安徽工业大学线性代数习题-范爱华.doc

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安徽工业大学线性代数习题

范爱华

第一章行列式

1．计算下列行列式:

（1）

（2）

（2）

（3）.

2.

（1）已知，则行列式

（2）设4阶行列式

3.计算下列各行列式:

（1）

（2）。

4．计算行列式。

5.利用行列式性质证明:

（1）

（2）

（3）

6.计算下列各行列式（为n阶行列式）:

（1）

（2）

（3）,其中对角线上元素都是,未写出的元素都是0;

（4）

（5）,其中

7.用克莱姆法则解方程组:

8．设齐次线性方程组有非零解,问应满足什么条件？

9.齐次线性方程组只有零解,则应满足什么条件？

10.问取何值时,齐次线性方程组

有非零解?

第二章矩阵及其运算

1．设求

2.计算下列乘积:

（1）

（2）

（3）.

3.设A=,B=,求AB-BA,.

4．求

5．设A=,求A

6．判断下列命题或等式是否正确:

（1）若A=O,则A=O;（）

（2）若A=A,则A=O或A=I;（）

（3）若A=I,则A=I或A=-I;（）

（4）若AX=AY,且AO则X=Y;（）

（5）;（）

（6）设为对称矩阵，则对任意正整数，也是对称矩阵。

（）

7.设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BAB也是对称矩阵.

8.设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.

9．设A和B均为n阶矩阵,则必有（）

（A）;（B）;

（C）;（D）.

10.设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=I,其中I是n阶单位矩阵,则必有（）

（A）ACB=I;（B）CBA=I;（C）BAC=I;（D）BCA=I.11.求下列矩阵的逆矩阵:

（1）

（2）

（3）（）.

12.解下列矩阵方程:

X=;

13.设A=,AB=A+2B,求B.

14.设方阵A满足A-A-2I=O,证明A及A+2I都可逆,并求A及（A+2I）.

15.设PAP=,其中P=求A.

16.设n阶矩阵的伴随矩阵为,证明:

（1）若=0,则=0;

（2）=.

17.已知是的伴随矩阵,求.

18.设,求、及。

19.设n阶矩阵及s阶矩阵都可逆,求.

20．把下列矩阵化为行标准形矩阵:

（1）

（2）.

21.试用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:

（1）

（2）.

22.设A=,B=,求X,使AX=B;

23．在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式?

有没有等于0的r阶子式?

举例说明.

24．求下列矩阵的秩

（1）

（2）

第三章n维向量空间

1．求满足下列方程的向量

；

2．讨论下列向量组的线性相关性。

；

；

；

3．设向量组为。

取何值，该向量组线性相关。

4．若向量组线性无关，判断下列向量组的线性相关性。

（1）;

（2）.

5．设,且向量组线性无关,证明:

向量组线性无关.

6．利用初等行变换求矩阵A的列向量组的一个极大无关组,其中

A=.

7．求向量组的秩,一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

8.设是一组n维向量,已知n维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.

9．设是一组n维向量,证明：

它们线性无关的充分必要条件是:

任一

n维向量都可由它们线性表示.

10．设R满足,

R满足,

问是不是向量空间?

为什么?

11.试证:

由所生成的向量空间就是.

12.验证为的一个基,并把用这个基线性表示.

13．设的两组基分别为：

求从基到基的过渡矩阵。

14．设三维向量在基下的坐标为，求关于基的坐标。

第四章线性方程组

1．解下列齐次线性方程组:

（1）

（2）

2．解下列非齐次线性方程组:

（1）

（2）

3.非齐次线性方程组

当取何值时有解?

并求出它的解.

4．设

问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解?

并在有无穷多解时求解.

5.求下列齐次线性方程组的基础解系:

（1）

（2）

6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且

,

求该方程组的通解.

7．.求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为

8.求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系，并写出对应的通解。

（1）

（2）

9.设是非齐次线性方程组A的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明

（1）线性无关;

（2）线性无关.

10.设n阶矩阵的各行元素之和均为零,且R（A）=n-1,则线性方程组AX=的通解为.

11.若线性方程组

有解,则常数应满足条件.

12.设A为矩阵,齐次线性方程组AX=仅有零解的充分条件是（）

（A）A的列向量线性无关;（B）A的列向量线性相关;

（C）A的行向量线性无关;（D）A的行向量线性相关.

13．设线性方程组

（1）讨论当取何值时,此方程组无解或有解；

（2）当有解时，求出它的通解.

第五章相似矩阵及二次型

1.求下列矩阵的特征值和特征向量:

（1）

（2）

.

（3）

2.为三阶矩阵，且均不可逆。

求：

（1）矩阵的特征值和特征多项式。

（2）矩阵。

求：

。

3.若是的一个特征值，证明是的一个特征值，其中为正整数。

4.若是的一个特征值，是的一元多项式。

证明是的一个特征值。

5.设是的一个可逆矩阵，证明它的每一个特征值都不为零，且是的一个特征值。

又若是属于的一个特征向量