI

联立a2b21消y得:

AXByCQ

直线和双

曲线的位

2A2

联立

222

bBX

2a2AC

2a2ACX

A2b2B2

2yb2

AXByC

2λ2・2^2

X1X2

1消X得:

222

AbBy2b2BCy2aAbB

2C2b2B2

a2C2

2~T2I2r^2a

2bBCyb

y1y2

弦中点问题：

斜率为

b2B2

A2b2B

a2A2b2C2

2λ2

2A2I2f2

k的直线I与双曲线

y21（mO,n0）交于两点

nX0

mYc

A（xι,yj∖B（X2,y2）M（Xq,y（）是AB的中点，则:

弦长公式:

X2）2（y1y2）2

（1k2）[（X1X2）2

4X1X2]

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长；

（2）其标准方程为X2y2C其中C≠0；

（3）离心率e2；

（4）渐近线：

两条渐近线y=±X互相垂直;

（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；

（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分;

7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数a2

第五部分：

抛物线知识点总结

图象

y2px（p0）

2PX（P0）

X2py（P0）

X22p

-7°

）y（p0）

定义

平面内与一个定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线

的焦点，直线I叫做抛物线的准线。

｛MllMF=点M到直线I的距离｝

范围

x0,yR

X0,yR

XR,y0

对称性

关于X轴对称

关于y轴对称

焦占

八'、八\、

（2,0）

（冬O）

吒）

（0,-）

焦点在对称轴上

顶点

O（0,0）

离心率

e=l

准线

方程

X子

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

顶点到准线的距离

卫

焦点到准线的距离

焦半径

A（Xι,yι）

AFx1P

AFX1P

AFyιi

AFyi子

焦点弦长

IABl

（X1X2）P

（XiX2）P

（yiy2）P

A√1,y1

焦点弦AB

的几条性质

A（χι,yι）

B（X2,y2）（以

焦点在X轴

正半轴为

例）

以AB为直径的圆必与准线丨相切,以MN为直径的圆与AB相切与点F,即MFFN

PPIPP

AFXBFX

r∖厂入1D厂入2

21CQS21CQS

若AB的倾斜角为，则IABXiX2P2p2p（通径）

Sin

χiχ2,yiy2P

112sP2

—■SAOB

AFBFP2sina

参数

方程

X2Pt（t为参数）

y2Pt

1.直线与抛物线的位置关系

（1）当k=0时，直线丨与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，

△>0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0，直线丨与抛物线相切，一个切点；

△v0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？

（不一定）

2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

1占帥丫2）24y』2UI/百

联立方程法:

②点差法:

设交点坐标为A（X1,y1）,B（X2,y2）,代入抛物线方程，得

yι2p>ςy22px2

将两式相减，可得

（yιy2）（y1y2）2p（x1X2）

yιy22p

XiX2yιy2

a.在涉及斜率问题时，kAB2p

中点为M（Xo,yo），

yiy2

b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的

yiy2p2pP

XiX2yiy22yoyo

即kAB土，

同理，对于抛物线X22py（P

0），若直线丨与抛物线相交于A

B两点，点M（Xo,yo）是

弦AB的中点，则有kAB

XiX2

2x0

2）直线的斜率存在，且

（注意能用这个公式的条件：

1）直线与抛物线有两个不同的交点，不等于零）

1•椭圆的定义：

平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数2aF1F2的点的轨迹叫做

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